维普资讯 http://www.cqvip.com 数量经济技术经济研究 ２００２年第８期 人口预测模型的非线性动力学研究 王周喜 胡 斌 王洪萍 内容提要 本文在马尔萨斯人口模型的基础上，引入了考虑众多影响因素的人口模型， 尤其是人口迁移，它已成为影响人口数量的重要因素，并运用分岔与混沌理论进行了理论分 析，指出模型发生跨・临界分岔和混沌的条件，并提出了一种新的数值解法求解模型的参数。 通过对河北省近５Ｏ年数据的分析，验证了该模型的正确性。 关键词 动力系统分岔混沌 人口问题不仅是２０世纪我国所面临的最重大的问题之一，而且在新世纪中将继续存 在。无论是对我国目前经济发展状况的认识－还是对未来经济发展的预测，人口问题的研究 都具有十分重要的意义。 众所周知，人口的增长并不是按比例线性增长的，也就是说人口问题是非线性动力学问 题。在非线性系统中，可能会出现分岔现象，分岔理论为我们研究人口问题提供了一种新的 方法。分岔和混沌是非线性系统特有的现象，而实际上我们所处的社会经济系统中的绝大部 分都是非线性．因此可以运用分岔和混沌理论来研究。本文将分岔和混沌理论用以研究人口 问题，提出了人口的跨临界分岔。 模型的建立 设在时刻ｆ（以年为单位）时的人口数量为ｐ（ｆ），则人口的增长率为 生率６（，，，ｔ）和死亡率ｄ（ｐ．ｔ）不随时间变化，则由马尔萨斯人口理论可得： ＝，再假设出 ｂ（ｐ，ｆ），，（ｆ）一ｄ（ｐ，ｆ （ｆ）＝。（１ （ｆ） （１） 其中：。（ ＝ｂ（ｐ，ｆ）一ｄ（ｐ，ｆ）＞０，一般而言出生率大于死亡率。 显然马尔萨斯模型存在着重大的缺陷，它没有考虑到物种之间的竞争、自然界的平衡 和人文环境因素，即生活资料及空间的局限、人与人的竞争、生产力水平、文化水平以及 传统观念等因素。 生活资料及空间的局限和人与人的竞争会导致冲突，对人口的增长起到制约的作用。 统计规律显示，从人口Ｐ（ｔ）中随机抽取一个人，他与其他人冲突的概率与人口总数成正 比，即：冲突次数＝ｋ ｐ（ｆ），那么个人冲突的总次数为÷ｋ ｐ（ｆ） 。而制约作用也是随着总 次数的增长而增长的，同总次数成正比，以 （，，．ｔ）表示制约作用，则 １ １． （，，，ｆ） 寺ｋ１ｋ ２ｐ（ｆ） ＝ （ｆ） （２） 可以认为影响作用与生产力发展水平 成反比，与文化发展水平ｏｃ 成反比，与中国 —— —— 维普资讯 http://www.cqvip.com 传统观念 成正比，与人口数量 （ｆ）成正比，用６ ２ ，ｔ Ｊ表不这柙影啊，则： ：【 ＋ ＋ ） ㈣ 假设在未来的若干年内，各地区的人口比例保持不变，则对于某个地区来说，机械迁 徙的人口数量与该地区经济发达程度 成正比，与迁出区的人口数量成正比，由于可以近 似地认为各地区的人口比例不变，所以可以认为与该地区的人口数量成正比，则： ．ｆ）＝ ５ （ｆ） （４） 将（１）、 （２）、 （３）、 （４）式综合起来，得： ＝ （ｆ） 『）＋ ．『）＋ ，ｆ） ＝（ ＋ ＋ ＋ ＋ ）一 【ｆ） 【ｆ）一ｆｌ（ｔ ） 【５） 二、模型分析 运用分岔理论对模型 ＝ 一 进行分析。令 一 ＝Ｏ．则解得： ・ ＝０，Ｐ ＝簧。将（５）式右边对 求导，得： （ ） 一７ （６） 将 代入（６）式得Ｄ （ ｄｔ）ｔ，． ＝ ：将 代入（６）式得Ｄ （ ）Ｉ ：： 稳 件分析方法，可以很容易地判断其稳定性。 一 。运用 Ｊ ’Ｉ Ｉ ／ ． ｝ ｝／／ ０ Ｉ Ｉ ／／＼ ／１ 图１跨临界分岔图 图２倍周期分岔、混沌图 图中，实线表示稳定，虚线表示不稳定。由分岔图可以看出该模型发生跨临界分岔。由分 岔图可以看出，在 的某个邻域内．当 ＞０时，人口数量是稳定增长的；而当 ＜０时， 从 系数的物理含义上看，说明死亡率大于其他影响因素系数之和，但是此时由于先前 ＞０，人口数量已经有所增加，所以能保持人口数量的稳定，ｌａｌ ｎ，－Ｊ－ｆｘｔｒ］Ａ￣以看出只有短期 内保持 ＜０，人口数量才会稳定。 ５４。＿＿。—— －－－－——维普资讯 http://www.cqvip.com 维普资讯 http://www.cqvip.com 系统的特征，因此不能将这４９年的数据看成是同一动力系统的，而应该将它们分成不同的 动力系统：ｌ９５２年～ｌ９５９年、ｌ９６６年～ｌ９７９年、ｌ９８０年～ｌ９８９年、ｌ９９０年～２０００年。３ 年自然灾害造成了人口数量的骤减，不仅改变了动力系统的特征，而且还造成了ｌ９６０年～ １９６５年数据的不稳定，应予以剔除；８０年代后实行计划生育，但是ｌ９８９年的引起了大 量人口的机械迁移，因此９０年代视为另一个动力系统。 表１ 数据计算和检验 检验数据 年份 口 原始计算数据 （单位：万人） 相对人口 年１９５２～１９５７年 １９５２～１９５９ ０．０８１ １．６７ Ｘ １０ 相对误差 份 真实数据 预测数据 ３７３２ ３７４１ ２．４‰ 增长率 １．８７％ １ ７７％ １ ｌ１％ １ Ｏ２％ １９５８ 数据 １９５９ １９７７ ３７９１ ４９９８ ５Ｏ５７ ３７８０ ５０００ ５Ｏ５２ ２４‰ ．４‰ １。 ０ １９６６～１９７６年 １９６６～１９７９ ０．０９１ １．５９８ Ｘ １０一 １９７８ 数据 １９７９ ５１Ｏ５ ５１０７ ３．９‰ ０．９４％ １９８７ １９８Ｏ～１９８９ ０．０３７ ４．１４Ｘ １０－６ ５７１Ｏ ５７９５ ５７１８ ５７９４ １．４‰ １７‰ ．１．３３ ｏ，０ １．３％ １．２７％ １９８Ｏ～１９８６年 １９８８ 数据 １９８９ ５８８１ ５８６９ ２‰ １９９８ １９９０～１９９７正 ６５６９ ６６１４ ６５７１ ６６１ ３ ３‰ １５‰ ．０．６８％ ０．６５ ｏ，０ ０．６１％ １９９Ｏ～２０００ ０．０５３ ７．０３ Ｘ １０－６ １９９９ 数据 ２０００ ６６７４ ６６５７ ２．５‰ 由表ｌ可以看出，使用本文所提出的方法，能够较为精确地预测出人口的数量。四个阶 段的。（均大于０．０２９，这表明生活资料和空间的局限性、人与人的竞争、生产力水平、文化 水平，中国传统观念、人口机械迁移以及实行计划生育等因素的综合影响，使人口趋于增 多。相对人口增长率，即 ／Ｐ（ 总体上越来越小，８０年代的攀升主要是由于人口迁 移的影响，从整体上看人口自然增长率（一般小于人口增长率）也是逐年降低的。 参考文献 方亚玲： 对人口模型的研究》． 山西煤炭管理干部学院学报 ２０００年第２期。 罗雪山：《人口模型中的分岔研究 ．《系统工程与电子技术》１９９０年第１０期。 王洪礼、张琪昌： 非线性动力学理论及应用》，天津科学技术出版社．１９９９。 ２００２年２月 （作者单位：王周喜、胡斌，天津大学； 王洪萍，天津财贸干部管理学院）
