幂指对函数复习专题讲座

一．幂函数

1.定义形如yx的函数叫幂函数，其中为常数，在中学阶段只研究为有理数的情形.

2.幂函数yxn(nQ,nqp,p,q互质）的性质如表1-1.

q3.根据幂函数在第一象限内图像的特点分析幂函数yxp的性质.

y q p1 qp1 1q p01 qp0

O （1）图像必过1 (1,1)点. x（2）

qp1时，过(0,0)点，1且随nx的增大，函数图像向y轴方向延伸.m0

在第一象限是增函数.

（3） qp1时，图像是直线y=x。在第一象限内是增函数.（在整个定义域内都是增函

数.）

（4）1qp0时,随x的增大，函数图像向x轴方向延伸.在第一象限是增函数.

（5）qp0时，随x的增大，函数图像与x轴、y轴无限接近，但永不相交。在第一象

限是减函数.

二．指数函数和对数函数

1.幂的有关概念：

(1)规定：① anaaa(nN*);② a01(a0); n个 m③ap1n*

ap(pQ）;④anam(a0,m、nN 且n1) (2)指数运算性质： ①arasarsa0,r、sQ）;②ar(sasar(a0,r,sQ)；

③(ar)sars(a0,r、s Q）;④(ab)rarbr(a0,b0,r Q）;

s⑤abasbs(a0,b0,sQ).（注）上述性质对r、sR均适用.

2．对数的概念：

(1)定义：如果a(a0,且a1)的b次幂等于N，就是abN，那么数b称以a为底N的对数，记作logaNb,其中a称对数的底，N称真数.

①以10为底的对数称常用对数，log10N记作lgN，

②以无理数e(e2.71828)为底的对数称自然对数，logeN记作lnN (2)基本性质：

①真数N为正数（负数和零无对数）; ② loga10;

③logaNaa1;④对数恒等式：alogN. (3)运算性质：如果a0,a0,M0,N0,则

①loglogMa(MN)aMlogaN;②logaNlogaMlogaN; ③lognlogn; ⑤log1aMnaM;④logaananNnlogaN

⑥换底公式：logaNlogmNlog(a0,a0,m0,m1,N0), ma⑦lognablogba1，⑧ logamNnmlogaN 3.指数函数

（1）指数函数的定义

一般地，函数y=ax（a＞0且a≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象

yy=a x ( a >1 ）y=a x y(0＜a＜1)11Ox Ox 底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.

（3）指数函数的性质 ①定义域：R. ②值域：（0，＋∞）. ③过点（0，1），即x=0时，y=1.

④当a＞1时，在R上是增函数；当0＜a＜1时，在R上是减函数. 4. 对数函数

（1）对数函数的定义

函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数. （2）对数函数的图象

yyy=log a x( a > 1)1O1x Ox y=log ax ( 0 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.

（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R. ③过点（1，0），即当x=1时，y=0.

④当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数.

5.指数函数y=ax

(a＞0，且a≠1)与对数函数y=logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如表1-2．

(注)指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数． 6.抽象函数

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子（等式（方程）或不等式等）的一类函数。中学阶段遇到的抽象函数大多是如下几种以常见初等函数为模型的抽象函数：

1） 一次函数型抽象函数 f(x)axbf(xy)f(x)f(y)b;f(xyf(x)f(y)2)2

（2）指数函数型抽象函数 f(x)axf(xy)f(x)f(y);f(xy)f(x)f(y)

（3）对数函数型抽象函数

（

f(x)logf(x)f(y);f(xaxf(xy)y)f(x)f(y)

（4）幂函数型抽象函数 f(x)xnf(xy)f(x)f(y);f(xf(x)y)f(y)

（5）三角函数型抽象函数

f(x)tanxf(xy)f(x)f(y)1f(x)f(y) f(x)cosxf(xy)f(xy)2f(x)f(y)

三．典型例题

【例1】 图中曲线是幂函数yxn在第一象限的图象，已知n取±2、±12四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为（ ）

y C1 C2 C3 1 C4 o 1 x

（A） -2，-

12，12，2. （B） 2, 112, -2,-2.

（C） -112,-2, 2, 2.

（D） 2,

12, -2，-12.

【例2】 在下列图形中找出所给函数的大致图象

32（1）yx2 ；（2）y1x ；（3）yx3 ；（4）yx2 ；（5） y = x1/2 ；

（6） y = x1/3 ；（7） y = x4/3 ； （8） y = x –1/2 ； （9） y = x5/3

.

y y y 0 x 0 x 0 x （ ） （ ） （ ） y y y 0 x 0 x 0 x （ ） （ ） （ ） y y y 0 x 0 x 0 x （ ） （ ） （ ）

【例3】解答下述问题： （1）计算：

2211[(33)3(54)0.5(0.008)3(0.02)2(0.32)2]0.06250.2589 2121[解析]原式=[(827)3(499)2(10008)3504210](625410000)

[4973251524210]12(17292)29 （2）计算lg5lg8000(lg23)2lg60012lg0.0361.

2lg0.1[解析]分子=lg5(33lg2)3(lg2)23lg53lg2(lg5lg2)3； 分母=(lg62)lg361000110lg62lg61004； 原式=

34. 41333（3）化简：

a8ab22(a232ba3a24b323aba3a).

5a3a1111121[解析]原式=

a3[(a3)3(2b3)3]a32b3(a321111(a3)2a3(2b3)(2b3)2aa)111 (a2a3)5511112a3(a32b3)a311a61a3aaa2.

a32b3a6（4）已知：log189a,18b5,求log3036值. [解析]18b5,log185b,

log36log1818log1821(log1818log189)2(2a)30log5log.

18186b(log1818log183)22ba4】已知函数yloga(x2mx1)(a0,a1).

(1)若定义域为R，求m的取值范围；(2)若值域为R，求m的取值范围.

解：（1）由题意知，x2mx10对任意实数x恒成立

所以 m240

解得：2m2 （1） 设vx2mx1，则ylogav

函数y的值域是(,)，m240，解得： m2或m2

【例5】 函数ya|x|(a1)的图象是（ ）

ax(x0)解：方法1；由题设知：y1x，又a＞1，由指数函数的图象知答案为B

(a)(x0)方法2：因 ya|x| 是偶函数，又a＞1，所以a|x|1，排除A、C。当x0时，yax，由指数函数的图象知答案为B.

【例6】若f（x）=x2－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1）.

（1）求f（log2x）的最小值及对应的x值；

（2）x取何值时，f（log2x）＞f（1）且log2［f（x）］＜f（1）. 解：（1）∵f（x）=x2－x+b， ∴f（log2a）=log22a－log2a+b. 由已知有log22a－log2a+b=b， ∴（log2a－1）log2a=0. ∵a≠1，∴log2a=1.∴a=2. 又log2［f（a）］=2，∴f（a）=4. ∴a2－a+b=4，b=4－a2+a=2.

故f（x）=x2－x+2，从而f（log172x）=log22x－log2x+2=（log2x－2）2+4. ∴当log172x=2即x=2时，f（log2x）有最小值4.

（2）由题意2log2xlog2x22x2或 0x10＜x＜1. log22(xx2)21x2

【例

幂指对函数练习题 一．选择题：

1.若100a5,10b2，则2ab= （ ）

A、0 B、1 C、2 D、3

2.若xy0，那么等式4x2y32xyy成立的条件是 （ ）

A、x0,y0 B、x0,y0 C、x0,y0 D、x0,y0 3.已知ab>0，下面四个等式中，正确命题的个数为（ ）

①lg（ab）=lga+lgb ②lgab=lga－lgb ③1aa12lg(b)2lgb ④lg（ab）=logab10A．0 B．1 C．2 D．3

4.已知x=2+1，则log4（x3－x－6）等于（ ）

A．3512 B．4 C．0 D．2

5.已知m>0时10x=lg（10m）+lg1m，则x的值为( )

A．2 B．1 C．0 D．－1 6.若logab·log3a=5，则b等于( )

A．a3 B．a5 C．35 D．53

7. 若f(10x)x，则f(5) （ ）

A、105 B、510 C、lg10 D、lg5 8. 已知a0,a1，下列说法中，正确的是 （ ）

①若MN则logaMlogaN； ②若logaMlogaN则MN； ③若log2aMlogaN2则MN； ④若MN则logaM2log2aN。 A、①②③④ B、①③ C、②④ D、② 9. 已知alog32，那么log382log36用a表示是（ ）

A、5a2 B、a2 C、3a(1a)2 D、 3aa21 10. 若102x25，则10x等于 （ ）

A、15 B、15 C、150 D、1625

11.给出的函数中，是幂函数的是（ ）

A．yx3 B．yx3 C．y2x3 D．yx31 12.下列函数一定是指数函数的是（ ）

A.y2x1 B.yx3 C.y3x D.y32x 13.若函数y(a23a3)ax是指数函数，则有（ ）

A、a1或a2 B、a1 C、a2 D、a0且a1 14.已知log1blog1alog1c，则( )

222A． 2b>2a>2c B．2a>2b>2c C．2c>2b>2a D．2c>2a>2b 15.设y,y11.5140.9280.48,y32，则 （ ）

A、y3y1y2 B、y2y1y3 C、y1y3y2 D、y1y2y3 16.函数y(12x)34的定义域为 （ ）

A、xR B、x

12 C、x12 D、x12 17.函数y=log1(2x1)的定义域为（ ）

2A．（12，+∞） B．［1，+∞) C．（ 12，1] D．（－∞，1）

18.函数y(12)1x的单调递增区间是 （ ）

A、(,) B、(0,) C、(1,) D、(0,1) 19.下列等式中成立的是 （ ）

A、 5x5x0.5xB、 5x0.5x5x C、5x5x0.5x D、 0.5x5x5x

20.若函数f(x)logax(0a1)在区间a,2a上的最大值是最小值的3倍，则a的值为（ ） A、

24 B、22 C、114 D、2

21.下列图像正确的是 （ ）

22.若函数yaxm1(a0,a1)的图象在第一、三、四象限内，则（ ）

A、a1 B、a1且m0 C、0a1且m0 D、0a1

23.函数y=lg（21x－1）的图象关于（ ）

A．x轴对称 B．y轴对称C．原点对称 D．直线y=x对称

24.已知log11a3logb30，则a、b的关系是（ ）

A．1＜b＜a B．1＜a＜b C．0＜a＜b＜1 D．0＜b＜a＜1

25.已知f（x）=ax，g（x）=－logbx，且lga+lgb=0，a≠1，b≠1，则y=f（x）与y=g（x）的图象（ ） A.关于直线x+y=0对称 B.关于直线x－y=0对称 C.关于y轴对称 D.关于原点对称 26.当x∈(1,+∞)时,函数y=xa的图像恒在直线y=x的下方,则a的取值范围是 (A)a＜1 (B)0＜a＜1 (C)a＞0 (D)a＜0

27.下图中曲线是对数函数y=log431ax的图象，已知a取3,3,5,10四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为( )

A．3,43141343,5,10 B．3,3,10,5 C．

3,3,35,110 D．43,3,110,35

428.函数yx3的图象是（ ）

29.下列命题中正确的是 （ ）

A．当0时函数yx的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点

C．若幂函数yx是奇函数，则yx是定义域上的增函数 D．幂函数的图象不可能出现在第四象限 1

30.如图1—9所示，幂函数yx在第一象限的图象，

比较0,41,2,3,4,1的大小（ ）

A．130421

2

B．03

12341 C．240311 D．320411

31.下列函数中既是偶函数又是(,0)上是增函数的是

（ ）

43A．yx3B．yx2 C．yx2 D．yx14

32.函数f(x)=a2+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为

A．14 B．12 C．2 D．4

33.已知a>0，a0，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 ( )

34.若函数f(x)12x1, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( )

(A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值

35.函数f(x)的图像沿x轴向左平移一个单位,再沿y轴翻折180o

,得到y=lgx的图像,则f(x)的解析式为( ) (A)f(x)=lg(1+x) (B)f(x)=lg[－(x+1)]

(C)f(x)=lg(1－x) (D)f(x)=－lg(1－x) 36. 下图中三条对数函数图像,若a

＞1,则x1、x2、x3的大小关系是

(A)x1＞x2＞x3 (B)x3＞x2＞x1 (C)x3＞x1＞x2 (D)x2＞x1＞x3 37.函数f(x)=ax

－b－1(a＞0,a≠1)图像只在第一、三、四象限.则 ( ) (A)a＞1,b∈R (B)0＜a＜1,b＞0 (C)0＜a＜1,b∈R (D)a＞1,b＞0 38.函数y=2x的图像向左平移一个单位得图像C1,再将C1向上平移一个单位得到图像C2,作出C2关于直线y=x的对称图像C3,则C3的解析式是 ( )

(A)y=log2(x+1)+1(B)y=log2(x+1)－1(C)y=log2(x－1)+1(D)y=log2(x－1)－1 39.某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是（ ）

A、减少7.84% B、增加7.84% C、减少9.5% D、不增不减

40.定义在区间（－∞,＋∞)的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间[0,＋∞)的图像与f(x)的图像重合,设a＞b＞0,给出下列各式： ①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b); ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b); ③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a); ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a). 其中正确的是 ( ) (A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④

二、填空题：

1.化简log2(123)log2(123) . 2.log6log4(log381)的值为 . 3.某企业生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长为 . 4.若logx211，则x . 5. 设2a5b10,则11ab_________. 6. 函数yax11 (a0且a1)的图象必经过定点________;函数y=loga(4x-7)对a＞0且a≠1的所有实数,必过定点__________.

7.f(x)1logx24x3)的定义域为 ;函数y=log0.5(x1)的定义域2(是 .

18.函数y=1x2的值域是_________.

9.若log1a22a1a0，则a的取值范围是 . 10.若函数f(x)log)在区间(1a(x3ax) (a0,a12,0)内单调递增，则a的取值范围

是 .

11.方程lgx2lg(x2)0的解集是 . 方程2log2x+3logx2=7的解集是____. 12.函数y=（

12）x22x2的递增区间是___________;函数y=log2(x2-4x+3)的递增区间是__________.

13.f－1 （x）为函数f（x）=lg（x+1）的反函数，则f－1 （x）的值域为_ .

14.设函数f(x)ln1x1x，则函数g(x)f(x12)f(x)的定义域为_ . 15.函数y=lg(5x+7)的反函数是_____，反函数的值域是_____.

16.函数y=x·的最大值是________.

17.已知f（x）=log2

1［3－（x－1）］，则f（x）的值域为 ,单调增区间为 ,

3单调减区间为 .

118.已知函数f（x）=(2)x,x4,则f（2+log23）的值为

f(x1),x4,19.若直线y=2a与函数y=|ax－1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是______________.

20.若函数f（x）=logax（0＜a＜1＝在区间［a，2a］上的最大值是最小值的3倍，则a等于 . 21.设f －1（x）是f（x）=log2（x+1）的反函数，若1f1(a)1f1(b)8，则f（a+b）的值为 .

22.满足等式lg（x－1）+lg（x－2）=lg2的x集合为______________。

23.若关于x的方程5xa3a3有负根，则实数a的取值范围是_____________.

24.f（x）=log1a21(2x1)在（－2，0）上恒有f（x）>0，则a的取值范围_______．

25.当x0时，函数y(a28)x的值恒大于1，则实数a的取值范围是________. 26.若a3a4(a0,a1)，则a的取值范围是____________.

27.若log2a(a+1)＜loga2a＜0,则a的取值范围是__________.

28.函数f（x）=|lgx|，则f（114），f（3），f（2）的大小关系是__________

29.使x2＞x3成立的x的取值范围是_______.

30.函数y=x－2+的最小值是________;最大值是________.

三、解答题

1.化简或求值：

lg500lg1lg6450（1）

a121a231a38； （2）52lg2lg52.

12.求log2．56．25+lg100+lne+21log23的值．

3.已知

x2x222,x1，求x2x2的值 4.已知axaxu，其中a>0, xR，试用u将下列各式分别表示出来：

x3x （1）a2ax2 ； （2） a2a3x2.

5.已知2x2x5，求（1）4x4x；（2）8x8x

6.判断函数

f(x)lgx21x的奇偶性、单调性

log3log1log2x7.求函数y=

3的定义域.

1x8.已知

f(x)log21x，则

（1）求f(x)的定义域；（2）求使f(x)0的x的取值范围。

9.已知f(x)=x2-bx+c,f(0)=3,对定义域中的所有x,都有f(1+x)=f(1-x),试比较f(bx),

与f(cx

)的大小.

10.函数y=a2x+2ax-1 (a＞0,a≠1),当x∈[-1,1]时,最大值为14,求a. 11.已知f(x)=1+log22x,x∈[1,8].求y=f(x)+f(x2)的值域. 12.设a∈(0,1),log22ay=logax-logax3+3,函数y的最大值为

4,求a、x. x113.已知4x-9·2x+1

+32≤0,求函数y=log

22logx128的最大、最小值.

14.已知f(x)=x2+(lga＋2)x＋lgb，且f(-1)=-2，若f(x)≥2x对于任意x∈R恒成立，（1）求a,b的值；（2）指出f(x)的奇偶性并判断f(-4)与f(-1)的大小.

15.设A={x|1＜x＜3},集合B是关于x的不等式组

的解集.试确定a,b

的取值范围,使得AB.

16.解下列方程： （1）

；（2）

.

17.已知f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2 (x＞0,x≠1)

(1)比较f(x)、g（x）的大小；

(2)若|f（x）-g（x）|+f（x）+g（x）=4，求x.

2(1)若f(x)的定义域为[α、β]（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明；

(2)当m∈（0，1）时，使f（x）的值域是[logmm（β-1），logmm（α-1）]的定义域

区间[α、β]（β＞α＞0）是否存在？若存在，求出定义域区间 [α、β]；若不存在，请说明理由.

29.要使函数y=1+2x+4xa在x∈（－∞，1）上y＞0恒成立，求a的取值范围. 30.设定义在(0,)上函数f(x)满足下列两个条件：①对一切正实数1m、n，都有

18.关于x的方程log2(x+3)-log4x=a在(3,4)内有实数解,求实数a的取值范围. 1119.a＞0,a≠1,解关于x的不等式1+log2(4-ax

)≤log

2(ax

-1).

20. 求函数y=2lg（x－2）－lg（x－3）的最小值.

21.已知f(x)=x2

-x+k,f(log2a)=k,log2f(a)=2(a≠1). (1)求f(log2x)的最小值及取得最小值时的x值;

(2)x为何值时,有f(log2x)＞f(1)且log2f(x)＜f(1)成立? 22.已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（－2k，2）是函数y= f－1 （x）图象上的点.求实数k的值及函数f－1 （x）的解析式；

23. 设a0，

f(x)exaaex是R上的偶函数 （1）求a的值；（2）证明f(x)在(0,)上为增函数

24.已知函数f(x)在R+上有定义，且具有如下性质：

① f(x＋y)＝f(x)＋f(y)； ② 若f(x)≥f(y)，则x≥y； ③ f(2)＝1， (1)求f(1)、f(4)的值； (2)若f(x)＋f(x＋3)≤2，求x的范围. 25.已知函数y4x32x3的值域为[7，43]，试确定x的取值范围.

2x26.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(-x),当x∈(0,1]时,

f(x)4x1; (1)求证:f(x)是以4为周期的周期函数;

(2)求f(x)在[-1,0]上的解析式;

27.已知过原点O的一条直线l与函数y=log8x的图象交于A、B两点.分别过A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点. (1)证明C、D和原点在同一条直线上； (2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.

x328.已知函数f(x)=logmx3.

f(mn)f(m)f(n)；②当x＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值；（2）判断f(x)的单调性并加以证明；

（3）若x),且x1xx1,x2(0,1x2,试比较2[f(x1)f(x2)]与f(122)的大小.