第七章空间解析几何

第一节 空间直角坐标系

一、空间直角坐标系 1、空间直角坐标系

间取定一点O和三个互相垂直且

正向符合右手规则的单位向量i,j,k,它们确 定了三条互相垂直的数轴,称这三条数轴构成 z竖轴一个空间直角坐标系,记作Oxyz或[O;i,j,k].

2、标原点：定点O.

3、坐标轴：即三条数轴.

kiO定点j纵轴横轴yxi,j,k确定的坐标轴依次称为： 横轴:x轴；纵轴:y轴；竖轴:z轴.

zⅢyOz面

4、坐标轴平面：三条坐标轴中的 任意两条可以确定一个平面，这样 定出的三个平面统称为坐标面． 分别称为：

xOy面；yOz面；zOx面.

ⅡOzOx面ⅣxOy面ⅠyⅥⅤ

x(5)八个挂限：三个坐标面把空间分成

八个部分，每一部分叫做挂限.

如图依次分别称为：第一挂限、第二挂限、……、第八挂限. 依次分别用Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ及Ⅷ表示.

图形>with(plots):x:=a->0.05*sin(s)*cos(t)+a:y:=b->0.05*sin(s)*sin(t)+b:

ⅦⅧz:=c->0.05*cos(s)+c:XOY:=plot3d([s,t,0],s=-1..1,t=-1..1):

YOZ:=plot3d([0,s,t],s=-1..1,t=-1..1):ZOX:=plot3d([s,0,t],s=-1..1,t=-1..1): A:=plot3d([x(0.5),y(0.5),z(0.5)],t=0..2*Pi,s=0..Pi,style=patch): display({XOY,YOZ,ZOX,A},style=patch);

二、空间点的坐标

1、点M(在坐标系Oxyz中)的坐标M(x,y,z)

注意：特殊点的表示.

2、空间两点间的距离

M1(x1,y1,z1)与M2(x2,y2,z2)为 空间中的两个点,则两点间的距离为：

C(x,0,z)zR(0,0,z)MB(0,y,z)Q(0,y,z)O(0,0,0)yA(x,y,0)xP(x,0,0)|M1M2|(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2.

第二节 曲面及其方程

一、旋转曲面 1、球面

xx02yy02zz02R2

图形> with(plots):x:= sin(s)*cos(t):y:= sin(s)*sin(t):z:= cos(s):

plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,s=0..Pi,style=patch);

2、圆锥面

za(xy).

图形> x:=1/2*u*cos(t):y:=1/2*u*sin(t):z:=u:

plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=-1..1,

axes= BOXED,scaling=CONSTRAINED , style=patch);

3、旋转双曲面

2222zOyxx2z2(1) 旋转双叶双曲面：将xOz坐标面上的双曲线221绕x轴旋转一周,

acx2y2z21. 所生成的旋转曲面 22ac图形> with(plots):x:=4*cosh(u):y:=2*sinh(u)*cos(t): z:=2*sinh(u)*sin(t):

F:=plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=-2..2):

([-x,y,z],t=0..2*Pi,u=-2..2):

display({F,G}, axes= BOXED,scaling=CONSTRAINED ,style=patch);

x2z2(2) 旋转单叶双曲面：将xOz坐标面上的双曲线221绕z轴旋转一周,

acx2y2z221. 所生成的旋转曲面 2ac图形> x:=4*cosh(u)*cos(t): y:=4*cosh(u)*sin(t): z:=2*sinh(u):

plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=-1..1, axes= BOXED,

scaling=CONSTRAINED ,style=patch);

x24、旋转抛物面：将xOz坐标面上的抛物线z2绕z轴旋转一周，所生成

ax2y2x2y2的旋转曲面 z 即 z22.

a2aa图形> x:=1/4*u*cos(t):y:=1/4*u*sin(t): z:=u^2:

plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=0..4, axes= BOXED,

scaling=CONSTRAINED ,style=patch);

二、柱面

1、常见的柱面

(1) 圆柱面：xyR.

图形> plot3d([4*cos(t),4*sin(t),z],t=0..2*Pi,z=-6..6,style=patch);

2(2) 抛物柱面：y2x.

图形> plot3d([y^2/2,y,z],y=-3..3,z=-3..3,style=patch);

(3) 平面：xy0.

图形> plot3d([x,x,z],y=-3..3,z=-3..3,style=patch);

2、平行于坐标轴的柱面

(1) 平行于z轴的柱面：F(x,y)0.

z222SCOlMF(x,y)0yx平行于y轴的柱面：G(z,x)0.

(3) 平行于x轴的柱面：H(y,z)0.

三、二次曲面

1、二次曲面：三元二次方程F(x,y,z)0所表示的曲面称为二次曲面.

注：平面被称为一次曲面.

2、常见二次曲面

x2y22(1) 椭圆锥面S: 22z.

ab 图形> x:=1/4*u*cos(t):y:=1/3*u*sin(t):z:=u:

plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=-1..1,style=patch);

x2y2z2(2) 椭球面S: 2221.

abc图形> x:=4*sin(u)*cos(t):y:=3*sin(u)*sin(t):z:=2*cos(u): plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=0..Pi,style=patch);

图形> x:=4*sin(u)*cos(t):y:=3*sin(u)*sin(t):z:=2*cos(u):

plot3d([x,`if`(y>2,2,3*sin(u)*sin(t)),z],t=0..2*Pi,u=0..Pi,style=patch);

x2y2z2(3) 单叶双曲面S: 2221.

abc图形> x:=4*cosh(u)*cos(t): y:=3*cosh(u)*sin(t): z:=2*sinh(u):

plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=-1..1,style=patch);

x2y2z2(4) 双叶双曲面S: 2221.

abc图形> with(plots): x:=4*sinh(u)*cos(t): z:=3*sinh(u)*sin(t): y:=2*cosh(u):

F:=plot3d([x,-y,z],t=0..2*Pi,u=-2..0):

G:=plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=0..2): display({F,G},style=patch);

x2y2椭圆抛物面S: 22z.

ab图形> x:=4*u*cos(t):y:=3*u*sin(t): z:=u^2:

plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=0..2,style=patch);

x2y2(6) 双曲抛物面(马鞍面)S: 22z.

ab 图形> x:=4*t:y:=3*u:z:=t^2-u^2:

plot3d([x,y,z],t=-4..4,u=-(15+t^2)^(1/2)..(15+t^2)^(1/2), style=patch,view=-15..7);

x2y2(7) 椭圆柱面S: 221.

ab图形> x:=4*cos(t):y:=3*sin(t):

plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,z=-4..4,style=patch);

x2y2(8) 双曲柱面S: 221.

ab图形> with(plots):x:=4*sec(t):y:=3*tan(t):

F:=plot3d([x,y,z],t=-Pi/4..Pi/4,z=-4..4): G:=plot3d([-x,y,z],t=-Pi/4..Pi/4,z=-4..4): display({F,G},style=patch);

2(9) 抛物面柱面S: xay.

图形> plot3d([x,2*x^2,z],x=-1..1,z=-1..1,style=patch);

第三节 空间曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程

1、空间曲线：空间曲线C是两个空间曲面S1,S2的交线.

2、空间曲线C的一般方程

OzS1S2CyxF(x,y,z)0, G(x,y,z)0.

x2y21例1 方程组  表示怎样的曲线？

2x3z6图形> with(plots):

F:=plot3d([cos(t),sin(t),u*(6-2*cos(t))/3],t=0..2*Pi,u=0..1):

G:=plot3d([u*cos(t),u*sin(t),(6-2*u*cos(t))/3],t=-0..2*Pi,u=0..1): display({F,G},style=patch);

解：由于x2y21表示圆柱面, 而2x3z6表示平面,因此,交线为椭圆.

图形> with(plots):

tubeplot([cos(t),sin(t),(6-2*cos(t))/3],

t=0..2*Pi,radius=0,grid=[150,2],style=patch);

za2x2y2例2 方程组 a2a2 表示怎样的曲线？ 2(x)y24图形> with(plots):x:=sin(u)*cos(t):y:=sin(u)*sin(t):z:=cos(u):

F:=plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=0..Pi/2):

G:=plot3d([1/2+1/2*cos(t),1/2*sin(t),v],t=0..2*Pi,v=0..1): display({F,G},grid=[25,20], axes= BOXED ,

scaling=CONSTRAINED,style=patch); 解：由于za2x2y2表示上半球面,

a2a22而(x)y表示圆柱面, 因此交线如图.

24图形> with(plots):x:= 1/2+1/2*cos(t):y:= 1/2*sin(t):z:=(1-x^2-y^2)^(1/2):

tubeplot([x,y,z], t=0..2*Pi,radius=0,grid=[150,2],view=[-1..1,-1..1,0..1],

scaling=CONSTRAINED,axes= BOXED,style=patch);

二、空间曲线的参数方程 1、曲线C的参数方程：

xx(t),yy(t), zz(t).

2、说明：当给定tt1时，就得到曲线上的一个点(x1,y1,z1)，随着参数的变化可得到曲线上的全部点.

三、空间曲线在坐标面上的投影 1、投影柱面

设空间曲线C的一般方程为：

zF(x,y,z)0, G(x,y,z)0. 消去变量z后得曲线关于xOy的投影柱面：

H(x,y)0.

2、投影曲线

投影柱面与xOy面的交线：

OyxzH(x,y)0, 

z0.Oy

3、类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影

xR(y,z)0, x0.T(x,z)0, y0.

例4 已知两球面的交线C的方程为

x2y2z21, () 2 22()x(y1)(z1)1.求C在xOy面上的投影方程.

图形> with(plots):x:=sin(u)*cos(t):y:=sin(u)*sin(t):z:=cos(u):

F:=plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=0..Pi):

G:= plot3d([x,y+1,z+1],t=0..2*Pi,u=0..Pi): display({F,G},grid=[50,20],style=patch);

()得 x2y22y1z22z11, 再减去()得2y2z20, 或z1y.

将z1y代入()后得 x2y2(1y)21,

化简后得曲线C关于xOy的投影柱面方程 x22y22y0.

于是C在xOy面上的投影方程为

x22y22y0, 

z0.图形> with(plots):x:=1/2^(1/2)*cos(t):y:=1/2+1/2*sin(t):

tubeplot([x,y,0],t=0..2*Pi,

radius=0,grid=[150,2],style=patch,thickness=1);

四、空间立体或曲面坐标面上的投影 1、空间立体坐标面上的投影

图形> with(plots):x:=1+sin(u)*cos(t):y:=1+sin(u)*sin(t):z:=1+cos(u):

F:=plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=0..Pi/2):

G:= plot3d([1+u*cos(t),1+u*sin(t),-u],t=0..2*Pi,u=-1..0): F1:=plot3d([0,y,z],t=0..2*Pi,u=0..Pi/2,color=green):

G1:= plot3d([0,1+u*sin(t),-u],t=0..2*Pi,u=-1..0,color=green): F2:=plot3d([x,0,z],t=0..2*Pi,u=0..Pi/2,color=yellow):

G2:= plot3d([1+u*cos(t),0,-u],t=0..2*Pi,u=-1..0,color=yellow): F3:=plot3d([x,y,0],t=0..2*Pi,u=0..Pi/2,color=blue):

display({F,G,F1,G1,F2,G2,F3},grid=[50,20],style=patch);

2、空间曲面坐标面上的投影

图形> with(plots): x:=3+cosh(u)*cos(t): y:=3+cosh(u)*sin(t): z:=5/2+sinh(u):

F:=plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=-3/2..3/2):

F1:=plot3d([0,y,z],t=0..2*Pi, u=-3/2..3/2,color=green): F2:=plot3d([x,0,z],t=0..2*Pi, u=-3/2..3/2,color=yellow): F3:=plot3d([x,y,0],t=0..2*Pi, u=-3/2..3/2,color=blue): display({F},style=patch);display({F1,F2,F3},style=patch); display({F,F1,F2,F3},style=patch);

例5 设一个立体由上半球面z4x2y2和锥面z3(x2y2)所围成求

它在面上xOy的投影

图形> with(plots):x:=2*sin(u)*cos(t):y:=2*sin(u)*sin(t):z:=2*cos(u):

F:=plot3d([x,y,z],t=0..2*Pi,u=0..Pi/6):

F1:=plot3d([x,y,0],t=0..2*Pi,u=0..Pi/6,color=blue): display({F,G,F1},grid=[50,20], axes= BOXED ,

scaling=CONSTRAINED,style=patch);

解：半球面和锥面的交线为

22z4xy, C:22z3(xy), 消去z得投影柱面x2y21,于是C在xOy面上的投影方程为

x2y21,  z0.22 所以，所求立体在xOy面上的投影为xy1.

第四节 平面及其方程

一、 平面的点法式方程

A(xx0)B(yy0)C(zz0)0.

二、平面的一般方程

AxByCzD0.

三、平面的截距式方程

xyz1. abc

第五节 空间直线及其方程

一、空间直线的一般方程

z1L2、 空间直线L：两平面1与2的的交线.

2、L的一般方程：

A1xB1yC1zD10, A2xB2yC2zD20.

二、空间直线的对称式方程

xx0yy0zz0. lmn

三、空间直线的参数方程

xx0lt,yy0mt, zznt.0