初三几何旋转半角及三线共点问题(-)教师

2015 年中考解决方案

旋转 2—半角及三线共点问题

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旋转 2

中考说明

内容

基本要求

了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心 的距离相等、对应点与旋转中心连线所成 的角彼此相等的性质；会识别中心对称图 形

略高要求

能按要求作出简单平面图形旋 转后的图形，能依据旋转前、 后的图形，指出旋转中心和旋 转角

较高要求 能运用旋转的知 识解决简单问题

旋转

☞半角问题旋转模型图

☞秘籍：角含半角要旋转

A

D F

A D

F

B

E C G B E C

A D A D G

A D

E

B

C

E

B

C

G

E

B

C

F F F

A

A

F

B

D E C

B

D E C

中考满分必做题

【例1】 E 、 F 分别是正方形 ABCD 的边 BC 、 CD 上的点，且∠EAF  45 ， AH  EF ， H 为垂足，求

证： AH  AB ．

A

D F H

B E

【答案】延长 CB 至 G ，使 BG  DF ，连结 AG ，

易证 △ABG ≌△ADF ，

∠BAG  ∠DAF ， AG  AF ．

A

C D

F

再证 △AEG ≌△AEF ，

全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)， 则有 AH  AB ．

H

G

B

E

C

【例2】 如图所示，在正方形 ABCD 中， AB  3 ，点 E 、 F 分别在 BC 、 CD 上，且 BAE  30 ，

DAF  15 ，求 AEF 的面积．

A

D F

B

【答案】如图所示，将 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 ，得到 ABG ，则 G 、 B 、 E 共线.

而 GAE  15 30  45 ，且 FAE  90 15 30  45 ，

E

C

故 GAE  FAE ，则 GAE ≌ FAE .

由此可得 EF  EG ， AEF  AEG  60 ， EFC  30 .

A D

在 Rt ABE 中， AB  3 ， BAE  30 ，故 BE  1 ，

CE  3  1 .在 Rt EFC 中， EFC  30o ，则 EF  2( 3  1) .

AEF

F

故 S

 S

1 1  EG  AB   2( 3  1) 3  3  3 .

AEG 2 2

G B E

C

【巩固】如图，正方形 ABCD 的边长为 1， AB 、 AD 上各存一点 P 、 Q ，若 APQ 的周长为 2，求 PCQ

的度数．

D

C

Q

A

P B

【答案】把 CDQ 绕点 C 旋转 90 到 CBF 的位置，

CQ = CF ．∵ AQ  AP  QP  2 ，

又 AQ  QD  AP  PB  2 ，∴ QD+BP= QP ．

D

C

又 DQ= BF ，∴ PQ = PF ．

∴ QCP ≌ FCP ．∴ QCP  FCP ．

Q

又∵ QCF  90 ，∴ PCQ  45 ．

A

P B F

【巩固】如图：正方形 ABCD 的边长为 6cm，E 是 AD 的中点，点 P 在 AB 上，且∠ECP=45°．则 PE 的

长是________cm．△PEC 的面积是__________ cm2.

（11 年怀柔二模）

A

E

D

P

B

C

【答案】（1）5（2）15

【例3】 如图所示，在等腰直角 ABC 的斜边 AB 上取两点 M 、N ，使 MCN  45 ，记 MA m

BN  n ，求证：以 x 、 m 、 n 为边长的三角形的形状是直角三角形.

，MN  x ，

C

A m M x N n B

C

【答案】解法１：如图所示，将 CBN 绕点 C 顺时针旋转 90 ，

得到 CAD .连接 MD ，则 AD  BN  n ， CD  CN ，

D

n A

m M

x

N n B

ACD  BCN ，故 MCD  ACM  ACD  ACM  BCN  90 45  45  MCN 从而 MDC ≌ MNC ， 则 MD  MN  x .而 DAM  45  45  90 ， 故在直角三角形 AMD 中有 m2  n2  x2 .

C

解法 2：我们用上一讲学习过的“对称变换”也能得到解答． 如图所示，以 CM 为对称轴将 CMA 翻折到 CMP 的位置．

易证 CPN 和 CBN 关于 CN 对称，且 PMN 为直角三角形， 并且可得 PM  AM  m ， PN  NB  n ， MN  x ．

A M

P

N B

【巩固】请阅读下列材料：

已知：如图 1 在 RtABC 中， BAC  90 ， AB  AC ，点 D 、 E 分别为线段 BC 上两动点，若 DAE  45 ．探究线段 BD 、 DE 、 EC 三条线段之间的数量关系．

小明的思路是：把 AEC 绕点 A 顺时针旋转 90 ，得到 ABE ，连结 ED ，

使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

（1）猜想 BD 、 DE 、 EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

（2）当动点 E 在线段 BC 上，动点 D 运动在线段 CB 延长线上时，如图 2，其它条件不变，⑴中 探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

A

A

B

D

图1 E

C D B E

C

图2

【答案】（1） DE 2  BD2  EC 2

证明：根据 AEC 绕点 A 顺时针旋转 90 得到 ABE

∴ AEC ≌ ABE

∴ BE  EC ， AE  AE ， C  ABE ， EAC  EAB 在 RtABC 中

∵ AB  AC ∴ ABC  ACB  45 ∴ ABC  ABE  90

即 EBD  90 ∴ EB2  BD2  ED2 又∵ DAE  45 ∴ BAD  EAC  45 ∴ EAB  BAD  45 即 EAD  45 ∴ AED ≌ AED ∴ DE  DE

∴ DE 2  BD2  EC 2

（2）关系式 DE 2  BD2  EC 2 仍然成立

F

A

E'

B D E

C

A

D B E C

证明：将 ADB 沿直线 AD 对折，得 AFD ，连 FE ∴ AFD≌ ABD

∴ AF  AB ， FD  DB

FAD  BAD ， AFD  ABD 又∵ AB  AC ，∴ AF  AC

∵ FAE  FAD  DAE  FAD  45

EAC  BAC  BAE  90  DAE  DAB   45  DAB

∴ FAE  EAC 又∵ AE  AE

∴ AFE ≌ ACE

∴ FE  EC ， AFE  ACE  45

AFD  ABD  180 ABC  135

∴ DFE  AFD  AFE  135 45  90 ∴在 RtDFE 中

DF 2  FE 2  DE 2 即 DE 2  BD2  EC 2 ．

【例4】 如图 1，Rt ABC ≌Rt EDF ， ACB  F  90 ， A  E  30 ． EDF 绕着边 AB 的中点 D 旋

转，DE，DF 分别交线段 AC 于点 M，K．

（1）观察：①如图 2、图 3，当 CDF  0 或 60 时，AM  CK ______ MK（填“＞”， ＜． “ ”或“＝”）

②如图 4，当∠CDF＝ 30 时， AM  CK ______ MK （只填“＞”或“＜”）．

（2）猜想：如图 1，当 0 ＜∠CDF＜ 60 时， AM  CK ______ MK ，证明你所得到的结论．

（3）如果 MK 2  CK 2  AM 2 ，请直接写出 CDF 度数和 MK

AM

的值．

E

E

F K

A

M

C C(F,K)

M

D

B A D B

图 1

图 2

E F

K

B

A

M

D

B C

F

C

K

E

A(M) D

图 3

【答案】（1）①＝

图 4

②＞

（2）＞

证明：作点 C 关于 FD 的对称点 G，连接 GK、GM、GD

则 GD＝CD，GK＝CK，∠GDK＝∠CDK

∵D 是 AB 的中点，∴AD＝CD＝GD

∵∠A＝30°，∴∠CDA＝120°

∵∠EDF＝60°，∴∠GDM＋∠GDK＝60°

E

G

∠ADM＋∠CDK＝60°

F C

∴∠ADM＝∠GDM．

又 DM  DM , ADM  GDM ,GM  AM ∵GM＋GK＞MK，∴AM＋CK＞MK．

K

M

A

D B

（3）∠CDF＝15°，

MK 3 5】AM＝

2

(1)如图，在四边形且 ABCD 中， ABEF  AD BE ，  B

FD  D  90 ， E、F 分别是边 BC、CD 上的点，

EAF = 1 BAD ．求证： ;

2

(2) 如图在四边形

EAF  ABCD， (1)中，中的结论是否仍然成立？不用证明． AB  AD，B+ D  180 ， E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且

1 BAD

2 (3) 上的点，且如图，在四边形 EAF ABCD  中， AB ， (1) AD中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请 ， B  ADC  180 ， E ，F

分别是边 BC ，CD 延长线 1 BAD

2

写出它们之间的数量关系，并证明．

F

A

A

A

D

D D

F

B

F

B

C

BEE

C

C E

【例

【答案】 证明：延长 EB 到 G ，使 BG= DF ，联结 AG ．

∵ ABG  ABC = D  90，AB  AD ，

∴ ABG ≌ ADF ．

∴ AG＝AF， 1  ＝2 ．

1

∴ 1  3  2  3  EAF  BAD ．

2

∴ GAE = EAF ． 又 AE  AE ，

∴ AEG ≌ AEF ． ∴ EG＝EF ．

∵ EG= BE+BG ． ∴ EF  BE  FD

(2) (1)中的结论 EF  BE  FD 仍然成立．

(3)结论 EF  BE  FD 不成立，应当是 EF  BE  FD 证明：在 BE 上截取 BG ， 使 BG= DF ，连接 AG ． ∵ B  ADC  180 ， ADF  ADC  180 ， ∴ B  ADF ． ∵ AB  AD ，

∴ ABG ≌ ADF ．

∴ BAG  DAF，AG  AF ．

1

∴ BAG+ EAD＝DAF + EAD= EAF =  BAD

2

∴ GAE  EAF ． ∵ AE  AE ，

∴ AEG ≌ AEF ∴ EG  EF

∵ EG  BE  BG

A

1

2

3

D

F

G

C

B E

F

A

D

B

G

C

E

【例6】 如图所示， ABC 是边长为1 的正三角形， BDC 是顶角为120 的等腰三角形，以 D 为顶点作一

个 60 的 MDN ，点 M 、 N 分别在 AB 、 AC 上，求 AMN 的周长．

A

N

M B

C

D

【答案】2．

【 巩 固 】 在 等 边 ABC 的 两 边 AB ， AC 所 在 直 线 上 分 别 有 两 点 M ，N ， 为 D ABC 外 一 点 ， 且

MDN  60 ， BDC  120 ， BD  CD ，探究：当点 M ， 分别爱直线 AB ，AC 上移动时， N

BM ，BN ，MN 之间的数量关系及 AMN 的周长 Q 与等边 ABC 的周长 L 的关系．

N

A A

A

M B

D 图①

N

N

M

C B

D 图②

C

M

B

D 图③

C

（1）如图①，当点 M ，N 在边 AB ，AC 上，且 DM  DN 时， BM ，NC ，MN 之间的数量关系式

_________；此时

Q

L

 __________

（2）如图②，当点 M ， 在边 AB ，AC 上，且 DM  DN 时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写 N

出你的猜想并加以证明；

（3）如图③，当点M ，N 分别在边 AB ，CA 的延长线上时，若 AN  x ，则Q  _________(用 x ，L

表示)

【答案】第三问提示：利用旋转，即可得到两个阴影部分全等

N

N

A

A

B

M

D

M/

B

C

M

D

M/ C

【例7】 已知：如图，正方形 ABCD 中，AC , BD 为对角线，将 BAC 绕顶点 A 逆时针旋转  ( 0    45 )，

旋转后角的两边分别交 BD 于点 P 、点 Q ，交 BC , CD 于点 E 、点 F ，联结 EF 、 EQ ．

（1）在 BAC 的旋转过程中， AEQ 的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它 的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；

（2）探究 APQ 与 AEF 的面积的数量关系，写出结论并加以证明．

（11 年石景山一模）

A

D

Q

F

P

B

E

C

【答案】（1）不变； 45°；

（2）结论：S△AEF=2 S△APQ

∵ AEQ  45°， EAF  45 ∴ EQA  90

A

H

D

∴ AE  2 AQ

同理 AF  2 AP

过点 P 作 PH  AF 于 H

∴ S △AEF  1 AF  EQ  1  2 AP  AQ

2 2

 2 AP  AQ  PH  AQ  2S △APQ

2

Q

F

P B

E C

【例8】 如图(1)，两块等腰直角三角板 ABC 和 DEF ，ABC  DEF  90 ，点 C 与 EF 在同一条直线 l 上，

将三角板 ABC 绕点 C 逆时针旋转  角（ 0    90 ）得到 A ' B ' C ．设 EF  2 ， BC  1 , CE  x ． (1)如图⑵，当  90 ，且点 C 与点 F 重合时，连结 EB' ，将直线 EB' 绕点 E 逆时针旋转 45 ，交

直线 A' D 于点 M ，请补全图形，并求证： A ' M  DM ．

⑵如图⑶，当 0    90 ，且点 C 与点 F 不重合时，连结 EB' ，将直线 EB' 绕点 E 逆时针旋转 45 ，

A'M 的值（用含x的代数式表示）交直线 A' D 于点 M ，求 ．[来源:学&科&网]

DM

D

D D

A'

M

A

E

C

F

A

A'

B'

B'

l

B

E F(C) B l E C F l

图⑴

图⑵ 图⑶

【答案】⑴补全图形如右图⑴．

② 如图⑵，连结 AE，

D

M

A'

B' A

∵ ABC 和 DEF 是等腰直角三角形，

ABC ＝ DEF ＝ 90 ， AB  1 , DE  2 ，

∴ BC  1 ， EF  2 , DFE  ACB  45 ．

∴ A'C  AC  2 ， DF  2 2 ， EFB' ＝ 90 ． ∴ A' D  DF  A'C  2 ， ∴点 A' 为 DF 的中点．

∴ EA' ⊥ DF ， EA' 平分 DEF ．

∴ MA' E ＝ 90 ， A' EF ＝ 45 ， A' E  2 ． ∵ MEB' ＝ A' EF ＝ 45 ， ∴ MEA' ＝ B' EF , ∴Rt MA'E ∽Rt  B' FE ，

2，' M A' E A＝，∴∴ A' M  

EF B' F 2

D

M

A' B' A

E F(C) B l

图⑵

∴ DM  A' D  A' M  2  2  2 ，

2 2

∴ A ' M  DM ．

⑵如图(3)，过点 B' 作 B'G ⊥ B' E 交直线 EM 于点 G ，连结 A'G ．

∵ EB'G ＝ 90 ， B' EM ＝ 45 ，∴ B'GE ＝ 45 ． ∴ B' E  B'G ．

∵ A' B'C ＝ EB'G ＝ 90 ，∴ A' B'G ＝ CB' E ． 又∵ B' A' ＝ B'C ， ∴  A' B'G ≌  CB' E ．

G

D

M

A'

B'

E C F

∴ A'G ＝ CE ＝ x ， A' GB' ＝ CEB' ．

∵ A'GB' ＋ A'GM ＝ CEB' ＋ DEM ＝ 45 ， ∴ A'GM ＝ DEM ， ∴ A'G ∥ DE ．

图⑶

l

A' M

∴



A' G DE

 ． 2

x

DM

【例9】 如图 1、2 是两个相似比为1 ： 2 的等腰直角三角形，将两个三角形如图 3 放置，小直角三角形

的斜 边与大直角三角形的一直角边重合。

⑴ 在图 3 中，绕点 D 旋转小直角三角形，使两直角边分别与 AC、BC 交于点 E, F ，如图 4。

求证： AE 2  BF 2  EF 2 ；

⑵ 若在图 3 中，绕点 C 旋转小直角三角形，使它的斜边和CD 延长线分别与 AB 交于点 E、F ，

如图 5，此时结论 AE 2  BF 2  EF 2 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立， 请说明理由。

C

C

图 1

D

A

图 2 B

A

D

3

B

C

C

F

A E

D

B

E

D

F B

A

图 5

图 4

⑶ 如图，在正方形 ABCD 中， E、F 分别是边 BC、CD 上的点，满足 CEF 的周长等于正方

形 ABCD 的周长的一半， AE、AF 分别与对角线 BD 交于 M、N ，试问线段 BM 、

MN 、DN 能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，

请说明理由。

A

N

D

F C

M

B

E

（2010 安徽蚌埠）

【答案】（1）连 CD ，如图 4，∵两个等腰直角三角形的相似比为1：2 ，

而小直角三角形的斜边等于大直角三角形的直角边，

∴点 D 为 AB 的中点，又∵ CD  AD，4  A  45 ，

∵ 1  2  2  3  90， 3  1 ，

∴ CDF≌ ADE， CF  AE， 理可得 CED≌ BFD ，CE  BF ， 同

而 CE 2  CF 2  EF 2， AE 2  BF 2  EF 2 ； 

（2）结论 AE 2  BF 2  EF 2 仍然成立．理由如下： 把 CFB 绕点 C 顺时针旋转 90 ，得到 CGA ，如图 5

CF  CG，AG  BF，4  1，B  GAC  45 ，  GAE  90， ﹣而 3  45，  2  4  90 45  45 ， 1  2  45， CGE≌ CFE， GE  EF 在，Rt AGE 中， AE 2  AG 2  GE 2， AE 2  BF 2  EF 2； 

（3）线段 BM、MN、DN 能构成直角三角形的三边长．理由如下：

把 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 得到 ABP ，点 N 的对应点为 Q ，如图

 4  2，1  3  4  90 ， BP  DF，BQ  DN，AF  AP， ∵ CEF 的周长等于正方形 ABCD 的周长的一半，  EF  BE  DF， EF  EP，  AEF≌ AEP， 1  3  4， 而 AQ  AN ，

 AMQ≌ AMN， MN  QM， ADN  QBA  45，ABD  45 ， 而

 QBN  90， BQ 2  BM 2  QM 2， BM 2  DN 2  MN 2 ．

【例10】边长为 2 的正方形 ABCD 的两顶点 A 、C 分别在正方形 EFGH 的两边 DE 、DG 上(如图 1)，现

将正方形 ABCD 绕 D 点顺时针旋转，当 A 点第一次落在 DF 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边 交 DF 于点 M ， BC 边交 DG 于点 N .

（1）求边 DA 在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时(如图 2)，求正方形 ABCD 旋转的度数；

（3）如图 3，设 MBN 的周长为 p ，在旋转正方形 ABCD 的过程中， p 值是否有变化？请证

明你的结论.

(2014 年房山二模)

【答案】∵ A 点第一次落在 DF 上时停止旋转，∴ DA 旋转了 45 0.

45  22 

∴ DA 在旋转过程中所扫过的面积为 

360 2

（2）∵ MN ∥ AC ，

∴ BMN  BAC  45 , BNM  BCA  45 . ∴ BMN  BNM .∴ BM  BN . 又∵ BA  BC ，∴ AM  CN .

又∵ DA  DC , DAM  DCN ,∴ DAM  DCN .

1

∴ ADM  CDN .∴ ADM  (90  45   .

2

∴旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时，正方形 ABCD 旋转的度数为 45    

(3)证明：

延长 BA 交 DE 轴于 H 点，则 ADE  450  ADM ，

CDN  900  450  ADM  450  ADM ， ∴ ADE  CDN .

又∵ DA  DC ， DAH  1800  900  900  DCN . ∴ DAH  DCN

∴ DH  DN , AH  CN .

又∵ MDE  MDN  450 , DM  DM , ∴ DMH  DMN .

∴ MN  MH  AM  AH . ∴ MN  AM  CN ，

∴ p  MN  BN  BM  AM  CN  BN  BM  AB  BC  4 . ∴在旋转正方形 ABCD 的过程中， p 值无变化.

【例11】已知：如图，正方形 ABCD 的边长为 a，BM，DN 分别平分正方形的两个外角，且满足

MAN  45 ，连结 MC，NC，MN．

（1）填空：与△ ABM 相似的三角形是△

，BM  DN = ；（用含 a 的代数式表示）

（2）求 MCN 的度数；

（3）猜想线段 BM，DN 和 MN 之间的等量关系并证明你的结论．

(12 年西城区九上期末）

【答案】（1）与△

ABM 相似的三角形是△ NDA ， BM  DN  a2 ；

BM AB

（2）由（1△） ABM∽△NDA 可得  ．（如图 9） DA ND ∵ 四边形 ABCD 是正方形，

BM DC

∴ AB=DC，DA= BC， ABC  BCD  ADC  BAD  90 ．∴  ．

BC ND

∵ BM，DN 分别平分正方形 ABCD 的两个外角，

∴ CBM  NDC  45 ．∴ △ BCM∽△DNC． ∴ BCM  DNC ． ∴ MCN  360 BCD  BCM  DCN

 2 7 0 C N) 2 7 0  ( 1 8 0  (D N C  D CD N )  

证法一：如图 9，将

（3）线段 BM，DN 和MN 之间的等量关系是 BM 2  DN 2  MN 2 ．（只猜想答案不证明不给分）

NDA 绕点 A 顺时针旋转 90 得到 ABF ，连接 MF ．则 ABF≌ ADN ． ∴ 1  3 ，AF  AN，BF  DN ， AFB  AND ．

∴ MAF  1  2  2  3  BAD  MAN  45 ． ∴ MAF  MAN ．

AM  AM， MF  MN．  AMF≌ AMN．

可得 MBF  (AFB  1)  45  (AND  3)  45  90 ． ∴ 在 Rt BMF 中， BM 2  BF 2  FM 2 ．

∴ BM 2  DN 2  MN 2 ．

证法二：连接 BD ，作 ME BD ，与 DN 交于点 E ,（如图 10）可知 BDC  45 ，BDN  90 ． ∵ ME BD， MEN  180 BDN  90 ． ∴

∵ DBM  DBC  CBM  90 ，

∴ 四边形 BDEM 是矩形

D B M ．D E  M E  B ，

在 Rt MEN 中， MEN  90 ，

∴ MN 2  ME 2  EN 2  BD 2  (DN  DE )2

 ( 2a)2  ( DN  BM )2  2a2  ( DN  BM )2  2BM  DN  (DN  BM )2  BM 2  DN 2 ．

【例12】（1）如图 1，点 E、F 分别是正方形 ABCD 的边 BC、CD 上的点， EAF  45 ，连接 EF ，

则 EF、BE、FD 之间的数量关系是： EF  BE  FD ．连结 BD ，交 AE、AF 于点 M 、N ， 且 MN、BM、DN 满足 MN 2  BM 2  DN 2 ，请证明这个等量关系；

（2）在 ABC 中， AB  AC ，点 D、E 分别为 BC 边上的两点．

、① 如 图 2 ， 当 BAC  60 ， DAE  30 时 ， B D、 D E应 E C 满 足 的 等 量 关 系 是

__________________；

1

(090)②如图 3，当 BAC  ， ， DAE   时， BD、DE、EC 应满足的等量

2

关系是____________________．【参考： sin 2   cos 2   1】

B E M

N

C

A A

A

F 图1

D B D

E C B D E

图3

图2

C

（2014 平谷一模）

【答案】(1) 在正方形 ABCD 中， AB  AD，BAD  90 ，

B

ABM  ADN  45 ．

把 ABM 绕点 A 逆时针旋转 90 得到 ADM  ． 连结 NM  ．则 DM   BM，AM '  AM，, ADM   ABM  45 ， DAM   BAM ．

A

E

M

N

EAF  45，  BAM  DAN  45,

DAM   DAF  45, M ' AN  MAN  45 ．

M'

∴ AM ' N ≌ AMN ． ∴ M ' N  MN ．

在 DM ' N 中， M ' DN  ADN  ADM '  90 , ∴ MN 2  DN 2  BM 2

（2）① DE 2  BD2  BD  EC  EC 2 ；

② DE 2  BD2  2cos  BD  EC  EC 2

C F D

M ' N 2  DN 2  DM '2

三线共点问题

考点说明：图形中出现有公共端点的相等线段，可考虑将含有相等线段的图形绕公共端点旋转

两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．

【例13】如图，在 ABC 中， ACB  90 ， AC  BC ， P 是 ABC 内的一点，且 PB  1，PC  2，PA  3 ，

求 BPC 的度数．

C

P

A

B

【答案】 135

【答案】如图，将 APC 绕点 C 旋转，使 CA 与 CB 重合，

E

C

即 APC ≌ BEC .∴ PCE 为等腰 Rt ，

∴ CPE  45 ， PE 2  PC 2  CE 2  8 .

又∵ PB2  1，BE 2  9 ，∴ PE 2  PB2  BE 2

A B

P

则 BPE  90 .∴ BPC  135 .

【巩固】 如图， P 是等边 ABC 内一点，若 AP  3 ， PB  4 ， PC  5 ，求 APB 的度数．

A

3 4

B

P

5

C

【答案】150

【解析】如图，过点 B 作 PBP  60 ， BP  BP ，连接 PP ， AP ．

（等于将 BPC 沿点 B 逆时针旋转 60 ）．

A

∵ PBP  60 ， BP  BP  4 ，∴ PP  4 ， PPB  60 ． ∴ AP2  PP2  AP2 ，∴APP  90 ， ∴APB  PPB  APP  150

P'

4

B

P

3 5

C

【巩固】P 为等边 ABC 内一点， APB  113 ， APC  123 ，求证：以 AP 、 BP 、 CP 为边可以构成一

个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.

A

P

B

C

【答案】要判断 AP 、 BP 、 CP 三条线段可以构成一个三角形的三边，常采用判定其中任意两条

线段之和大于第三条线段的办法，然而求所构成的三角形各内角的度数时又会束手无策. 如果以 C 为中心，将 APC 逆时针旋转 60 ，则 A 点变到 B 点，线段 CA 变到 CB ， P 点 变到 P 点，

1

此时， CP  CP ，并且 PCP  60 ， BPC  APC  123 .

1

PCP 为等边三角形，所以 PP  CP ， CPP  CPP  60 .

1

1 1

这时， BPP 就是以 BP 、 AP( BP ) 、 CP( PP ) 为三边构成的三角形.

1

1

1

1

1 1

易知 BPP  BPC  CPP  APC  60  123  60  63

1

1

1

而 BPC  360  113  123  124

所以 BPP  BPC  CPP  124  60  64

1

1

因此 PBP  180  63  64  53

1

【例14】如图， P 为正方形 ABCD 内一点， PA  1，PD  2 ，PC  3 ，将 PDC 绕着 D 点按逆时针旋转 90

到 PQD 的位置．（1）求 PQ : PD 的值；（2）求 APD 的度数．

A

B

P

Q

D

C

【答案】（2）135 （ ） PQ : PD  2 :1 ； 1【解析】（ 1 ）∵ PAD 是 PDC 绕着 D 点逆时针旋转 90 得到的,

∴ PD  PQ ， PDQ  90 

∴ PDQ 是等腰直角三角形.

∴ PQ : PD  2 :1 .

（2）仿照（1）将 PDA绕着 D 点按顺时针旋转 90 到 MDC 的位置（如图），连接 PM ．

则 PD  DM  2，PDM  90 ∴ PDM 是等腰直角三角形. A ∴ PM  2 2，PMD  45

∵ PM 2  8 ，MC 2  PA2  1，PC 2  9 P

B

∴ PM 2  MC 2  PC 2

∴ PMC 为直角三角形.

∴ PMC  90 , ∴ APD  DMC  PMD  PMC  135 .

D

M

C

【巩固】如图所示， P 是等边 ABC 中的一点， PA  2 ， PB  2 3 ， PC  4 ，试求 ABC 的边长.

C

P

B

A

【答案】 2 7

【解析】由于有等边三角形，故可考虑将PBA 绕点 B 旋转 60 ，使 PA 、 PB 、 PC 出现在一个三角形中，

从而构造出一个直角三角形.

将 PBA 绕点 B 逆时针旋转 60 ，则 BA 与 BC 重合， A 点转至 C 点， P 点转至 P 点，连接 PP ，如图所示，有 PC  PA  2 ， PB  PB ，

1

1

1

1

C

P1

PBP  60 .

1

故 PBP 为等边三角形， PP  BP  2 3 ，

1

1

22在 PCP 中， PC 2  42  22  (2 3) 2  PC  PP ，

1

故 PPC  90 ， PC  PC ，

1 1 2 从而有 CPP  30 ，

1

1

P

B A

故 BPC  BPP  PPC  60  30  90 ．

所以，在 RtPBC 中， BC 2  PB 2  PC 2  42  (2 3) 2  28 ， BC  2 7 .

1

1

【巩固】如图所示， P 为正方形 ABCD 内一点，若 PA  a ， PB  2a ， PC  3a(a  0) .

求：⑴ APB 的度数；⑵ 正方形的边长.

A

D

P

B

C

【答案】（2） AB  5  2 2 a （ ）135 ； 1【解析】（ ）将 APB 绕点 B 顺时针旋转 90 ，得到 CQB .连接 PQ ，因为 PBQ  90 ， PB  QB  2a ， 1

所以 PQB  QPB  45 ， PQ  2 2a .

在 PQC 中， PC  3a ， CQ  a ， PQ  2 2a ，则 PC 2  CQ2  PQ2 ，

所以 PQC  90 ，故 APB  CQB  90  45  135 .

（2）因 APB  BPQ  135  45  180 ，则 A 、 P 、 Q 三点共线，

故 AQ  2 2a  a  (1 2 2) a ， QC  a ，

在 RtAQC 中，根据勾股定理得 AC  a2  [(1 2 2) a]2  10  4 2 a

2

所以 AB  AC  5  2 2 a .

2

A

D

P

B

C

Q

【巩固】在 ABC 中， AB  AC ， P 是 ABC 内任意一点，已知 APC  APB ，求证： PB  PC ．

A

P

B C

A

【答案】因为 AB  AC ，所以可将 ABP 绕点 A 旋转到 ACD 的位置，

连结 PD 、 AD 、 CD ，则 AP  AD ， PB  DC ， ADC  APB

因为 APC  APB ，所以 APC  ADC

由 AD  AP ，可得 APD  ADP ，则 DPC  PDC ． DC  PC ，即 PB  PC ．

D

P

B

C

【例15】如图， P 是等边 ABC 外的一点， PA  3 ， PB  4 ， PC  5 ，求 APB 的度数．

B

B

P

C

P

C

A

A

M

【答案】30

【解析】以 PA 为一边向四边形 PACB 的外面作正三角形 AMP ，则 MAB  PAC ， MAB ≌ PAC ，

∴ PB  4 ， BM  5 ， MP  3 ，∴ BPM  90 ， BPA  90  60  30 ．

【例16】如图，正方形 ABCD 内一点 P ， PAD  PDA  15 ，连结 PB 、 PC ，请问： PBC 是等边三

角形吗？为什么？

A

P

D A

P Q

D

P'

B

C B C

【答案】将 APD 绕点 D 逆时针旋转 90 ，得 DPC ，

再作 DPC 关于 DC 的轴对称图形 DQC ，得 CDQ 与 ADP 经过对折后能够重合. 所以 PD  QD ， PDQ  90  15  15  60 ， 所以 PDQ 为等边三角形，即 PQD  60 .

又因为 DQC  APD  180  15  15  150 ， 所以 PQC  360  60  150  150  DQC .

又因为 PQ  QD  CQ ，所以 PCD  DCP  15 .

所以 PCD  30 ， PBA  30 ，所以 PCB  PBC  60 . 所以 PBC 为等边三角形.

【例17】在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=  （ 0    60 ），将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到

线段 BD。

（1）如图 1，直接写出∠ABD 的大小（用含 的式子表示）；

（2）如图 2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE 的形状并加以证明；

（3）在（2）的条件下，连结 DE，若∠DEC=45°，求 的值。

（2013 年北京中考试题）

【解析】（1） 30  1 

2

（2） △ABE 为等边三角形

证明连接 AD 、 CD 、 ED

∵线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60 得到线段 BD 则 BC  BD ， DBC  60

1

又∵ ABE  60 ∴ ABD  60  DBE  EBC  30   且 △BCD 为等边三角形.

2

 AB  AC  AD 在 △ABD 与 △ ACO 中   AD BD  CD 

∴ △ABD ≌ △ ACD （SSS）∴ BAD  CAD 

1 1 BAC   2 2

1 1

∵ BCE  150 ∴ BEC  180  (30   )  150  

2 2 BEC  BAD

 EBC  ABD 在 △ABD 与 △EBC 中   BC  BD 

A

D

E ∴ △ABD ≌ △EBC （AAS）∴ AB  BE

B C ∴ △ABE 为等边三角形

（3）∵ BCD  60 ， BCE  150 ∴ DCE  150  60  90

又∵ DEC  45 ∴ △DCE 为等腰直角三角形∴ DC  CE  BC

(180  150) 1

∵ BCE  150 ∴ EBC  而  15 EBC  30    15 ∴   30

2 2

【例18】如图，在正方形 ABCD 外面存在一个点 E ，连接 AE ,以 A 为直角顶点作一个等腰直角三角形

△AEF ,若 E 、 恰好三点共线，且 AE  1 ，BF  5 ,（1）求点 B 到直线 AE 的距离（2）求 F 、D

AEBF 的面积（3）求四边形 ABCD 的面积．

A E

D

F

B

61+ 6

【答案】 1（3） 4+ 6 （解析过程略） （ ） （2）

2 2

C

【例19】问题：如图 1，在正方形 ABCD 内有一点 P，PA= 5 ，PB= 2 ，PC=1，求∠BPC 的度数．

(1) 图 2 中∠BPC 的度数为_______；

(2) 如图 3，若在正六边形 ABCDEF 内有一点 P，且 P A= 2 13 ，PB=4，PC=2，则∠BPC 的度数 为________，正六边形 ABCDEF 的边长为_______．

（12 年西城一模）

A D

P'

P

A D

A

F

E

D

P P

C

B

C B C

B

图 1

图 2 图 3

【答案】（（2）120°； 2 7 ． 1）135°；

【例20】已知：如图 1， ABC 是⊙ O 的内接正三角形，点 P 为弧 BC 上一动点，

（1）求证： PA  PB  PC

（2）如图 2，四边形 ABCD 是⊙ O 的内接正方形，点 P 为弧 BC 上一动点，

求证： PA  PC  2PB

（3）如图 3，六边形 ABCDEF 是⊙ O 的内接正六边形，点 P 为弧 BC 上一动点，请你写出 PA，

PB，PC 三者之间的数量关系表达式．（不需要证明）

（12 年通州二模）

A

A

D

O

O

B

C

E

D

F

O

C

A

P

B

P

P C B

图 1

图 2

图 3

【答案】（1）在 AP 上截取 PM=BP ,连结 BM

∵ ABC 是⊙ O 的内接正三角形，

∴ ABC  ACB  60 ，AB=BC

A

A

∴ APB  ACB  60 ∵PM=BP,

∴ BPM 是正三角形， ∴ MBP  60

∵ ABM  CBP ，

D

N

O

O B M

B

P

ABM ≌ CBP

∴AM=PC，∴AP = PB+PC

C P C

(2)∵过点 B 做 BN  PB ,交 PA 于点 N ∵四边形 ABCD 是⊙ O 的内接正方形，

∴AB=BC, ABC  BCD  90 , AOB  90

∴ APB  45 ,PB=BN 根据勾股定理得： PN  ∵ ABC  NBP  90 ∴ ABN  CBP ， ∴ ABN ≌ CBP ∴ AN  PC ，

E

2PB

F

O

D

C

A

∴ PA  PC  2PB (3)结论： PA 

B

P

3PB  PC