24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
知能演练提升
能力提升
1.有下列结论:①弦比直径短;②过圆心的线段是直径;③半圆是弧;④长度相等的两条弧是等弧.
其中正确的有( )
A.0个 C.2个
B.1个 D.3个
2.如图,王大爷家屋后有一块长12 m,宽8 m的矩形空地,他在以BC为直径的半圆内种菜,他家养的一只羊平时拴在A处,为了不让羊吃到菜,拴羊的绳子可以选用( ) A.3 m C.7 m
B.5 m D.9 m
3.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠BOC=110°,AD∥OC,则∠AOD的度数为( )
A.70°
B.60°
C.50°
D.40°
4.如图,AB是半圆O的直径,点P从点O出发,沿OA→→BO的路径运动一周.设OP为s,运动时间为t,则下列图象能大致地刻画s与t之间关系的是( )
5.
如图,A,B是☉O上两点,若四边形ACBO是平行四边形,☉O的半径为r,则点A与点B之间的距离为 .
6.如图,O2是☉O1上的一点,以O2为圆心,O1O2为半径作☉O2,与☉O1交于点A,B,则∠AO1B的度数为 .
7.如图,一根2 m长的绳子,一端拴在墙边,另一端拴着一只羊,画出羊的活动区域.
8.
如图,AB,AC为☉O的弦,连接CO,BO并延长,分别交弦AB,AC于点E,F,∠B=∠C,求证:CE=BF. ] ★9.
如图,△ABC1,△ABC2,△ABC3,…,△ABCn是n个以AB为斜边的直角三角形,试判断点C1,C2,C3,…,Cn是否在同一个圆上,并说明理由.
10.如图,已知AB是☉O的直径,C为AB延长线上的一点,CE交☉O于点D,且CD=OA,求证:∠C=∠AOE.
创新应用
★11.如图,点A,D,G,M在半圆O上,四边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形.设BC=a,EF=b,NH=c,则a,b,c之间有什么关系?
答案：能力提升 1.B
2.A 由勾股定理,得OA==10(m),所以AP=OA-OP=10-6=4(m),结合选项知选用3 m合适,故选A. 3.D
4.C 当点P从点O向点A运动时,OP逐渐增大,当点P从点A向点B运动时,OP不变,当点P从点B向点O运动时,OP逐渐减小,故能大致地刻画s与t之间关系的是选项C中的图象.
5.r 连接AB.∵OA=OB,
∴▱ACBO是菱形.
∴AB与CO互相垂直且平分.
∴AB=2r.
6.120° 连接AO2,BO2,由题意知☉O1与☉O2是等圆,所以△AO1O2与△BO1O2都为等边三角形.
所以∠AO1O2=∠BO1O2=60°,即∠AO1B=120°.
7.分析:根据题意,羊的活动区域应是以O为圆心,以2 m为半径的半圆及其内部. 解:如图,羊的活动区域是图中的阴影部分(包括半圆周).
8.证明:∵OB,OC是☉O的半径,
∴OB=OC.
又∠B=∠C,∠BOE=∠COF, ∴△EOB≌△FOC(ASA). ∴OE=OF. ∴CE=BF.
9.解:点C1,C2,C3,…,Cn在以AB为直径的同一个圆上.
理由如下:取AB的中点D,分别连接C1D,C2D,C3D,…,CnD,则
C1D,C2D,C3D,…,CnD分别表示对应的直角三角形斜边上的中线.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可知C1D=C2D=C3D=…=CnD=AB.所以点C1,C2,C3,…,Cn在同一个圆上,并且在以AB为直径的圆上.
10.分析:因为∠AOE是△COE的一个外角,且与∠C不相邻,
所以∠AOE=∠C+∠E.现在要证明∠C=∠AOE,即∠AOE=3∠C,所以只要证得∠E=2∠C即可.
又由于OE为半径,而连接OD后OD也是半径,故OE=OD,所以∠ODE=∠E,从而可证结论成立. 证明:如图,连接OD.
因为CD=OA=OD, 所以∠C=∠COD. 又OD=OE,
所以∠OED=∠ODE.
所以∠AOE=∠C+∠OED=∠C+∠ODE=∠C+∠COD+∠C=3∠C,即∠C=∠AOE. 创新应用
11.解:连接OM,OD,OA,根据矩形的对角线相等,得BC=OA,EF=OD,NH=OM.再根据同圆的半径相等,得a=b=c.
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