圆锥曲线的参数方程

圆锥曲线的参数方程

一、教学目的

1：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义

2：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程

二、知识点整理

圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。

1）椭圆

文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。

标准方程：

2222yxa1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：（/)+( /b)=1

其中a>b>0，c>0，c=a-b.

222

2222yxb2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(/)+( /a)=1

其中a>b>0，c>0，c=a-b.

222参数方程：

X=acosθ Y=bsinθ (θ为参数 ，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆 此时c=0，圆的acosθ=r)

2）双曲线

文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。

标准方程：

2222yxa1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(/)-( /b)=1

222其中a>0,b>0, c=a+b.

2222y2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(/a)-( x/b)=1.

222其中a>0,b>0, c=a+b.

参数方程：

x=asecθ y=btanθ (θ为参数 )

3）抛物线

标准方程：

2y1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：=2px 其中 p>0

2y2.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：=-2px 其中 p>0

2x3.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：=2py 其中 p>0

4.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x=-2py 其中 p>0

2参数方程

x=2pt y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特

2别地，t可等于0

直角坐标

y=ax+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )

22圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为

ρ=ep/(1-e×cosθ) 其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。

三、练习

1.（北京卷理5）极坐标方程（-1）（）=（0）表示的图形是（ ）

（A）两个圆 （B）两条直线

（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线

x1tcos2.（湖南卷理3文4）极坐标方程和参数方程y23t（t为参数）所表示的

图形分别是（ ）

A、圆、直线 B、直线、圆

C、圆、圆 D、直线、直线

x1tpcos3.（湖南卷文4）极坐标和参数方程y2t（t为参数）所表示的图形分别是

A. 直线、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D. 圆、直线

4.（广东卷理15）在极坐标系（，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线=2sin 与pcos1 的交点的极坐标为______。

cossin15.（广东卷文15）在极坐标系（，）（0＜2）中，曲线与sincos1的交点的极坐标为__________________.

xcos6.（陕西卷理15C）已知圆C的参数方程为y1sin（a为参数）以原点为极点，x

轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin1，则直线l与圆C的交点的直角坐标系为______________

7.（江苏卷21③）在极坐标系中，圆=2cosθ与直线3cosθ+4sinθ+a=0相切，求实数a的值