第4章三角函数与解三角形
一、选择题
1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° C．南偏东80°
B．北偏西10°D．南偏西80°
解析：选D.由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
2．已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为( )
A．10 kmC．105 km
解析：选D.如图所示，由余弦定理可得：
B．103 kmD．107 km
AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，所以AC＝107(km)．
3. 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于( )
A．30°C．60°
B．45°D．75°
解析：选B.依题意可得AD＝2010 m，AC＝305 m，又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得
AC2＋AD2－CD2
cos∠CAD＝
2AC·AD
2（305）2＋（2010）2－5026 000
＝＝＝，
6 000222×305×2010又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.4. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为( )
A．8 km/hC．234 km/h
B．62 km/hD．10 km/h
解析：选B.设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意
20.634121142知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得v ＝×2 ＋1－2××2×1×，
1551010105
()()解得v＝62.
5．一个大型喷水池的中央有一个强大的喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A．50 mC．120 m
B．100 mD．150 m
解析：选A.设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝3h，根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.
6．(2018·江西联考)某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为( )
A．201＋
()33
mB．20(1＋3)mD．20(2＋6)m
C．10(2＋6)m
解析：选B.如图，设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线．由题意
知AB＝20 m，∠DAE＝45°，∠CAE＝60°，故DE＝20 m，CE＝203m.所以CD＝20(1＋3)m.故选B.
二、填空题
7.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．
ACAB
＝，所以AC＝sin Bsin∠ACB6AB·sin B20×sin 60°106＝＝106，所以海轮航行的速度为＝(海里/分)．
sin∠ACBsin 45°330
6答案：
3
解析：由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得
8.(2018·河南调研)如图，在山底测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________米．
解析：由题图知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－15°＝30°，所以∠ASB＝135°，在△ABS中，由正弦定理可得
答案：1 000
9．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距
1 000ABAB
＝，所以AB＝1 0002，所以BC＝＝1 000.sin 30°sin 135°2________m.
解析：如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，3ON＝AOtan 30°＝×30＝103(m)，
3在△MON中，由余弦定理得，MN＝ 900＋300－2×30×103×＝300＝103(m)．答案：10310．(2018·福州综合质量检测)在距离塔底分别为80 m，160 m，240 m的同一水平面上的A，B，C处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m.
hhh，tan β＝，tan γ＝.因为α＋β＋γ＝80160240
sin（90°－γ）sin γcos γsin γ
90°，所以tan(α＋β)tan γ＝tan(90°－γ)tan γ＝＝＝1，所以
cos（90°－γ）cos γsin γcos γ
解析：设塔高为h m，依题意得，tan α＝
hh＋tan α＋tan β80160h
·tan γ＝1，所以·＝1，解得h＝80，所以塔高为80 m.
1－tan αtan βhh240
1－·80160
答案：80三、解答题
11.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
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(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．
解：(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28.
所以渔船甲的速度为
BC
＝14海里/时．2
(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，ABBC
＝，sin αsin 120°
312×
ABsin 120°233即sin α＝＝＝.
BC2814由正弦定理，得
12.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100 米和BN＝200 米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了1003米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．
解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，所以PM＝1003，连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝1003，所以△PQM为等边三角形，
所以QM＝1003.
在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，
所以BQ＝1005，cos θ＝
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.在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos θ＝(1005)2，所以BA＝1005.
即两发射塔顶A，B之间的距离是1005米．
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