高中数学《集合的概念》教案11 新人教B版必修1

教学目的：

〔1〕使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法 〔2〕使学生初步了解“属于〞关系的意义

〔3〕使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义

教学重点：集合的基本概念及表示方法

教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示

一些简单的集合

授课类型：新授课

课时安排：1课时罗华的手稿1831年1月伽罗华在

教 具：多媒体个结论，他写成论文提交给法国科、实物投影仪 内容分析： 1．集合是中学数已证明的一个结果可以说明伽罗华学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初议科学院否定它1832年5月30日中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶集等；在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对造福人类1832年5月31日离开了逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识，他死后14年，法国数学家X维问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是于X维尔主编的《数学杂志》上本章学习的基础 把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑

本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子

这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念 集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集〞这句话，只是对集合概念的描述性说明 教学过程：

一、复习引入：

1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数； 2．教材中的章头引言；

3．集合论的创始人——康托尔〔德国数学家〕〔见附录〕； 4．“物以类聚〞，“人以群分〞； 5．教材中例子〔P4〕 二、讲解新课：

阅读教材第一部分，问题如下： 〔1〕有那些概念？是如何定义的？ 〔2〕有那些符号？是如何表示的？ 〔3〕集合中元素的特性是什么？ 〔一〕集合的有关概念：

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word 由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.

定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合． 1、集合的概念

〔1〕集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合〔简称集〕 〔2〕元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 〔3〕元素对于集合的隶属关系 〔4〕集合中元素的特性

确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱

两可

在时称属于，即a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……“∈〞的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写

不在时称，不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA 互异性：集合中的元素没有重复

无序性：集合中的元素没有一定的顺序〔通常用正常的顺序写出〕 2、集合的表示方法：

〔1〕列举法：在大括号内将集合中的元素一个个列举出来，元素之间用逗号隔开，具体又分以下三种情况：

①元素个数少且有限时，全部列举；如{1，2，3}

②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，列举几个元素，取决于能否普遍看出其规律，称中间省略列举。如“所有从1到10000的自然数全体〞可以表示为{1，2，3，……，10000}；

③三是当元素个数无限但有规律时，也可以用类似的省略号列举，如：自然数构成的集合，可以表示为{0，1，2，3，4，……}，称端省略列举。

⑵描述法

它又可细分为文字描述及属性描述法两类：前者是在大括号内用文字写出集合的属性，由于括号本身含有了“所有〞、“全部〞的意义，故类似的量词要去掉，如：全体自然数构成的集合写成{自然数}而不写成{全体自然数}：特征描述法是集合中最广泛、最抽象的一种

2

表示方法，其格式一般为{元素的一般形式|元素的特征}，如：{(x,y)|y=x,x∈R}={抛物线2222

y=x上的点}，而{y|y=x,x∈R}表示函y=x的y的取值X围；方程x-1=0的解集为

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{x|x-1=0}={-1,1},不是{x-1=0}〔它仅仅是用列举法表示的一个集合，这个集合中只有一

2

个元素，就是方程x-1=0,不是它解的集合。

〔3〕图示法

一是一维数轴表示，如初中阶段所学的不等式解集表示方法，其原理是数轴的定义与数

2

轴上的点与实数一一对应；二是直角坐标表示，如{〔x,y〕|y=x };三是Venn图，即画个圆圈表示集合〔有的书上称文氏兔、文斯图〕；

〔4〕符号表示法分为简记符号法及区间表示法： 常用数集及记法

非负整数集〔自然数集〕：全体非负整数的集合记作N，N0,1,2,

1,2,3,正整数集：非负整数集内排除0的集记作N或N+N**

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word 整数集：全体整数的集合记作Z , Z0，1，2， 有理数集：全体有理数的集合记作Q , Q整数与分数 实数集：全体实数的集合记作R

R数轴上所有点所对应的数

不含任何元素的集合称空集，符号为 注：〔1〕自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括

数0

*

〔2〕非负整数集内排除0的集记作N或N+ Q、Z、R等其它

数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0

*

的集，表示成Z

3，集合的分类：

限个，含有空集）有限集（元素的个数有 按元素的个数分作

无限集（元素的个数有无限个）三、练习题：

1、以下各组对象能确定一个集合吗？ 〔1〕所有很大的实数〔不确定〕 〔2〕好心的人 〔不确定〕 〔3〕1，2，2，3，4，5．〔有重复〕

2、设a,b是非零实数，那么

aabb可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__

3、由实数x,－x,｜x｜,x2,3x3所组成的集合，最多含〔A〕 〔A〕2个元素〔B〕3个元素〔C〕4个元素〔D〕5个元素

4、设集合G中的元素是所有形如a＋b2〔a∈Z, b∈Z〕的数，求证： (1) 当x∈N时, x∈G;

(2) 假设x∈G，y∈G，那么x＋y∈G，而

1不一定属于集合G x证明(1)：在a＋b2〔a∈Z, b∈Z〕中，令a=x∈N,b=0,

那么x= x＋0*2= a＋b2∈G,即x∈G

证明(2)：∵x∈G，y∈G，

∴x= a＋b2〔a∈Z, b∈Z〕,y= c＋d2〔c∈Z, d∈Z〕 ∴x+y=( a＋b2)+( c＋d2)=(a+c)+(b+d)2 ∵a∈Z, b∈Z,c∈Z, d∈Z ∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z

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word ∴x+y =(a+c)+(b+d)2∈G，

又∵

11ab＝2xab2a2b2a22b22

且

ab不一定都是整数， ,2222a2ba2b11ab＝2xab2a2b2a22b2∴

2不一定属于集合G

四、小结：本节课学习了以下内容：

1．集合的有关概念：确定性，互异性，无序性

列举法2．集合的表示描述法

图示法符号表示法五、课后作业：教材P7____1~5

第二课时集合表示法的转换

教学目的：〔1〕进一步理解集合的有关概念，熟记常用数集的概念及记法

〔2〕使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义

〔3〕会运用集合的两种常用表示方法 教学重点：集合的表示方法

教学难点：运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程：

一、复习引入：上节所学集合的有关概念

1、集合的概念

集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合集合具有

〔1〕确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，

或者不在，不能模棱两可

〔2〕互异性：集合中的元素没有重复

〔3〕无序性：集合中的元素没有一定的顺序〔通常用正常的顺序写出〕 2、集合的表示方法

中间省略列举、端省略列举）列举法（含全部列举、描述法（含文字描述及特征描述）

图示法（含数轴、直角坐标、Venn图表示）符号表示法（常用数集及空集）二，新课

1，其实，在符号表示法中还有一种方法——区间表示法

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word 集合 {x|a列举法具体化熟悉化文字描述法属性描述法简单化符号表示法

直观化图示法数学解题的关键也是这“四化〞

3，典型例题

2

例1、集合A={a-2,2a+5a,10},且-3∈A,求a

2

解：a-2=-3或2a+5a=-3 故a=-1或a=-3/2

2

当a=-1时，2a+5a=a-2=-3与集合的互异性矛盾，舍去 当a=-3/2时，满足条件 总之，a=-3/2

[说明]由于解题过程中用到了不等价变形，所以要进行检验

2

例2、集合{1,a,b}={a,a,ab},某某数a,b

1ba2ab(a1)(ab1)0解[方法一] 因a≠1故a=-1,b=0 231.baab(a1)b0a21a2b[方法二]由或∵a≠1 ∴a=-1,b=0

abbab1练习：{m,m+d,m+2d}={m,mq,mq},求q 〔答案：q=-1/2〕

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例3，集合A={x|(a-1)x+(a+1)x+1=0,x∈R}中仅有一个元素，某某数a的值 解：此题分两类进行

2

⑴当a-1=0时,a=1或a=-1;当a=1时，A={x|2x+1=0}={-1/2},满足条件；当a=-1时,A=，舍去。

2

⑵当a-1≠0时,a≠1且a≠-1，△=0，a=5/3 总之，a=5/3或1

例4，S是满足以下两个条件的实数构成的集合：①1∈S;②假设a∈S，那么

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2

1∈S. 1aword 请回答以下问题

⑴假设2∈S,求证S必有另外两个数；⑵求证，假设a∈S，那么1-素能否只有一个？说明理由；⑷求证：S中至少有三个不同的元素

解⑴2∈S1∈S； ⑶S中元a11=-1∈S=1/2∈S1(1)121112=2∈S,S中必有另外两个数-1，

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⑵证明：a∈S1∈S1a1111a=

a11=1-∈S aa⑶假设S中元素只有一个，那么矛盾，故S中的元不能只有一个

⑷由⑵S中，至少有a, 1-

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=a,a-a+1=0有实数解，与a-a+1=0没有实数解1a11,1-三个不同的元，只要证明三者两两不等。假设1aa112

=，有a-a+1=0但它没有实数解，矛盾。同理，三者两两不等，从而S中至少有a1a三个不同的元素

4，总结：

本节主要在符号表示法上又加了区间表示的概念，同时，集合表示法之间的转化表达了数学解题的四大原那么性思想

作业：见补充习题

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