数值计算方法 练习题

习题一

1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。 （1） （4） （7）

2. 为使下列各数的近似值的相对误差限不超过 效数字？

，问各近似值分别应取几位有

； （2） ； （5） ；

； （3） ； （6）

；

；

3. 设

均为第1题所给数据，估计下列各近似数的误差限。

（1） 4. 计算 为什么？

； （2） ； （3）

，取 ，利用下列等价表达式计算，哪一个的结果最好？

（1） （4）

； （2） ； （3）

5. 序列 满足递推关系式

若

（三位有效数字），计算 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

的两个根，使其至少具有四位有效数字（要求利用

。

6. 求方程

7. 利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。

（1） ； （2）

（3）

； （4）

8. 设 （1）

，求证：

（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差增大；反向递推时误差函数减小。

9.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

10.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

11.下列公式如何才比较准确？ （1）

（2）

12.近似数x*=0.0310,是13.计算

取

位有数数字。

，利用式计算误差最小。

四个选项：

习题二

1. 已知 2. 令

3. 给出函数 估计截断误差。

的数表，分别用线性插值与二次插值求

的近似值，并

求

的一次插值多项式，并估计插值误差。

，求

的二次值多项式。

0.4 0.38942 0.5 0.47943 0.6 0.56464 0.7 0.64422 0.8 0.71736 4. 设 5. 已知

，试利用拉格朗日余项定理写出以 为节点的三次插值多项式。

，求 及 的值。

6. 根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算 和 的近似值。

X F (x)

7. 已知函数

1.615 2.41450 1.634 2.46459 1.702 2.65271 1.828 3.03035 1.921 3.34066 的如下函数值表，解答下列问题

（1）试列出相应的差分表；

（2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。

X f (x) 0.0 1.00 0.1 1.32 0.2 1.68 0.3 2.08 0.4 2.52 0.5 3.00 8. 下表为概率积分 （1） （2）

时，积分

为何值时，积分

？

的数据表，试问：

X P

0.46 0.484655 0.47 0.4937452 0.48 0.5027498 0.49 0.5116683 9. 利用 程

10. 依据表10中数据，求三次埃尔米特插值多项式。 表10

在

在0.3和0.4之间的根的近似值。

各点的数据（取五位有效数字），求方

x y 0 0 1 1 －3 y¢ 9 11. 依据数表11中数据，利用基函数方法，构造四次埃尔米特插值多项式。 表11 X Y y¢ 12. 在

上给出

的等距节点函数表，用分段线性插值求

的近似值，要

0 0 0 1 －2 1 2 3 使截断误差不超过

13. 将区间

，问函数表的步长h应怎样选取？

分成n等分，求 在 上的分段三次埃尔米特插值多项式，

并估计截断误差。 14、给定

的数值表

用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限

15、在-4≤x≤4上给出差不超过

的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误

，函数表的步长h应取多少?

16、若，求和

17、若

的值，这里p≤n+1.

互异，求

18、求证

19、已知的函数表

求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 20、给定f(x)=cosx的函数表

用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差.

21. 求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足

22. 令

明

是［-1,1］上带权

称为第二类Chebyshev多项式，试求的表达式，并证

的正交多项式序列.

23、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.

24、填空题 (1) 满足条件 (2)

的插值多项式p(x)=( ).

,则f［1,2,3,4］=( )，f［1,2,3,4,5］=( ).

(3) 设为互异节点，为对应的四次插值基函数，则＝( )，

＝( ).

(4) 设序列，其中

是区间［0,1］上权函数为ρ(x)=x的最高项系数为1的正交多项式，则

＝( )，

＝( )

习题三

1. 给出数据如下表所示，试用最小二乘法求一次和二次拟合多项式。

x y －1.00 －0.2209 －0.75 0.3295 －0.50 0.8826 －0.25 1.4392 0 2.0003 0.25 2.5645 0.50 3.1334 0.75 3.7061 1.00 4.2836

2. 用最小二乘法求下列不相容方程组的近似解。

（1）

（2）

3. 用最小二乘法求一个形如 算均方误差。

的经验公式，使它与下表中的数据相拟合，并计

X Y

19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 97.8 4. 在某次实验中，需要观察水份的渗透速度，测得时间t与水的重量W的数据见下表。设已知t与W之间的关系为 t(秒) W(克) ，试用最小二乘法确定参数a、s。

1 4.22 2 4.02 4 3.85 8 4.59 16 3.44 32 3.02 64 2.59 5. 试构造点集 上的离散正交多项式系

。并利用所求的离散正交多项式系，对第二题中的数据求二次拟合多项

式。

6. 现测量长度

和

米、

和

米，为了提高测量的可靠性，又测量到 的值。

米。试合理地决定长度

习题四

1. 确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式具有的代数精度。

（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4）

；

2. 用辛甫生公式求积分

的值，并估计误差。

3. 分别用复化梯形法和复化辛甫生法计算下列积分：

（1） ，8等分积分区间； （2） ，4等分积分区间；

（3）

，8等分积分区间； （4） ，6等分积分区间。

4. 用复化梯形公式求积分 差不超过e（不计舍入误差）？

5. 导出下列三种矩形公式的项

，问将积分区间[ a, b ]分成多少等分，才能保证误

（1） ； （2） ；

（3）

提示：利用泰勒公式。

6. 用龙贝格公式计算下列积分，要求相邻两次龙贝格值的差不超过 。

（1）

7. 根据等式

； （2） ；

以及

当n=3,6,12时的三个值，利用外推算法求 的近似值。

8. 分别用下列方法计算积分

。

，并比较结果精度（积分准确值

（1） 复化梯形法，n = 16； （2） 复化辛甫生法，n = 8； （3） 龙贝格算法，求至R2； （4） 三点高斯—勒让德公式； （5） 五点高斯—勒让德公式。

9. 试确定下面求积分式的待定参数，使其代数精度尽可能高。

10. 已知f ( x )的值见表6-13。用三点公式求函数 阶导数值，并估计误差。

在x = 1.0,1.1,1.2处的一

11. 用二阶三点公式求函数 x f ( x )

12. 用中点公式的外推算法求 二次。

1.0 0.25000 1.1 0.22676 在x = 1.2处的二阶导数值（利用数表6-13）。 1.2 0.20661 在x = 2处的一阶导数值，取h = 0.8开始，加速

13、分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.

14、用Simpson公式求积分，并估计误差

15、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.

(1)

(2)

(3)

16、计算积分，若用复合Simpson公式要使误差不超过，问区间

要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间应分为多少等分?

17、用Romberg求积算法求积分，取.

18、用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.

19、用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分.

习题五

1. 用列主元素法解下列方程组

(1) ； (2) ； (3)

对(1) (2)两题观察每步消元结果的系数矩阵有何特点，右下方矩阵是否对称，列主元在何处，消元过程是否符合上题结论。

2. 用追赶法解下列方程组

（1）

（2）

3. 求第1题及第2题中系数矩阵A的LU分解，并用此分解法解对应的线性方程组。

4. 给定

5、用Gauss消去法求解下列方程组.

，求 及 。

6、用列主元消去法求解方程组列式detA的值.

7、用Doolittle分解法求习题5(1)方程组的解.

并求出系数矩阵A的行

8、下述矩阵能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一?

9、用追赶法解三对角方程组Ax=b，其中

10、用平方根法解方程组11、设

，证明

12、设13、设

为

计算A的行范数，列范数及F-范数和2范数.

上任一种范数，

是非奇异的，定义

，证明

14、求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计.

，即

，即

15、是非题（若\"是\"在末尾（）填+,\"不是\"填-）：题目中

（1）若A对称正定,（2）定义

,则

是

上的一种向量范数 （ ）

是一种范数矩阵 （ ）

（3）定义（4）只要

是一种范数矩阵 （ ）

，则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵，U为非奇

上三角阵 （ ） （5）只要

，则总可用列主元消去法求得方程组

的解 （ ）

（6）若A对称正定,则A可分解为（ ） （7）对任何

都有

，其中L为对角元素为正的下三角阵

（ ） （ ）

（8）若A为正交矩阵，则

习 题 六

1. 对下列方程组考察用雅可比迭代法与高斯—塞德尔迭代法是否收敛？若收敛，写出其迭代格式；若下收敛，能否将方程变形，使之用雅可比迭代法或高斯—塞德尔迭代法时收敛？

（1） ； （2） ；

（3）

； （4） ；

2. 试分析用雅可比迭代法和塞德尔迭代法连续迭代5次求线性方程组的解（取初值

）

3. 用雅可比迭代法解下列方程组。

（1）

（2） 取

，并判别此迭代是否收敛？

4. 用塞德尔迭代法解方程组。

取

，并判别此迭代是否收敛？

5.证明对于任意的矩阵A，序列6.方程组

收

敛于零矩阵.

(1) 考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性. (2) 写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以

为止.

7.设方程组

计算到

证明:解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散. 8.下列两个方程组Ax=b，若分别用J法及GS法求解，是否收敛?

9.设

敛的充分必要条件.

，

detA≠0，用,b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收

10.用SOR方法解方程组(分别取ω=1.03,ω=1,ω=1.1)

精确解确定迭代次数.

，要求当时迭代终止，并对每一个ω值

11.对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使次? 12.填空题

那么J法GS法和SOR法各需迭代多少

(1)要使应满足（）.

(2) 已知方程组，则解此方程组的Jacobi迭代法是否收

敛（）.它的渐近收敛速度R(B)=（）.

(3) 设方程组Ax=b,其中代矩阵是（）.

其J法的迭代矩阵是（）.GS法的迭

(4) 用GS法解方程组件是a满足（）.

，其中a为实数，方法收敛的充要条

(5) 给定方程组时SOR迭代法收敛.

,

a为实数.当a满足（），且0＜ω＜2

习题七

1. 判断下列方程有几个实根，并求出其隔根区间。

（1） （3） 2. 方程 使其误差不超过

； （2） ； （4）

在区间（3，4）中有一实根，若用二分法求此根，

，问应将区间对分几次？并请用二分法求此根。

3. 下列方程各有一实根，判别能否直接将其写成迭代格式而后求解？如不能，将方程变形，给出一个收敛的迭代格式。

（1） 4. 求方程

； （2）

的隔根区间，对方程的下列四种等价变形，判断各迭代格式的

收敛性，选一种收敛最快的迭代格式，求出具有四位有效数字的近似根。

（1） （4）

5. 考察方程

（2）

（3）

有几个根，选择合适的迭代格式求这些根，允许误差

根的迭代结果见表2-6，试估计所求根的重数。

6. 用牛顿法求出的方程 表2-6

k 0 1 Xk 0.75 0.752701 xk－xk－1 0.00270 2 3 4 5 7. 用二分法求方程

0.754795 0.756368 0.757552 0.7584441 0.00208 0.00157 0.00118 0.000889 的正根，使误差小于0.05.

在

=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，

8.求方程

并建立相应迭代公式.

(1) (2)

，迭代公式,迭代公式

.

.

(3)

，

迭代公式

.

试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根. 9.设方程 (1) 证明对 (2) 取

,均有

的迭代法

,其中

为方程的根.

,并列出各次迭代值.

=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过

(3) 此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论. 10． 给定函数

，设对一切x,

存在，而且均收敛于方程

.证明对的根.

的任意常数,迭代法

11.用Steffensen方法计算第12题中(2)、(3)的近似根，精确到12用Newton法求下列方程的根，计算准确到4位有效数字. (1) (2)

13.应用Newton法于方程

在

=2附近的根. 在

=1附近的根.

,求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性.

习题八

41321141A1230,A214110314 1.已知矩阵

试用格希哥林圆盘确定A的特征值的界。

Tx2.设x(x1,x2,...,x3)是矩阵A属于特征值的特征向量，若

xi，

aiiaij试证明特征值的估计式

j1jin.

232A1034(0)T361y(1,1,1)3.用幂法求矩阵 的强特征值和特征向量，迭代初值取。

621A231111 最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取 4.用反幂法求矩阵

y(0)(1,1,1)T。

。

5.设AR非奇异，A的正交分解为A=QR，作逆序相乘A1=RQ，试证明 （1） 若A对称则A1也对称；

（2） 若A是上Hessenberg阵，则A1也是上Hessenberg阵。

nn11A12 6.设矩阵

（1）任取一非零向量作初始向量用幂法作迭代，求A的强特征值和特征向量；

（2）用QR算法作一次迭代，求A的特征值；

（3）用代数方法求出A的特征值和特征向量，将结果与（1）和（2）的结果比较。

120A021111 7. 设矩阵

（1）用Householder变换化A为对称三对角阵A1。 （2）用平面旋转阵对A1进行一步QR迭代计算出A2。

8. 用带位移的QR方法计算下列矩阵的全部特征值。

421,(2)A(1)A010023 9. 设ARnn310121011

(1)，且已知其强特征值1和对应的特征向量x(1)，

（1）证明：若构造Householder阵H使Hxke1（常数k0,e1(1,0,...,0)TRn），

HAH10则必有xA1

(n1)(n1)1(n1)AR,xR其中1，且A的其余n-1个特征值就是A1的特征值。

32A(1)T324,x(2,1)1（2）以为例，已知，用以上方法构造H阵，并求出A

的第二个特征值2。

10.对以下的实对称阵用QR方法求其全部特征值。

310,(2)A(1)A142021

411132123

习题九

1. 取步长h = 0.1，分别用欧拉法与改进的欧拉法解下列初值问题

（1） ； （2）

准确解：（1） ；（2） ；

2. 用四阶标准龙格—库塔法解第1题中的初值问题，比较各法解的精度。

3. 用欧拉法计算下列积分在点

处的近似值。

4. 求下列差分格式局部截断误差的首项，并指出其阶数。

（1）

（2）

（3）

（4）

5. 用Euler法解初值问题

位).

取步长h=0.1，计算到x=0.3(保留到小数点后4

6. 用改进Euler法和梯形法解初值问题

确解

相比较.

取步长h=0.1,计算到x=0.5，并与准

7. 证明中点公式(7.3.9)

部截断误差主项.

是二阶的，并求其局

8. 用四阶R-K方法求解初值问题9. 对于初值问题

10. (1) 用Euler法求解，步长h应取在什么范围内计算才稳定? 11. (2) 若用梯形法求解，对步长h有无限制? 12. (3) 若用四阶R-K方法求解，步长h如何选取? 13. 用四步四阶的Adams显式方法

求解初值问题

取h=0.1. 的线性二步法解

取步长h=0.2.

14. 用形如

15. 试确定参数

习题一

，使方法具有尽可能高的阶数，并求出局部截断误差主项.

1. （1）5， ， ； （2）2， ， ；

（3）4， ， ； （4）5， ， ；

（5）1， ， ； （6）2， ， ；

（7）6， 2.

3. （1）

，

； ；

； （2） ；（3）

4. 第（3）个结果最好

5. 不稳定。从 6.

计算到 时，误差约为

，

7. （1） ； （2） ；

（3）

； （4）

。

9. 求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，有

已知x*的相对误差满足故

，而

，

即

10.直接根据定义得

有5位有效数字，其误差限有2位有效数字，

，相对误差限

有5位有效数字，

11.要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1）

（2）

12. 3位 13.

习题二

1.

2. ；

，当

时。

， 介于x和0，1决定的区间内；

3. 0.54667，0.000470；0.54714，0.000029 4. 5. 1，0 6.

7. 向前插值公式

，

向后插值公式

8. （1）

9. 0.3376489

10.

； （2）

11.

12.

13.

14、 解 仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值

误差限

，因

，故

二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值

误差限故

，

15、

解：用误差估计式，

令

因

得

16、 解：由均差与导数关系

于是17、

解：

可知当

而当P＝n＋1时

有

，由均差对称性

于是得18、

解：只要按差分定义直接展开得

19、

解：根据给定函数表构造均差表

当n=3时得Newton均差插值多项式

N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203 由余项表达式可得

由于

20、 计算式

，用n=4得Newton前插公

误差估计

其中

计算时用Newton后插公式（5.18)

误差估计得

这里

仍未0.565

使

21、 解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造

它满足

，显然

p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2 由p(2)=1求出A＝ ，于是

，再令

22、 解：因

23、 解：本题给出拟合曲线数

，即

，故法方程系

法方程为

解得

最小二乘拟合曲线为均方程为

24、

解答：

（1）（2）

（3）

（4）

习题三 1.

，

2.

（； ，其中c为任意常数

3.

4. ，

5.

，

，

6. ， 。

）2）

1

（

习题四

1.

（1）

精度为3； （2）

， ，代数

，

3；

（3） 数精度2；

，

或

，

，代数精度为

，代

（4） ，代数精度为3。

2.

3.（1）

，

，

，

，

； ；

；

（2） （3） （4）

4.

，

5. （1） 6.（1）

；（2） ；（3）

，

7. 3.141580072

8. （1）1.099768； （2）

1.09862； （3）1.098612； （4）1.098039； （5）1.09860

9. 10.

， ，

，

，

11. 0.2600 12. 0.353554

13、解 本题只要根据复合梯形公式及复合Simpson公式（6.13）直接计算即可。

对出

，取n=8,在分点处计算f(x)的值构造函数表。按复合梯形公式求，按复合Simpson公式求得

，积分

14、解：直接用Simpson公式得

估计误差，因

，故

15、解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。 （1）令

代入公式两端并使其相等，得

解此方程组得，于是有

再令，得

故求积公式具有3次代数精确度。 （2）令

代入公式两端使其相等，得

解出得

而对（3）令

不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度。

代入公式精确成立，得

解得，得求积公式

对

故求积公式具有2次代数精确度。 16、解：由Simpson公式余项及

得

即

对梯形公式同样

，取n=6，即区间分为12等分可使误差不超过

，由余项公式得

即

取n=255才更使复合梯形公式误差不超过

17、解：本题只要对积分果如下表所示。

使用Romberg算法（6.20），计算到K＝3，结

于是积分

，积分准确值为0.713272

18、解：本题直接应用三点Gauss公式计算即可。

由于区间为，所以先做变换

于是

本题精确值

19、解：本题直接用Gauss-Chebyshev求积公式计算

即

于是，因n=2,即为三点公式，于是

，即

故

习题五

1. （1）

； （2）

T

； （3）

T

2. （1）(1.2,1.4,1.6,0.8)； （2）(－1.5,2,1,1) 3. 对第1题中的系数矩阵

（1）

对第2题中的系数矩阵

；（2）

（1）

（2）

4. 8，

，5；6， ，8

5. 解 本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接

计算即可。

故

6. 解：先选列主元

，2行与1行交换得

消元

3行与2行交换消元

回代得解

行列式得

7. 解：由矩阵乘法得

再由求得

由

解得

8.解：A

中

，若

A

能分解，一步分解后，

，相互矛盾，故A不能分解，但

若A中1行与2行交换，则可分解为LU 对B，显然

，但它仍可分解为

，

分解不唯一，

为一任意常数，且U奇异。C可分解，且唯一。

9. 解：用解对三角方程组的追赶法公式计算得

10.解：用

分解直接算得

由及

求得

11.解：即

，另一方面

故12. 解：

故

定义，得

13. 证明：根据矩阵算子定义和

令

，因P非奇异，故x与y为一对一，于是

14. 解：记

则故而

的解

，而

的解

由（3.12）的误差估计得

表明估计

略大，是符合实际的。

15、答案： （1）（＋）（2）（－）（3）（＋）（4）（－）（5）（＋）（6）（＋）（7）（－）（8）（＋）

习 题 六

1.

（1） （2） （3） （4） 雅可比迭代法 收敛 发散 收敛 发散 高斯一赛德尔法

收敛 发散 收敛 发散

2. 雅可比迭代法：

3 （1）范数 ，故雅可比迭代法收敛

（2）范数

，由 可判定雅可比法收敛。

4. 方程组系数矩阵对角占优，因此塞德尔迭代法收敛

与3题（1）迭代结果相比较，这里收敛速度快。

塞德尔迭代法：

5. 解：由于故

而

6. 解：因为

具有严格对角占优，故J法与GS法均收敛。 （2）J法得迭代公式是

取

，迭代到18次有

GS迭代法计算公式为

取

7. 解：Jacobi迭代为其迭代矩阵

，

谱半径为

，

而Gauss-Seide迭代法为

其迭代矩阵

，

其谱半径为

由于，故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。 8. 解：Jacobi法的迭代矩阵是

即，故GS法的迭代矩阵为

，J法收敛、

故，解此方程组的GS法不收敛。 9. 解 J法迭代矩阵为

，

故J法收敛的充要条件是

。

GS法迭代矩阵为

由得GS法收敛得充要条件是10. 解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为

取

，当

时，迭代

若取，迭代6次得11. 解：J法的迭代矩阵为

5

次达到要求

，故

，

因A为对称正定三对角阵，最优松弛因子

J法收敛速度

由于

，故

若要求

，于是迭代次数

对于J法对于GS法对于SOR法12、解答: (1)

，取K＝15 ，取K＝8 ，取K＝5

(2)J法是收敛的，

(3)J法迭代矩阵是，GS法迭代矩阵

(4)满足(5)满足

习题七

1. （1）

（3）

，

，

， ，

； （2） ；

； （4）

为根。

2. 6

3. （1）能； （2）不能，

4. （1.4,1.5）； （1）收敛； （2）收敛； （3）

发散；

（4）发散； 1.465573

5. －1.989761；0.3758122

6. ； ；

7. 解 使用二分法先要确定有根区间

。本题f(x)=x2-x-1=0,因

f(1)=-1,f(2)=1,故区间[1,2]为有根区间。另一根在[-1,0]内，故正根在[1,2]内。用二分法计算各次迭代值如表。

其误差

8解：（1）取区间，在故迭代收敛。 （2）

中有

中

且

，在

且

，则L<1，满足收敛定理条件，

，在中

，故迭代收敛。

，且，在

（3），在附近，故迭代法发

散。

在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取，则

9解：（1）迭代函数

，

，则有各次迭代值

，对有

（2）取

取

，其误差不超过

为单调增函数，故方程

，

，由递推有

，即

11解:在(2)中

令

,得

,与第2题中(2)的结果一致,可取

对(3)有

,

（3）

故此迭代为线性收敛。 10解：由于方程有根

，

）。迭代函数

的根是唯一的（假定。令

，则

,则有

,令,

,则满足精度要求.

原迭代不收敛.现令

令

12解：（1）Newton迭代法

取

，则

，取

（2）

令，则

的根为

，用Newton迭代法

，取

13解：方程

此公式迭代函数，则

，故迭代法2阶收敛。还可证明迭

代法整体收敛性。设

，对

一般的，当

时有

这是因为

，即

当

，表明序列

单调递减。故对

时成立。从而，迭代序列收敛于

习题八

1.

解：(1)33, 2 解：Ax由

(2)42,

x,AxxxiAx

xxi 得 ai1x1aiixiainxnxi

(aii)xiai1ijnijxj

naiixiai1ijnijxjai1ijijxj

aiiaiji1ijnxjxiaiji1ijn 3.。

解：y=[1,1,1]';z=y;d=0;

A=[2,3,2;10,3,4;3,6,1]; for k=1:100 y=A*z;

[c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end z=y/c

if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end

z(1)(0.4118 1.0000 0.5882)T, c1 = 17z(2)(0.5280 1.0000 0.8261)T, c2= 9.4706z(3)( 0.4928 1.0000 0.7260 )T, c3= 11.5839z(4)(0.5020 1.0000 0.7574)T, c4= 10.8316z(5)(0.4995 1.0000 0.7478)T, c5= 11.04981z(6)(0.5001 1.0000 0.7506)T, c6=10.9859z(7)(0.5000 1.0000 0.7498)T, c7= 11.0040z(8)(0.5000 1.0000 0.7500)T, c8=10.9989z(9)(0.5000 1.0000 0.7500)T, c9= 11.0003z(10)(0.5000 1.0000 0.7500)T, c10= 10.9999z(11)(0.5000 1.0000 0.7500)T, c11=11.0000

T(0.5000 1.0000 0.7500)强特征值为11，特征向量为。

4.

解：y=[1,1,1]';z=y;d=0;

A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1]; for k=1:100 AA=A-6*eye(3); y=AA\\z;

[c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end z=y/c;

if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end d=6+1/c

z(1)z(2)z(3)z(4)z(5)z(6)z(7)z(8)z(9)(1.0000 0.4000 0.1000)T, c1 = 1.1111(1.0000 0.5714 0.2857)T, c2 =0.7000( 1.0000 0.5066 0.2303 )T, c3= 0.8042(1.0000 0.5286 0.2457)T, c4= 0.7675(1.0000 0.5210 0.2411)T, c5= 0.7794(1.0000 0.5236 0.2425)T, c6=0.7754(1.0000 0.5227 0.2421)T, c7= 0.7767(1.0000 0.5230 0.2422)T, c8=0.7763(1.0000 0.5229 0.2422)T, c9= 0.7764

最接近6的特征值为6+1/c=7.2880，特征向量为(1.0000 0.5229 0.2422)。 5.

1TAQR,ARQQAQQAQ， 1证明：（1）

TA1QTATQQTAQA1,A1对称

T （2）A是上Hessenberg阵，用Givens变换对A作正交分解，即

显然A1也是上Hessenberg阵。

6. 解：（1）

R(n1,n)R(2,3)R(1,2)AR,QTR(n1,n)R(2,3)R(1,2)A1QTAQR(n1,n)R(2,3)R(1,2)ART(1,2)RT(n1,n)

z(1)z(2)z(3)z(4)z(5)z(6)(0.6667 1.0000)T, c1 = 3(0.6250 1.0000)T, c2 =2.6667( 0.6190 1.0000 )T, c3= 2.6250(0.6182 1.0000)T, c4= 2.6190(0.6181 1.0000)T, c5=2.6182 (0.6180 1.0000)T, c6=2.6181

T(0.6180 1.0000)A的强特征值为2.6181，特征向量为

（2）for i=1:10

[Q,R]=qr(A); A=R*Q end

-0.5000,A2.6154 0.0769,A2.6180 -0.0112A12.5000 23-0.5000 0.50000.0769 0.3846 -0.0112 0.3820-0.0002,A2.6180 0.0000A42.6180 0.0016,A52.6180 60.0016 0.3820 -0.0002 0.38200.0000 0.3820 A的特征值为2.6180，0.3820

A-I（3）

7. 解：（1）

1112311.50.55 2，特征值1,2T(0.50.55,1)特征向量

x(1)1,Hxy(1,0)T,uxy(1,1)T,T

1002 1 0uu0 1H2I2T,H001,HAH1 1 -11 0uu0 -1 2010

2.6000 0.4899 -0.0000A20.4899 2.4000 -0.0000,0 -0.0000 -0.0000  (2)

8.

解：（1）for k=1:20

p=A(3,3);

AA=A-p*eye(3);

[Q,R]=qr(AA); A=R*Q+p*eye(3) end

全部特征值为 4 , 1 , 3 (2)

4.0000 -0.7071 2.1213A1 0 1.0000 2.0000,0 0 3.0000 

3.6000 0.4899 0.00003.7263 0.0993 0.0000A10.4899 1.7333 0.7454,A30.0993 2.0057 0.0072,0 0.7454 0.66670 0.0072 0.2680  3.7317 0.0249 0.00003.7320 0.0062 0.0000A50.0249 2.0004 -0.0000,A7 0.0062 2.0000 -0.0000,0 0.0000 0.26790 0.0000 0.2679  3.7320 0.0016 0.00003.7321 0.0004 0.0000A90.0016 2.0000 -0.0000,A110.0004 2.0000 -0.0000,0 0 0.26790 0 0.2679  3.7321 0.0001 0.00003.7321 -0.0000 -0.0000A130.0001 2.0000 -0.0000,A14-0.0000 2.0000 -0.0000,0 0 0.26790 0 0.2679  

全部特征值为 3.7321, 2.0, 0.2679

9.

(1)(1)(1)Axx,Hxke1 1解：（1）构造Householder阵H使HAx(1)1Hx(1)1ke1,

HAH(Hx(1))HAH(ke1)1ke1,HAHe11e1,

101HAH00即HAH的第一列为,

（2）

,A1

x(1)5,Hxy(5,0)T,uxy(25,1)T,A的第二个特征值2为 -3。

10. 解：（1）

uuT0.8944 0.4472HI2T,HAH4.0000 1.0000 0.4472 -0.8944 0.0000 -3.0000 uu5.3465 0.0040 0.00005.3465 0.0010 0.0000A10.0040 2.7223 0.0000,A30.0010 2.7222 0.0000,0 0.0000 -0.06870 0.0000 -0.0687  5.3465 0.0003 0.00005.3465 0.0001 0.0000A50.0003 2.7222 0.0000,A70.0001 2.7222 0.0000,0 0.0000 -0.06870 0.0000 -0.0687  5.3465 0.0000 -0.0000A8 0.0000 2.7222 -0.0000,0 0.0000 -0.0687 全部特征值为 5.3465, 2.722, -0.0687 （2）

-1.3765 -0.3244-0.5141 -0.01125.0000 5.9091 A1 -1.3765 3.8421 0.6699,A3 -0.5141 3.0899 0.0454,1.15791.0010 -0.3244 0.6699  -0.0112 0.0454 -0.1323 -0.0003-0.0331 -0.00005.9942  5.9996 A5 -0.1323 3.0058 0.0048,A7 -0.0331 3.0004 0.0005,1.00001.0000 -0.0003 0.0048  -0.0000 0.0005 -0.0083 -0.0000-0.0021 -0.00006.0000 6.0000 A9 -0.0083 3.0000 0.0001,A11 -0.0021 3.0000 0.0000,1.00001.0000 -0.0000 0.0001  -0.0000 0.0000 -0.0005 -0.0000-0.0001 -0.00006.0000 6.0000 A13 -0.0005 3.0000 0.0000,A15 -0.0001 3.0000 0.00001.00001.0000 -0.0000 0.0000  -0.0000 0.0000 -0.0001 0.0000-0.0000 -0.00006.0000 6.0000 A16 -0.0001 3.0000 -0.0000,A17-0.0000 3.0000 0.00001.00001.00000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 

全部特征值为 6, 3, 1

习题九

1. （1）欧拉法：

， ， ，

改进的欧拉法：

2. （1）

， ， ，

， ， ，

3. 0.5000,1.1420,2.5011,7.2450

4. （1） ，2； （2） ，3；

（3）

，4； （4） ，4

5. 解: 直接将Eulerr法应用于本题，得到

由于

，直接代入计算，得到

6. 解：用改进Euler法求解公式，得

计算结果见下表

用梯形法求解公式，得

解得

精确解为

7. 证明 根据局部截断误差定义，得

将右端Taylor展开，得

故方法是二阶的，且局部截断误差主项是上式右端含h3的项。 8. 解 直接用四阶R－K方法

其中

计算结果如表所示：

9. 解 因f'(y)=-100，故由绝对稳定区间要求

(1)用Euler法解时，

(2)用梯形法解时，绝对稳定区间为代，对h仍无限制。

，由因f对y是线性的，故不用迭

(3)用四阶R-K方法时，

10. 解：用四阶显式Adams公式先要算出

阶R-K方法计算。由

，而

，得

，其余3点可用四

由

计算得

再由四步四阶Adams显式方法得

11. 解 本题仍利用局部截断误差的Taylor展开，

要确定参数，可令

解得

而方法得局部截断

故所求方法

是二阶方法，局部截断误差主项为