6月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题1．在DABC中，已知D是边ABuuuruuuruuur1uuuruuurl=AD=2DB上的一点，若，CD=CA+lCB，则3A．13B．23C．21D．342．在复平面内，复数z=a+2i(aÎR)对应的点在直线y=-2x上，则z-i=（ ）1+iA．1B．iC．-i35D．--i223．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是正三角形，侧棱与底面ABC垂直，且AB=4,AA=23,E,F分别是A1C1,BC的中点，则异面直线EF与CC1所成的角的余弦值1为（ ）A．677B．21C．377D．324．在正方体ABCD-ABCD中，E，F分别为AB,BC的中点，则（ ）1111A．平面B1EF^平面BDD1C．平面BEF//平面A1AC1B．平面B1EF^平面ABD1D．平面BEF//平面AC11D1试卷第11页，共33页
5．为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论： ①样本数据落在区间[300,500)的频率为0.45；②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；③样本的中位数为480万元.其中正确结论的个数为A．0B．1C．2D．36．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为A．85，85，85C．87，85，857．下列说法正确的是A．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件B．事件A，B同时发生的概率一定比A，B恰有一个发生的概率小B．87，85，86D．87，85，90C．若P(AÈB)=1，则事件A与B是对立事件D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大8．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )13A．B．512C．21D．712二、多选题
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rr9．已知平面向量a，=(1,1)b=(-3,4)，则下列说法正确的是（ ）rrA．cosáa,bñ=210rrrB．b在a方向上的投影向量为2a2r43öbC．与垂直的单位向量的坐标为æç,÷è55ørrrrD．若向量a+lb与向量a-lb共线，则l=010．若复数满足z-1=i-1，则（ ）z+iA．z=2C．z在复平面内对应的点在直线y=2x上11．已知正方体ABCD-ABCD，则（ ）1111A．直线BC1与DA所成的角为90°1zB．z-2z=-1+6iD．2z2-z的虚部为-8B．直线BC1与CA1所成的角为90°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°45°12．2020年上半年，中国养猪企业受猪价高位的利好影响，大多收获史上最佳半年报业绩，部分企业半年报营业收入同比增长超过1倍．某养猪场抓住机遇，加大了生猪养殖规模，为了检测生猪的养殖情况，该养猪场对2000头生猪的体重（单位：kg）进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）试卷第31页，共33页
A．这2000头生猪体重的众数为160kgB．这2000头生猪中体重不低于200kg的有80头C．这2000头生猪体重的中位数落在区间[140,160)内D．这2000头生猪体重的平均数为152.8kg三、填空题13．如图，在DABC中，BC=2，AB=6，ÐACB=2p，点E在边AB上，且3ÐACE=ÐBCE，将射线CB绕着C逆时针方向旋转Dp，并在所得射线上取一点，使6得CD=3-1，连接DE，则DCDE的面积为__________．14．已知复数满足zz=3-4iiz（其中为虚数单位），则=__________．z试卷第41页，共33页
15．如图，AB是半圆柱底面的直径，PA是半圆柱的高，C是»上一点，且ABPA=AC=BC，D为PB的中点，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为________． 16．在一个掷骰子的试验中，事件A表示“出现不大于4的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则事件A+B发生的概率为______．四、解答题17．记VABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知(ccosB+bcosC)b+c(1)求角(2)若点222+bc=1．A的大小；D在边BC上，AD平分ÐBAC，AD=2，且b=2c，求a．EABCD中，AD//BC,ÐABC=60°,AB=AD=2,BC=3，点在线段BC18．如图1，在梯形上，BE=2EC，将VABE沿AE翻折至△PAE的位置，连接PD，点F为PD中点，连接CF，如图2， 试卷第51页，共33页
(1)在线段AD上是否存在一点Q，使平面PAE//平面FQC?若存在，请确定点Q的位置，若不存在，请说明理由；(2)当平面
PAE^平面AECD时，求三棱锥P-AEF的体积，
D-ABC中，点
19．在三棱锥D在以AB为直径的半圆弧上，且平面
ABD^平面
ABC，
AB^BC，AB=2BC=2．
(1)证明：
AD^平面
BCD；
(2)当三棱锥
D-ABC的体积取得最大值时，求三棱锥D-ABC的表面积．
20．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成
频率分布直方图(如图)，其中上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为é20)，ë0，é80)，é100)．40)，é60)，éë60，ë80，ë20，ë40，(1)求直方图中x的值；
(2)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若该学校有600名新生，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；
(3)由频率分布直方图估计该校新生上学所需时间的平均值．
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21．某校社团活动开展得有声有色，深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入，极大地推动了学生的全面发展．现已知高一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加心理社团，现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流(每名同学被选到的可能性相同)．
(1)在该班随机选取1名同学，求该同学参加心理社团的概率；(2)求从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率．
22．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温天数[10，15）2[15，20）16[20，25）36[25，30）25[30，35）7[35，40）4以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．试卷第71页，共33页
参考答案：1．B【详解】试题分析：由已知得，因此，答案选B.考点：向量的运算与性质2．B【分析】求出复数z对应的点代入直线方程可得z，再利用复数的除法运算可得答案.【详解】复平面内，复数z=a+2i(aÎR)对应的点为(a,2)，又在直线y=-2x上，所以2=-2a，解得a=-1，所以z=-1+2i，-1+i)(1-i)2i则z-i=-1+2i-i=-1+i=(==i.1+i1+i1+i(1+i)(1-i)2故选：B.3．D【分析】根据异面直线夹角的定义分析求解.【详解】如图，取AC的中点D，连接DF,DE，则DE//CC1，且DE=C1C=23，所以ÐDEF为异面直线EF与C1C所成的角（或其补角），BC又因为F是的中点，则DF=1AB=2，2又因为三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，则DE^平面ABC，且GFÌ平面ABC，所以DE^DF，答案第11页，共22页
在Rt△DEF22DF3.中，EF=DE+DF=4，所以cosÐDEF==EF2故选：D．4．A【分析】证明EF^平面BDD1，即可判断A；如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2，分别求出平面B1EF，A1BD，AC的法向量，根据法向量的位置关系，即可11D判断BCD.【详解】解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC^BD且DD1^平面ABCD，又EFÌ平面ABCD，所以EF^DD1，因为E,F分别为AB,BC的中点，所以EF∥AC，所以EF^BD，又BDIDD1=D，所以EF^平面BDD1，又EFÌ平面B1EF，答案第21页，共22页
所以平面B1EF^平面BDD1，故A正确；选项BCD解法一：
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2，
则B(2,2,2),E(2,1,0),F(1,2,0),B(2,2,0),A(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0)，
11C1(0,2,2)，
uuuruuuruuuruuuur则EF=(-1,1,0),EB=(0,1,2)，DB=(2,2,0),DA=(2,0,2)，
11uuuruuuruuuurAA1=(0,0,2),AC=(-2,2,0),AC11=(-2,2,0),ur设平面B1EF的法向量为m=(x,y,z)，
111urvvuuuìmEF=-x1+y1=0，可取=(2,2,-1)，则有ïm×uuuvívïîm×EB1=y1+2z1=0ur同理可得平面A1BD的法向量为n=(1,-1,-1)，
1uur平面A1AC的法向量为n=(1,1,0)，
2uur平面A1C1D的法向量为n=(1,1,-1)，
3urur则m×n=2-2+1=1¹0，
1所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误；
uruur因为m与n不平行，
2所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误；
uruur因为m与n不平行，
3所以平面B1EF与平面AC不平行，故D错误，11D答案第31页，共22页
故选：A.
选项BCD解法二：
解：对于选项B，如图所示，设A1BIB1E=M，EFIBD=N，则MN为平面B1EF与平面
A1BD的交线，
在VBMN内，作BP^MN于点P，在VEMN内，作GP^MN，交EN于点G，连结BG，则ÐBPG或其补角为平面B1EF与平面A1BD所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：PB2+PN2=BN2，PG2+PN2=GN2，底面正方形ABCD中，E,F为中点，则EF^BD，由勾股定理可得NB2+NG2=BG2，
从而有：NB2+NG2=(PB2+PN2)+(PG2+PN2)=BG2，
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据此可得PB2+PG2¹BG2，即ÐBPG¹90o，
据此可得平面B1EF^平面A1BD不成立，选项B错误；对于选项C，取A1B1的中点H，则AHPB1E，
由于AH与平面A1AC相交，故平面B1EF∥平面A1AC不成立，选项C错误；
对于选项D，取AD的中点M，很明显四边形A1B1FM为平行四边形，则A1MPB1F，由于A1M与平面AC相交，故平面B1EF∥平面AC不成立，选项D错误；11D11D故选：A.
5．D
【解析】根据直方图求出a=0.0025，求出[300,500)的频率，可判断①；求出[200,500)的频
率，可判断②；根据中位数是从左到右频率为0.5的分界点，先确定在哪个区间，再求出占
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该区间的比例，求出中位数，判断③.【详解】由(0.001+0.0015+0,002+0.0005+2a)´100=1，a=0.0025，[300,500)的频率为(0.002+0.0025)´100=0.45，①正确；[200,500)的频率为(0.0015+0.002+0.0025)´100=0.55，②正确；[200,400)的频率为0.3，[200,500)的频率为0.55，中位数在[400,500)且占该组的4，5故中位数为400+故选:D.0.5-0.3´100=480，③正确.0.25【点睛】本题考查补全直方图，由直方图求频率和平均数，属于基础题6．C【详解】由题意可知，学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数100+95+90´2+85´4+80+75=87，成绩排列为75,80,85,85,85,85，90,90,95,100，可10得众数为85，中位数85+85=85，因此选C27．A【解析】根据对立事件和互斥事件概念，可判断A正确，其余选项举反例即可.【详解】根据对立事件和互斥事件的概念，可知对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件但不一定对立事件，则A正确；设事件A发生的概率为0.5，事件B发生的概率为0.6，同时发生的概率为0.4，则恰有一个答案第61页，共22页
发生的概率为0.3，则B错；若P(AÈB)=1，事件A与事件B不一定互斥，则不是对立事件，则C错；当事件A与事件B互斥时，则事件A，B中至少有一个发生的概率与A，B中恰有一个发生的概率相等，则D错；故选：A.【点睛】本题考查对立事件和互斥事件概率的辨析，属于基础题.8．A【详解】设2名男生记为A1,A2,2名女生记为B1,B2,任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,共有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2),(A2,A1),(B1,A1),(B2,A1),(B1,A2),(B2,A2),(B2,B1)12种情况,而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2)4种情况,则发生的概率为P=故选：A.9．AD41=,123rrrr【分析】根据向量的坐标运算求|a|,b，a×b，对于A：根据向量的夹角公式运算求解；对于B：根据投影向量的定义分析运算；对于C：根据向量垂直的坐标运算求解；对于D：根据向量共线的判定定理分析运算.rr22|a|=1+1=2,b=【详解】由题意知rr(-3)+4=5，a×b=1´(-3)+1´4=1，22rrrra×b12cosáa,bñ===rrA对于选项A：2´510，故正确；a×b答案第71页，共22页
rræa×bör1ra=a，故B错误；对于选项B：在方向上的投影向量为ççr2÷÷2èaørbrar对于选项C：设与b垂直的单位向量的坐标为(x,y)，00224ì4ìx0ì+y0=1x=x=-íïïïï55-3x+4y=000可得î，解得í或í，33ïy=ïy=-ï5ï5îîr43öæ43öb所以与垂直的单位向量的坐标为æç,÷或ç-,-÷，故C错误；è55øè55ørrrr对于选项D：因为向量a+lb与向量a-lb共线，tÎR所以若存在rrrrrra+lb=ta-lb=ta-ltb，使得，()t=1ìt=1，故D正确．则ì，解得ííîl=0îl=-tl故选：AD.10．BCD【分析】根据复数的基本概念和复数的运算逐项判断即可.z=a+bi(a,bÎR)【详解】设ëa+(b+1)iùû，，则z=a-bi，由z-1=i-1， 得a-1-bi=(i-1)éz+i整理得1-a+bi=a+b+1+(b+1-a)i，a=1b=-21-a=a+b+1.所以ì，解得，íîb=b+1-a所以z=1-2i，所以z=5，故选项A错误；因为z=1-2i，所以z=1+2i，所以z-2z=1+2i-2(1-2i)=-1+6i，B正确；z=1+2i在复答案第81页，共22页
平面内对应的点为(1,2)，显然在直线y=2x上，C正确；22-8因为z-z=z+zz-z=2´(-4i)=-8i，所以z-z的虚部为，D正确.2()()2故选：BCD.11．ABD【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接B1C、BC1，因为DA1//B1C，所以直线BC1与B1C所成的角即为直线BC1与DA1所成的角，因为四边形BB1C1C为正方形，则B1C^BC1，故直线BC1与DA1所成的角为90°，A正确；连接AC，因为A1B1^平面BB1C1C，BC1Ì平面BB1C1C，则A1B1^BC1，1因为B1C^BC1，A1B1IB1C=B1，所以BC1^平面A1B1C，又ACÌ平面A1B1C，所以BC1^CA1，故B正确；1连接A1C1，设A1C1IB1D1=O，连接BO，因为BB1^平面A1B1C1D1，C1OÌ平面A1B1C1D1，则C1O^B1B，因为C1O^B1D1，B1D1ÇB1B=B1，所以C1O^平面BB1D1D，答案第91页，共22页
所以ÐC1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，1CO1设正方体棱长为，则CO=2，BC1=2，sinÐC1BO=1=，1BC122所以，直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30o，故C错误；因为C1C^平面ABCD，所以ÐC1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，易得ÐC1BC=45o，故D正确.故选：ABD12．BCD【分析】利用最高矩形底边的中点值作为众数可判断A选项的正误；计算出生猪中体重不低于200kg所占的频率，乘以2000可判断B选项的正误；根据中位数左边的矩形面积之和为0.5可判断C选项的正误；根据频率分布直方图计算出样本数据的平均数，可判断D选项的正误.【详解】由频率分布直方图可知，[140,160)这一组的数据对应的小长方形最高，所以这2000头生猪的体重的众数为150kg，A错误；这2000头生猪中体重不低于200kg的有0.002´20´2000=80（头），B正确；因为生猪的体重在[80,140)内的频率为(0.001+0.004+0.01)´20=0.3，在[140,160)内的频率为0.016´20=0.32，且0.3+0.32=0.62>0.5，所以这2000头生猪体重的中位数落在区间[140,160)内，C正确；答案第101页，共22页
这2000头生猪体重的平均数为(0.001´90+0.004´110+0.01´130+0.016´150+0.012´170+0.005´190+0.002´210)´20=152.8(kg)，D正确．故选：BCD.【点睛】方法点睛：从频率分布直方图中得出相关数据的方法频率频率，频率=组距´，即组距组距（1）频率：频率分布直方图中横轴表示样本数据，纵轴表示每个小长方形的面积表示相应各组的频率．（2）众数：频率分布直方图中最高的小长方形底边中点对应的横坐标．（3）中位数：平分频率分布直方图中小长方形的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．（4）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和．13．33-5【分析】由余弦定理求得AC=3-1，再结合正弦定理得sinÐBAC=2，进而得26+2，得CE=4-23，则面积可求æppösinÐAEC=sinç+÷=4è34ø【详解】由AB2=AC2+BC2-2AC×BCcosÐACB，得AC2+2AC-2=0，解得AC=3-1.BCABp，所以sinÐBAC=2，ÐBAC=，=sinÐBACsinÐACB42因为所以sinÐAEC=sin(ÐACE+ÐBAC)=sinæp+pö=6+2.ç÷4è34ø答案第111页，共22页
又因为CEAC，所以CE=4-23.=sinÐBACsinÐAEC因为ÐECD=ÐBCE+ÐBCD=p1，所以SDDCE=CE×CD=33-5.22故答案为33-5【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题3414．+i55【详解】由题意可得，z=3+4i2，z=3+(-4)=5.2所以，z3+4i34i==+.z55534故答案为：+i.55115．3/333【分析】根据题意结合异面直线夹角的定义分析运算.【详解】设PA=AC=BC=1，如图，取PC的中点E，连接DE，AE，可得DE//BC，所以异面直线AD与BC所成的角为ÐADE（或其补角）．又因为PA^平面ABC，BCÌ平面ABC，则PA^BC，且AC^BC，PAIAC=A，PA,ACÌ平面PAC，所以BC^平面PAC．答案第121页，共22页
且AEÌ平面PAC，则BC^AE，所以DE^AE．因为DE=BC=1,AD=PB=222PA2+AC2+BC23，=22DE3．=AD3所以在Rt△AED中，cosÐADE=故答案为：3.3 16．23【分析】由题意知试验发生包含的所有基本事件数是6，事件A和事件B是互斥事件，求出事件A和事件B包含的基本事件数，根据互斥事件和古典概型的概率公式得到结果．【详解】随机掷一个骰子一次共有6种不同的结果，其中事件A “出现不大于4的偶数点”包括2，4两种结果，21=．63则P(A)=事件B“出现小于5的点数”包括1，2，3，4四种结果，421=，PB=．633则P(B)=()答案第131页，共22页
又因为事件A和事件B是互斥事件，112PA+B=+=．333()故答案为：3.217．(1)A=π3(2)3【分析】（1）根据余弦定理化简即可得到角A的大小；（2）由角平分线定理可得CD=2BD，由cosÐADB=-cosÐADC，结合余项定理化简即可求得结果.【详解】（1）因为(ccosB+bcosC)2+bcb+c22=1，即æa2+c2-b2a2+b2-c2ö22+bçc÷+bc=b+c2ac2abèø2化简可得a2=b2+c2-bc，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，所以2cosA=1ÞcosA=，且AÎ(0,π)，则A=12π3（2）由（1）知A=222πb=2c，由余弦定理可得cosA=b+c-a，将代入，32bc化简可得a=3c，答案第141页，共22页
又因为AD平分ÐBAC，由角平分线定理可得ABBD，即=ACCDcBD1BD=Þ=ÞCD=2BD，且a=3c，所以CD=23c,BD=3c，bCD2CD33又因为ÐADB+ÐADC=π,则cosÐADB=-cosÐADC，结合余弦定理可得212242c=32c=34+c-c4+c-4c33=-，解得，所以3232´2´c2´2´c33则a=3c=318．(1)存在，Q是(2)12AD的中点【分析】（1）利用线面平行与面面平行的判定定理证明即可；（2）利用余弦定理与勾股定理证得AE^MD，进而利用线面垂直的判定定理证得MD^平面PAE，从而得到F到平面PAE的距离，再利用等体积法即可得解.【详解】（1）当Q是AD的中点时，平面PAE//平面FQC，理由如下：如图，连接FQ,CQ，依题意得AD//EC，且AD=2,EC=1，则AQ//CE,AQ=CE，所以四边形AECQ是平行四边形，则AE//CQ，答案第151页，共22页
又AEÌ平面PAE,CQË平面PAE，所以CQ//平面PAE，因为Q,F分别为AD,PD的中点，所以PA//QF，又PAÌ平面PAE,QFË平面PAE，所以QF//平面PAE，因为QF,CQÌ平面FQC,QFICQ=Q，所以平面PAE//平面FQC，. （2）取AE的中点M，连接DM，因为BE=2EC,BC=3,ÐABC=60o，则BE=2=AB，△PAE123=3，2所以为边长为2的等边三角形，则SVPAE=´2´2´因为AM=1,AD=2,ÐMAD=60°，所以由余弦定理得MD=1+4-2´1´2´1=3，2，则AE^MD，所以在VAMD中，MD2+AM2=AD2因为平面PAE^平面AECD，平面PAEI平面AECD=AE,MDÌ平面AECD，所以MD^平面PAE，PD因为F为的中点，所以F到平面PAE的距离h=MD=123，2所以VP-AEF1131.=VF-PAE=SVPAE×h=´3´=332219．(1)证明见解析答案第161页，共22页
(2)4+2+62【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得BC^平面ABD，再利用线面垂直的性质定理和判定定理分析证明；（2）根据面面垂直分析可得当点O为AB的中点时，三棱锥D-ABC的体积取得最大值，进而根据垂直关系求相应的边长和表面积.【详解】（1）因为平面ABD^平面ABC，平面ABDÇ平面ABC=AB，AB^BC，BCÌ平面ABC，所以BC^平面ABD．且ADÌ平面ABD，所以BC^AD．又因为点D在以AB为直径的半圆弧上，则AD^BD．且BDÇBC=B，BD,BCÌ平面BCD，所以AD^平面BCD．（2）过点D作AB的垂线DO交AB于点O， 因为平面ABD^平面ABC，平面ABDÇ平面ABC=AB，ODÌ平面ABD，所以OD^平面ABC，答案第171页，共22页
所以当点O为AB的中点时，三棱锥D-ABC的体积取得最大值，则AD=BD=2，因为BC^平面ABD，BDÌ平面ABD，所以BC^BD，在Rt△CDB中，CD=BC2+BD2=3，由（1）知AD^平面BCD，CDÌ平面BCD，则AD^CD．112×AB×BC=1，S△BCD=×BD×BC=，222可得：S△ABC=S△ABD=1×AB×OD=1，S△ACD=1×AD×CD=6，222所以此时三棱锥D-ABC的表面积为S△△△△ABC+SBCD+SABD+SACD=1+264+2+6．+1+=22220．(1) x=0.0125 (2) 72名(3) 33.6分钟.【分析】（1）利用概率和为1列方程即可得解．（2）计算出新生上学时间不少于1小时的频率为0.12，问题得解．（3）直接利用均值计算公式求解即可．【详解】解：（1）由直方图可得：20´x+0.025´20+0.0065´20+0.003´20´2=1，解得x=0.0125.（2）新生上学时间不少于1小时的频率为0.003´20´2=0.12，因为600´0.12=72，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.答案第181页，共22页
（3）由题可知20´0.0125´10+0.025´20´30+0.0065´20´50+0.003´20´70+0.003´20´90 =33.6分钟.故该校新生上学所需时间的平均值为33.6分钟.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的知识，考查了概率的应用，还考查了平均值的计算公式，属于中档题．21．(1)110(2)35【分析】（1）根据题意结合随机事件概率求解；（2）根据题意利用列举法结合古典概率计算公式求解.【详解】（1）由题意可知，该班60名同学中共有6名同学参加心理社团，61=．6010所以在该班随机选取1名同学，该同学参加心理社团的概率P=（2）设A，B，C，D表示参加心理社团的男同学，a，b表示参加心理社团的女同学，则从6名同学中选出的2名同学代表共有15种等可能的结果：AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab，其中至少有1名女同学的结果有9种：Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,Da,Db,ab，根据古典概率计算公式，从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率P=93=．1553422．（1）．（2）．55【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和答案第191页，共22页
最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．【详解】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，如果最高气温低于20，需求量为200瓶，∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p=（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，Y＝450×2＝900元，当温度在[20，25）℃时，需求量为300，Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，当温度低于20℃时，需求量为200，Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，当温度大于等于20时，Y＞0，543=．905由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：90﹣（2+16）＝72，∴估计Y大于零的概率P=724=．905【点睛】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．答案第201页，共22页
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