等差、等比数列性质总结

等差数列性质总结

1.等差数列的定义式：anan1d（d 为常数）（n2）；

2．等差数列通项公式：

ana1(n1)ddna1d(nN*) ， 首项:a1，公差:d，末项:an

推广： anam(nm)d． 从而

danamnm；

3．等差中项

ab2（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：

A或2Aab

2anan-1an1(n2,nN+)2an1anan2an（2）等差中项：数列是等差数列

，

4．等差数列的前n项和公式：

n(a1an)n(n1)d1na1dn2(a1d)nAn2Bn 2222Sn（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn 是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数2n1时，an1是项数为2n+1的等差数列的中间项

2n1a1a2n12S2n12n1an1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1） 定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列．

（2） 等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2．

…

⑶数列an是等差数列anknb（其中k,b是常数）。

（4）数列an是等差数列SnAn2Bn,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列

等差中项性质法：

2anan-1an1(n2，nN)．

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

^

①一般可设通项ana1(n1)d

d称作

②奇数个数成等差，可设为…，a2d,ad,a,ad,a2d…（公差为d）；

③偶数个数成等差，可设为…，a3d,ad,ad,a3d,…（注意；公差为2d）

8.等差数列的性质：

（1）当公差d0时，

等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；

n(n1)dddn2(a1)n222是关于n的二次函数且常数项为0.

前n和

Snna1（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。

^

（3）当mnpq时,则有

amanapaq，特别地，当mn2p时，则有

aman2ap.

注：a1ana2an1a3an2，

1an2bn都为等差数列 （4）若an、bn为等差数列，则anb，(5) 若{an}是等差数列，则

Sn,S2nSn,S3nS2n ，…也成等差数列

（6）数列{an}为等差数列,每隔k(kN)项取出一项(

*am,amk,am2k,am3k,)仍为等差数列

（7）设数列an是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，

S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和

当项数为偶数2n时，

na1a2n1nan2

S奇a1a3a5a2n1…

na2a2nnan12

S偶a2a4a6a2nS偶S奇nan1nannan1annd

S偶S奇nan1an1nanan

当项数为奇数2n1时，则

S偶nS2n1S奇S偶(2n1)an+1S奇(n1)an+1SSaS奇n1n+1奇偶S偶nan+1

（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

Anf(n){bn}ABB（8）的前n和分别为n、n，且n，

an(2n1)anA2n1f(2n1)b(2n1)bBn2n1则n.

-

（9）等差数列{an}的前n项和Smn，前m项和Snm，则前m+n项和Smnmn

anm,amn,则anm0

(10)求Sn的最值

法一：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN。

*法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和

an0a0，d0，即当1 由an10可得Sn达到最大值时的n值．

（2） “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。

an0a0，d0，即 当1 由an10可得Sn达到最小值时的n值．

(

或求an中正负分界项

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

:

》

等比数列性质

anqq0n2,且nN*1. 等比数列的定义：an1，q称为公比

2. 通项公式：

a1nqABna1q0,AB0q， 首项：a1；公比：q

ana1qn1推广：

anamqnm， 从而得

qnmanam

3. 等比中项

2（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：Aab或Aab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）

}

an2an1an1an（2）数列是等比数列

4. 等比数列的前n项和Sn公式：

(1) 当q1时， Snna1

anq(2) 当q1时，

Sna11qn1qa11q

a1a1qn1q1qAABnA'BnA'（A,B,A',B'为常数）

5. 等比数列的判定方法

an1（1）用定义：对任意的n,都有

an1qan或aq(q为常数，an0)n{an}为等比数列

（2） 等比中项：

a2nan1an1（an1an10）{an}为等比数列

/

（3） 通项公式：anABnAB0{an}为等比数列

（4） 前n项和公式：

SnAABn或SnA'BnA'A,B,A',B'为常数{an}为等比数列

6. 等比数列的证明方法

anaqq0n2,且nN*依据定义：若n1或an1qan{an}为等比数列

7. 注意

（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；

ana1qn1

q称作

aa2,,a,aq,aq2qq如奇数个数成等差，可设为…，…（公比为q，中间项用a表示）；

：

8. 等比数列的性质

(1) 当q1时

a1nqABnAB0q是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比q

①等比数列通项公式

ana1qn1②前n项和

Sna11qn1qa1a1qna1a1qnAABnA'BnA'1q1q1q，系数和常数项是互为相反数的类

指数函数，底数为公比q

*(2) 对任何m,nN,在等比数列{an}中,有anamqnm,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.

因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

2*aaaaaaanmknmstN(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t),则.特别的,当n+m=2k时,得

注：a1ana2an1a3an2

ank{}{}k{a}{an}{bn}{kab}{ka}bnnnnn,(4) 列,为等比数列,则数列an,, (k为非零常数) 均为等比数列.

(5) 数列{an}为等比数列,每隔k(kN)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等比数列

*(6) 如果{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{logaan}是等差数列

(7) 若{an}为等比数列,则数列Sn，S2nSn，S3nS2n,，成等比数列

(8) 若{an}为等比数列,则数列a1a2an, an1an2a2n, a2n1a2n2a3n成等比数列

(9) ①当q1时， ②当010，则{an}为递增数列{aa10，则{an}为递减数列,

10，则{an}为递减数列{aa10，则{an}为递增数列

③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;

④当q<0时,该数列为摆动数列.

S奇1S偶q(10)在等比数列{an}中, 当项数为2n (nN)时,

*,.

(11)若

{an}是公比为q的等比数列,则

SnmSnqnSm