数理方程试题

一． 判断题（每题2分）. 1. 2u u x y x y x

+=是非线性偏微分方程.( )

2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( )

3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式， 则 ( ) 4. (,)0xy f x y =的解是调和函数.( )

5. **12u u 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12u u -是0u ?= 的解.( )

二． 填空题（每题2分）.

1. ()sin t xx yy u u u xt -+= 是____________型偏微分方程. 2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________.

3. 2x 的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________. 4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________.

5. []()____________.at m L e t s = 三．求解定解问题（12分） 20 sin ;0,0;0. t xx x x x x l

t u a u A t u u u ω===-====

四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分） （1） 1,0,0; 1,1.

xy x y u x y u y u

===>>=+= （2） 00230, 1. t

t t y y y e y y =='''+-='==

五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。（12分）

六．设有长为a ，宽为b 的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为x ，内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。（12分）

七．判断下列方程所属类型并求其标准形式（8分） 0xx yy yu xu +=

八．叙述并证明Laplace 变换的微分性质和卷积性质。（12分） 数理方程试卷答案 一 判断题

（1）X （2） X （3） V （4）V （4）V 二 填空题 （1）抛物 （2）222 222 0,xx yy

x y R u u x y R u φ+=?+=+

=?? （3）0212()()33P x P x + （4）11[()()]()22 x at

x at x at x at t dt φφφ-+++--? （5） 1 ! ()

m m s a +- 三 解 ：有条件知 固有值为 2 ()n n l

πλ=， 固有函数系为 ：cos ,0,1,2,...n n x n l π

φ== （3分） 设0(,)()cos n n n u x t T t x l π∞

==∑ 带入方程得 20 ['()(

)()]cos sin n n n n a n T t T t x A t l l ππ ω∞

=+=∑ （2分） 02 '()sin () '()(

)()0(0)0n n n T t A t n a T t T t l T ωπ∴=+== （4分） 得 0()(1c o s ), ()0,1,2,...n A T t t T t n ωω =

-==（4分） (,)(1cos )A u x t t ωω ∴= - （1分）

四 .(1)解;对 (,)u x y 关于 y 作 Laplace 变换， 不妨设 (,)[(,)]()U x p L u x y p = （1分） 对方程两端同时作Laplace 变换得

((,)1)1

,d pU x p dx p -= （3分） (,)1 dU x p p dx p

∴= 2(,)1 dU x p dx p = （3分） 且211 (0,)U p p p =

+ 22111(,)U x p x p p p ∴=

+ （3分） (,)1u x y xy y ∴=++ （2分）

（2）设()[()]()Y p L y t p = （1分） 对原方程两端同时作Laplace 变换得：

21 ()12()3()1

p Y p pY p Y p p -+-= - （4分） 2311131 ()1614(1)163

Y p p p p ∴=+---+ （3分） 3313()116 t t t

y t e te e -∴= +- （4分） 五．解：建立方程 20000,0 0,cos 0

tt xx t t t x x u a u x t u u x u

===?=<<+∞>?

==??=? （3分） 由方程的 边界条件，对原问题做偶延拓 ，得到无界弦的转动方程

200'',0' 0, '

cos tt xx t t t u a u x t u u x ===-∞<<+∞>== （4分） 根据达兰贝尔公式得 11

'(,)cos sin cos 2x at x at u x t sds x at a a +-= =? （3分） 从而，原问题的解为 11

(,)cos sin cos 2x at x at u x t sds x at a a +-=

=? （2分） 六．解：定解问题为 0000,00, 00,

xx yy x x a y y b u u x a y b u u u u x ====?+=<<< ==??

==?? （2分） 由初值条件得 固有值 2( ),n nx a λ= 固有函数系为 ()sin ,1,2,...n n x X x n a

π== （2分） 方程的解为0 (,)()()n n n u x y X x Y y +∞ == ∑ =0 sin

()n n n xY y a π +∞

=∑ ()()0n n n Y y Y y λ''-= （2分） ()n n a

a y

y n n n Y y C e D e ππ-∴=+ 代入原方程得 1 (,)()sin n n a a y

y n n n n u x y C e D e x a π ππ +∞ -==

+∑ 又 (,0)0,(,)u x u x b x == 解得 00

()sin sin n n n n b b b n n C D n n C e D e x x xdx a a

ππππ-+=+=? （3分） n b a n b n b a a n b a n b n b a

a

n n e C e e e D e e

ππππππ---=-= - （3分） () ()1 (,)sin n b y n b y a a n b n b a a n e

e n u x y x a e e πππππ ---+∞ -=-∴=-∑ （2分）

七．解：显然 x ，y 不同时 为零，xy ?=-，特征方程为2 (

)0dy y x dx

+= （1分） （1） 当0xy ?=->时，方程式双曲型的。0,0x y <> 时，特征方程是

dy dx =，解得331,2()x y c -±=，（1分）

1分） （ 令 332 2

(),x y ξη=-=，得标准型为 1()03u u u u ξη ξξηηξη -+-=（1分） 当 0,0y x <> 时，特征方程是

dy dx = 标准型为 1()0 3u u u u ξη ξξηηξη

-+-=（1分） （2）0xy ?=-= ，抛物型。 标准型为 0,xx u = 或 0yy u =。（1分） （3）0xy ?=-<，椭圆型。特征方程解为 3

3

221,2()x iy c -±=（1分） 令 332 2

,x y ξη==，得 标准型为 1()03u u u u ξη ξξηηξη

+++=。（1分） 八．证明：微分性质 [

()]()[()]()(0)d L f t s sL f t s f dt =- （2分） 00 [

()]()()()()()(0)()[()]()(0) st st st st st d d L f t s e f t dt

dt dt e df t f t e f t de f s e f t dt sL f t s f +∞-+∞ +∞ --+∞

-+∞-===-=-+=- （3分） 卷积性质

1212[()*()]()[()]()[()]()L f t f t s L f t s L f t s = 12120 0()120 120

12[()*()]()[()()][()()]()()[()]()[()]() t

st s s t st st L f t f t s f f t d e dt f e f t e dt d f t e dt f t e dt L f t s L f t s τττ ττττττ +∞ -+∞+∞ ---+∞

+∞--=-=-== （5分）

2分）（