２０１４年第５期 第１３卷（总第７４期） 商丘职业技术学院学报 Ｊ０ＵＲＮＡＬ ＯＦ ＳＨＡＮＧＱＩＵ Ｖ０ＣＡＴＩＯＮＡＬ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＩＣＡＬ ＣＯＬＬＥＧＥ Ｖｏ１．１３，Ｎｏ．５ Ｏｃｔ．。２０１４ 文章编号：１６７１—８１２７（２０１４）０５—００１３—０３ 关于高等数学中分段函数的讨论 黄彦宏，季 蔼 （山西运城农业职业技术学院，山西运城０４４０００） 摘 要：分段函数是一种特殊的函数，在高等数学中经常遇到．为了帮助学生更好地理解分段函数，介绍了分 段函数的定义，并给出了关于分段函数求极限、判断连续性、可导性、及求不定积分、定积分的一些结论． 关键词：分段函数；极限；连续；可导；积分 中图分类号：Ｏ１７４ 文献标识码：Ａ １ 分段函数的定义 有时一个函数要用几个式子表示，这种在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函 数，通常称为分段函数． 若分段函数在点Ｘ。两侧的表达式不同，则将点ｘ。称为分段点，也可称为分界点． 例如，函数 ｆ １， ＞Ｏ ｓｇｎｘ一 ０， ｚ一０是分段函数，Ｘ一０是分段点．此函数称为符号函数，记为ｓｇｎｘ． １—１， ＜。 函数 ｌｘｌ＝＝｛ 二，三 ：是分段函数，ｘ一。是分段点．此函数称为绝对值函数． 注意：分段函数是一个函数，而不是几个函数． ２ 分段函数在点ｘ。处的函数值 结论：要求分段函数在点Ｘ。处的函数值，应先确定点Ｘ。所在的自变量的取值范围，再按相应的表达式 进行计算． 例１ 设函数 ｆ２ 十３， ＞０ ／’（ ）一 １， ＝＝＝０，求厂（ｏ），厂（一１），ｆ（１） ｚｌ ｚ， 解：显然，厂（Ｏ）一１ ‘． 一＜ｏ １＜０，．‘．ｆ（一１）＝＝＝（一１） ＝＝＝１ ‘．’１＞０，．‘．ｆ（１）一２×１＋３—５ ３ 分段函数在点ｘ。处的极限 函数ｌ厂（ ）在Ｘ。处极限存在的充要条件是在ｘ。处的左、右极限都存在且相等，即ｌｉｍ厂（ ）一Ａ目 ｌｉｍ ｆ（ ）一Ａ且ｌｉｍ ｆ（ｚ）一Ａ 结论：要求分段函数在点Ｘ。处的极限，应首先判断Ｘ。是否为分段点． 收稿日期：２０ｉ４—０７ ２３ 基金项目：山西运城农业职业技术学院教学改革研究项目“高职院校高等数学教学改革的研究”的研究成果 作者简介：费彦宏（１ ９７Ｏ），女，山西运城人，山西运城农业职业技术学院讲师，主要从事数学教学研究。 ・ １３ ・ 商丘职业技术学院学报 ２Ｏ１４年 （工）若Ｘ。是分段点，则应先求出Ｘ。处的左、右极限，再根据极限存在的充要条件，从而得出在Ｘ。处的 极限． （１１）若Ｘ。不是分段点，有两种情况［１］９ ｂ．直接利用极限的定义求 例２ 函数 ｆｚ一１， ｚ＜０ ： ａ．先确定Ｘ。所在的自变量的取值范围，再利用相应的表达式求出在Ｘ。处的极限 －厂（ｚ）一 ０， ｚ一０，求ｌｉｍｆ（ｚ），ｌｉｒａｆ（ ），ｌｉｍｆ（ｚ） Ｉｚ＋１， ｚ＞０ 解：（工）显然，Ｘ。一０是分段点 。．‘ｌｉｒａ厂（ｚ）一ｌｉａ（ｚ一１）一一１，ｌｒｉｍ厂Ｃｒ）一ｌｉａ（－ｒｚ＋１）一１ ． ．１ｉｍ厂（ｚ）≠ｌｉａｆ（ｒ ） ‘．．１ｉｍｆ（ｚ）不存在 （ＩＩ）显然，Ｘ。一一１不是分段点 ‘． 一１＜０，．。．１ｉａ ｒｆ（ｚ）一ｌｉａ（ｚ一１）一一１—１一一２ ｒ（ＩＩＩ）显然，Ｘ。一１不是分段点 。．。１＞０，．‘．１ｉｍｆ（ｚ）一ｌｉｍ（ｚ＋１）一１＋１—２ 例３设函数 ，ｃｚ 一｛ ’ ，ｌ ｉ—ａｒ。ｆ（ｚ 解：显然，Ｘ。＝＝＝０不是分段点 根据函数极限的定义，所以ｌｉｍｆ（ｚ）一ｌｉｍｓｉｎｘ一０ ４ 分段函数在点Ｘ。处的连续性与可导性 定义：设函数Ｙ—ｆ（－ｚ）在点Ｘ。的某一邻域内有定义，若ｌｉｍｆ（ｚ）一ｆ（ｚ。），则称函数厂（ ）在点Ｘ。处 连续． 由上述定义可得以下结论［２＿３ 结论：要判断函数－厂（ｚ）在Ｘ。处的连续性，首先判断ｌｉａｆ（．ｒｚ）是否存在，若存在，再求出厂（ 。），比较 两者是否相等，若两者相等，则ｆ（ｘ）在Ｘ。处连续，否则，在Ｘ。处不连续． 定义：设函数 —ｆ（ｘ）在点Ｘ。的某个邻域内有定义，若ｌｉｍ 二 存在，则称函数－厂（ ）在点 ’Ｔ０ Ｘ。处可导．若不存在，则称－厂（－ｚ）在点Ｘ。处不可导． 定理：函数厂（ｚ）在点Ｘ。处可导的充分必要条件是左导数， （ 。）和右导数 可导与连续的关系：若函数Ｙ—ｆ（ｚ）在点Ｘ。处可导，则在该点必连续． 另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点处可导． 由可导与连续的关系，可得下面结论， （ｚ。）都存在且相等． 结论：要讨论函数厂（ ）在点Ｘ。处的可导性与连续性，可先判断在Ｘ。处的连续性，再判断可导性．具体 如下： （Ｉ）若在Ｘ。处不连续，则在Ｘ。处不可导． （１Ｉ）若在Ｘ。处连续，则看ｌｉａｒ 羔 Ｚ——３２ ０ 是否存在（若Ｘ是分段点，则看左右导数是否存在且相 ０’ ０ 等），若存在，则在Ｘ。处可导，否则在Ｘ。处不可导． 例４讨论例２中函数 （ｚ）在Ｘ一０处的可导性与连续性 解：由例２知，ｌｉｍｆ（＝ｒ）不存在，所以ｆ（ｘ）在Ｘ一０处不连续．由可导与连续的关系，因此 （ ）在Ｘ＝ ・０ ・ １４ ・ 第５期 ０处不口Ｊ导． 费彦宏，李茜：关于高等数学中分段函数的讨论 例５讨论例３中函数ｆ（ｘ）在Ｘ：０处的可导性与连续性 解：由例３知，ｌｉｍｆ（ｘ）＝０一，（Ｏ），所以ｆ（ｘ）在Ｘ一０处连续． 而ｘ＝Ｏ不是分段点，・．・ｆ （ｏ）一ｌｉｍ 兰 ｚ一０ ‘．．一ｌｉｍ Ｕ ｚ—Ｏ Ｚ 一１， Ｌｚ—－厂（ ）在Ｘ一０处可导． 例６讨论函数 ｛ ，三 在点ｘ一。处的可导性与连续性 解：显然，ｆ（ｘ）在Ｘ一０处连续，而Ｘ一０是分段点， ．．． （０）一Ｉｉｍ —Ｏ— 兰 二 —Ｕ 一ｌｉｍ二兰二 一一１一０一 Ｚ ， 厂 （０）一ｌｉｍ丛 —Ｏ＋ Ｚ—Ｕ 一ｌｉｍ —Ｏ＋ Ｚ 一１， ｆＬ（ｏ）≠厂，十（０），． ．ｆ （ｏ）不存在，即ｆ（ｘ）在Ｘ一０处不可导． ５ 分段函数的不定积分 结论：要求分段函数的不定积分，应先分别求出自变量的各取值范围上的不定积分，再根据连续性确定 各积分常数． 例７设厂 ｃｚ，一Ｘ．， 三：，求函数，ｃｚ， 解：当ｚ ０时，Ｊｆ（ ）一１ ｘｄｘ一÷ｚ 十ｃ ｚ 当 ＜ｏ时，厂（ｚ）一ｆ ｚｄ — ｚ＋ｃ 因为ｆ（ｘ）在ｚ一０处连续，所以ｌｉｍｆ（ｘ）一ｌｉａ厂（ｚ），即１＋ｃｒ ：＝＝ｃ ｚ 令 一 ，因此，，（ｚ）一』专 ＋ｃ＋ ≥ｏ ｌ ＋ ， ＜０ ６ 分段函数的定积分 结论：要求分段函数的定积分，应先进行分段积分，然后相加． ｒ２ 例８求Ｉ Ｉ ＣＯＳＸ｝ｄｘ Ｊ ０ 解：』ｉ Ｉ ｃｏｓ￣｝ｄｘ一』 Ｉ ｃｏ￣ｘ； ｚ＋ｊ’ ３ Ｉ ｃｏ￣ｘ Ｉｄｚ＋Ｊ． １ｃ。ｓｚ Ｉ ｄ —Ｊ： ｃｏｓｘｄｘ－』 ｃ。ｓ ｚ＋』 ｃ。ｓ ｚ １一（一１—１）一（一１） ４ ＝＝＝ｓｉｎｘ —ｓＪｉｎｘ ｌ ３ ＋ｓｉｎｓ Ｉ一一参考文献： ［１］王晓东．分段函数在教学过程中的问题探析［Ｊ］．漯河职业技术学院学报，２００８，７（２） ［２］何波，岳卫芬．试论分段函数的特征口］．高等函授学报（自然科学版），２００４，１７（６） ［责任编辑乐・ 知］ １５ ・