第二章第五节函数的单调性教案

教学目的：1.理解函数单调性的概念，会利用定义证明函数的单调性．

2.掌握简单复合函数单调性的判断，会用函数的单调性处理问题．

教学重点：函数的单调性及其运用。 教学难点：复合函数的单调性讨论。 教学方法：讲练结合。

学法指导：注意体会例题中所讲的方法，并加以应用。 教学过程：

一、知识点复习： 1．单调函数及单调区间

(1)增函数：对任意x1，x2∈[a，b]

，则

为[a，b]的增函数．

在[a，b上的图

象从左向右看，曲线逐渐上升，如图

(2)减函数：对任意x1，x2∈[a，b],x1＜x2

，则

为

[a，b]的减函数．从图象上看，从左向右曲线逐渐下降．如图

2．函数单调性的证明方法 一定要用定义，其步骤为： (1)任取x1，x2∈M，且x1或

（一般用作差法或作商法）

(3)根据定义，得出结论

[例如]判断函数 ，(a≠0)在区间(-1，1)上的单调性．

[解] 设-1在(-1，1)上递

∵ ，∴a>0时，函数减；a<0时，函数

在(-1，1)上递增．

3．复合函数的单调性 如果和

和

单调性相同，那么

是增函数；如果

是减函数．即

的

单调性相反，那么

单调规律是“同则增，异则减”，即性。则

与g(x)若具有相同的单调

必为减函

必为增函数，若具有不同的单调性，则

数．讨论复合函数单调性的步骤是：

①求出复合函数的定义域；

②把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其单调性；

③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；

④根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性．(如下表）

t=g(x) 增 增 减 减 y=f(t) 增 减 增 减 y=f[g(x)] 增 减 减 增 4．函数的单调性在比较大小，解不等式及求参数范围中的运用．

[例如] 设

是定义在

上的增函数，

且 ，若,

，求x的取值范围． [解] ∵ ，令x=9，y=3,∴又∵

，∴

，

，

又∵ ，

由 ，

由在上为增函数，得

故x的取值范围是

5．函数的单调性在函数的诸多性质当中,占有最重要的地位，而函数在每年高考中，是占有较大比重的，所以说，函数的单调性是高考的重中之重．一点不为过．前些年考察用定义来证明函数的单调性．近些年，题型在不断翻新．题目是“恒成立”的题，考察的都是函数的单调性．考得较“隐蔽”，如下面的例子就是典型一例。有的题目明摆的是考查单调性，却与“探索”连在一起，虽然熟悉单调性的证明，如果平时不加强多题型的训练，也不一定能在高考中处于不败之地．

[例如]设

，其中n∈R，n是任

在x∈(－∞，1]上有意义，求

意给定的自然数．且n≥2，如果a的取值范围．

思路：不难得到 ，关键在于如何求

的最大值，注意到函数 ，(m=1，2，…，n-1)在(－∞，1]上为减函数，问题就迎刃而解了．

[解]∵

，

∴ ，

∵函数 (m=1，2，…，n-1)在(－∞，1]上是减函数． ∴函数 在(－∞，1]上是增函数．当x=1时，

∴

∴a的取值范围是 6.判断函数单调性的常用方法： (1)定义法；

(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；

(3)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；

(4)互为反函数的两个函数有相同的单调性； (5)如果

在区间D上是增(减)函数，那么

在D的任一子区

间上也是增(减)函数；

(6)利用已知函数的单调性

(7)利用函数的图象 (8)导数法 二、例题分析： （一）基础知识扫描 1．若函数

a的取值范围是 ．

2．函数 的递增区间是 ，递减区间是 ．

3．下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上是增函数的是( )

A.y =

在(－∞，2]上是增函数，则实数

B. y = tanx C. y = lgx D.

4．下列命题： ①若②若③若④若减函数．

其中正确命题的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4 5．如果奇函数在(0，+∞)上是增函数，那么

在(－∞，0)

为增函数，则 为减函数； 为减函数，则为增函数，则

为增函数； 为增函数；

有意义，则

为

为增函数，g(x)是减函数，且

上( )

A．必定是减函数 B．必定是增函数 C．既可能是减函数又可能是增函数 D．不一定具有单调性 6．(2001年高考试题)设f(x)，g(x)都是单调函数，有如下四个命题：

①若②若③若

是单调递增，g(x)单调递增，则是单调递增，g(x)单调递减，则是单调递减，g(x)单调递增，则

g(x)单调递增； g(x)单调递增； g(x)单调递减； g(x)单调递减．

④若f(x)是单调递减，g(x)单调递减，则其中，正确的命题是( )

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

（二）题型分析：

题型1：判断或证明函数的单调性．

例1 1．讨论函数 (a>0)的单词性．

分析 可考虑从单调函数的定义入手，是否需要对参数a进行讨论?从何处分开讨论?

又

为奇函数，所以先讨论函数

在(0，+∞)上的单调性．抓

恒大于(小于)0。

住定义，确定x1，x2同属于哪一个区间时

（本题的结论很重要，在以后的解题中有着广泛的应用．应予重视．）

题型2：求复合函数的单调区间． 例2 已知范围是( )

A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．(2，+∞)

分析 根据对数函数的性质及复合函数的单调性进行判断。 例3 求下列函数的单调区间，并指出其增减性： (1)(2)

(a>0，且a≠1)；

在[0，1]上是x的减函数，则a的取值

分析 利用复合函数的判别方法判断该类题目． (1)的复合关系为y=a，t=1－x； (2)的复合关系为

t

2

题型3：函数单调性的应用． 例4

定义在[－2，2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)单调递减，若g(1－m)分析 因为g(x)为偶函数，所以g(x)=

．这样可以把两

个式子统一在同一个单调区间[0，2]内．

例5 (2001年成都市检测题)

是定义在(0，+∞)上的增函数，且 (1)求(2)若

的值；

=1，解不等式

分析： 第一问用赋值法，这是处理此类问题的一般思维方法；第二问关键整理成

形式，在单调区间内利用单调性得

出m(x)与n(x)大小关系，进一步解不等式，可得原不等式的解．

例6 (2003·合肥市抽样考试)设函数是定义在[－1，

0)∪(0，1]上的奇函数，当x∈[－1，0)时 (a为实数)．

(1)当x∈(0，1]时，求(2)若a＞－1，试判断论；

的解析式；

在(0，1]上的单调性，并证明你的结

(3)是否存在a，使得当x∈(0，1]时，有最大值－6．

三、本节所涉及的思想·规律·方法

1．研究函数的单调性，首先要考虑定义域，否则会出错． 2．比较法是证明函数单调性的基本方法．

3．复合函数单调性的确定方法是：当内外函数同增(减)时，复合函数为增函数，当内外函数增减性相反时，复合函数为减函数．

4．运用函数的单调性可比较大小、解不等式或求最值． 四、作业：《纸上练兵》P46—47 五、课后记：