第一章：利息理论基础
第一节：利息的度量 一、利息的定义
利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的缺失。 二、利息的度量
利息能够按照不同的标准来度量，要紧的度量方式有 1、 按照计息时刻划分： 期末计息：利率
期初计息：贴现率
2、 按照积存方式划分： （1）线性积存： 单利计息
单贴现计息
（2）指数积存： 复利计息
复贴现计息
（3）单复利/贴现计息之间的有关关系 Ø
单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。 单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。
时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积存值。因此长期业务一样复利计息。 时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积存值。因此短期业务一样单利计息。 3、按照利息转换频率划分：
（1）一年转换一次：实质利率 （实质贴现率 ）
（2）一年转换 次：名义利率 （名义贴现率 ）
（3）连续计息（一年转换无穷次）：利息效力
专门，恒定利息效力场合有
三、变利息 1、 什么是变利息 2、 常见的变利息情形 （1）连续变化场合
（2）离散变化场合
第二节：利息咨询题求解原则 一、利息咨询题求解四要素 1、 原始投资本金 2、投资时期的长度
3、利率及计息方式
4、本金在投资期末的积存值 二、利息咨询题求解的原则 1、本质
任何一个有关利息咨询题的求解本质差不多上对四要素知三求一的咨询题。 2、工具
现金流图：一维坐标图，记录资金按时刻顺序投入或抽出的示意图。 3、方法
建立现金流分析方程（求值方程） 4、原则
在任意时刻参照点，求值方程等号两边现时值相等。 第三节：年金
一、 年金的定义与分类
1、 年金的定义：按一定的时刻间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。 2、 年金的分类：
（1） 差不多年金 约束条件：等时刻间隔付款 付款频率与利息转换频率一致 每次付款金额恒定
（2） 一样年金
不满足差不多年金三个约束条件的年金即为一样年金。 二、差不多年金 1、 分类
（1）付款时刻不同：初付年金/延付年金 （2）付款期限不同：有限年金/永久年金 2、 差不多年金公式推导
3、 变利率年金咨询题
（1） 时期变利率（第 个时期利率为 ）
（2） 付款变利率（第 次付款的年金始终以利率 计息）
三、一样年金
1、分类
（1）支付频率不同于计息频率 （2）变额年金
2、支付频率不同于计息频率年金 （1）支付频率小于计息频率的年金分析 方法一：利率转换
方法二：年金的代数分析
（2）支付频率大于计息频率的年金分析 方法一：利率转换
方法二：年金的代数分析
（3） 连续年金
专门，在常数利息效力场合
3、变额年金
（1） 等差年金
初始投资P元，等差Q元的年金的一样公式：
现时值：
积存值：
专门地， 递增年金：P=Q=1
现时值：
积存值：
递减年金：P=n，Q=-1
现时值：
积存值：
（2） 等比年金（下一期年金值为前一期年金值的（ ）倍）
现时值：
积存值：
第四节：收益率 一、收益率的概念
1、贴现资金流与现金流淌表
2、收益率的定义：使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率。也称为“内返回率”
二、 收益率的唯独性判不
1、 由于收益率是高次方程的解，因此它的解专门可能不唯独。
2、 Descartes符号判不定理：收益率的最大重数小于等于资金流的符号改变次数。 3、 收益率唯独性判不定理二：整个投资期间未动用投资余额始终为正，收益率唯独。 三、再投资率 1、 本金的再投资率 2、 利息的再投资率 四、基金的利息度量 1、 币值加权方法
2、 时刻加权方法
第五节：分期偿还表和偿债基金 一、分期偿还和偿债基金的概念
1、 分期偿还：借款人按一定的周期用分期付款的方法偿还贷款，这种还贷方法称为分期偿还。 2、 偿债基金：借款人在贷款期末用一次的集中付款来偿还贷款人。利息则在此期间分期付款，并假设借款人周期性地付款给一个“基金”，该“基金”在贷款期末的积存值正好能够偿还贷款本金。 二、分期偿还表
时期 0 付款金额 - 支付利息 - 偿还本金 - 未偿还贷款余额 1 总计 1 1 1 0 三、偿债基金
时期 0 付款金额 - 支付利息 - 存入偿债基金 偿债基金积存值 未偿还贷款余额 - - 1 1 0 总计 对偿债基金而言，第 次付款的实际支付利息为：
第 次付款的实际偿还本金为：
第二章 生命表函数与生命表构造
第一节 生命表函数 一、生存函数
1、 定义：
2、 概率意义：新生儿能活到 的概率
3、 与分布函数的关系：
4、 与密度函数的关系：
二、剩余寿命
1、定义：差不多活到x岁的人（简记 ），还能连续存活的时刻，称为剩余寿命，记作T(x)。
2、剩余寿命的分布函数
5、 ： ，
它的概率意义为： 将在以后的 年内去世的概率，简记
3、剩余寿命的生存函数： ，
它的概率意义为： 能活过 岁的概率，简记
专门：
（1）
（2）
（3）
（4） ： 将在 岁与 岁之间去世的概率
4、 整值剩余寿命
（1）定义： 以后存活的完整年数，简记
（2）概率函数：
5、剩余寿命的期望与方差
（1）期望剩余寿命： 剩余寿命的期望值（均值），简记
（2）剩余寿命的方差：
6、整值剩余寿命的期望与方差
（1）期望整值剩余寿命： 整值剩余寿命的期望值（均值），简记
（2）整值剩余寿命的方差：
2
三、死亡效力
1、定义： 的人瞬时死亡率，记作
2、死亡效力与生存函数的关系
3、死亡效力与密度函数的关系
4、死亡效力表示剩余寿命的密度函数
记 为剩余寿命 的分布函数， 为 的密度函数，则
第二节 生命表的构造 一、有关寿命分布的参数模型 1、de Moivre模型（1729）
2、Gompertz模型（1825）
3、Makeham模型（1860）
4、Weibull模型（1939）
二、生命表的起源
1、参数模型的缺点
（1）至今为止找不到专门合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合成效不令人中意。
（2）使用这些参数模型估量以后的寿命状况会产生专门大的误差
（3）寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。 （4）在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。 2、生命表的起源
（1）生命表的定义
按照已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表. （2）生命表的进展历史
1662年,Jone Graunt,按照伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观看》。这是生命表的最早起源。
1693年，Edmund Halley,《按照Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估量》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。 （3）生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依靠总体分布假定（非参数方法） 三、生命表的构造 1、原理
在大数定理的基础上，用观看数据运算各年龄人群的生存概率。（用频数估量频率）
2、常用符号
（1）新生生命组个体数：
（2）年龄：
（3）极限年龄：
（4） 个新生生命能生存到年龄 的期望个数：
（5） 个新生生命中在年龄 与 之间死亡的期望个数：
专门，当 时，记作
（6） 个新生生命在年龄 与 区间共存活年数：
（7） 个新生生命中能活到年龄 的个体的剩余寿命总数：
四、选择与终极生命表 1、选择-终极生命构造的缘故
（1）需要构造选择生命表的缘故：刚刚同意体检的新成员的健康状况会优于专门早往常同意体检的老成员。 （2）需要构造终极生命表的缘故：选择效力会随时刻而逐步消逝
2、选择-终极生命表的使用 第三节 有关分数年龄的假设 一、使用背景
生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,因此我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定， 估量分数年龄的生存状况 二、差不多原理 插值法 三、常用假定
1、平均分布（Uniform Distribution）假定:(线形插值)
2、恒定死亡效力（Constant Force）假定（几何插值）
3、Balducci假定（调和插值）
四、三个假定下的生命表函数
函数 平均分布假定 恒定死亡效力假定 Balducci假定
第三章 人寿保险趸缴纯保费的厘定
第一节 人寿保险趸缴纯保费厘定的原理 一、 人寿保险简介 1、什么是人寿保险
（1） 狭义的人寿保险是以被保险人在保证期是否死亡作为保险标的的一种保险。 （2） 广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。它包括以保证期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保证期内被保险人一辈子存为标底的生存保险和两全保险。 2、人寿保险的分类
按照不同的标准，人寿保险有不同的分类：
（1） 以被保险人的受益金额是否恒定进行划分，可分为：定额受益保险，变额受益保险。 （2） 以保证期是否有限进行划分，可分为：定期寿险和终身寿险。
（3） 以保单签约日和保证期是否同时进行划分，可分为：非延期保险和延期保险。 （4） 以保证标的进行划分，可分为：人寿保险（狭义）、生存保险和两全保险。 3、人寿保险的性质
（1） 保证的长期性：寿险的保证期通常比较长。这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为不容忽视的因素。因而，寿险产品纯保费的厘定通常要考虑利率的阻碍。
（2） 保险赔付金额和赔付时刻的不确定性：人寿保险的赔付金额和赔付时刻依靠于被保险人的生命状况。以狭义的定期变额人寿保险为例，如果被保险人在保证期内没有死亡，到期赔付金额为零；如果被保险人在保证期内死亡，保险公司将在被保险人死亡时给付与死亡时刻有关的某个数额的赔偿金。被保险人的死亡时刻是一个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依靠于被保险人剩余寿命分布。
（3） 被保证人群的大数性：对单个被保险人而言，他会在什么时刻死亡是不可估量的。但对大量的被保险人构成的一个大数群体而言，他们的剩余寿命分布是有统计规律的。这就意味着，保险公司能够依靠概率统计的原理运算出平均赔付并可推测今后的风险。 二、 人寿保险趸缴纯保费厘定的原理 1、假定
传统的人寿保险产品的趸缴纯保费是在如下假定下厘定的：
假定一：同性不、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命独立同分布。 假定二：被保险人的剩余寿命分布能够用体会生命表进行拟合。 假定三：保险公司能够推测今后的投资受益（即预定利率）。 2、原理
保险公司在上面三个假定条件下，按照净均衡的原则来厘定趸缴纯保费的数额。
所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好等于今后的保险赔付金的期望现时值。它的实质是在统计意义上的收支平稳。是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值。 而趸缴纯保费是指在保单生效日一次性支付今后保险赔付金的期望现时值。 记
：保单生效到赔付的时刻
：从赔付时刻回溯至保单生效时的利息贴现，称为贴现函数。
：赔付时刻赔付的金额，或者讲是被保险人的受益金额，称为受益函数。
：受益赔付额回溯到保单生效时的现时值，称为现时随机变量，它是一个依靠于赔付时刻、赔付金额和贴现函数的随机变量，简记为
，有
按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于 。
第二节 死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定 一、 死亡即刻赔付的含义
1、 死亡即刻陪付确实是指如果被保险人在保证期内发生保险责任范畴内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生之后，赶忙给予保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采纳的理赔方式。
2、 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，因此死亡即刻陪付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。 二、 要紧险种死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定 1、
年定期寿险
年内发生的保险责任范畴内的死亡给付保险金的险种，又
（1）定义：保险人只对被保险人在投保后的 称为
年死亡保险。
（2）假定： 的人投保保额为1单位元数的 年定期寿险
（3）差不多函数关系
（4） 年定期寿险死亡即刻陪付趸缴纯保费（ ）的厘定
（5）现值随机变量的方差
记
则
2、终身寿险
（1）定义：保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范畴内的死亡均给付保险金的险种。
（2）假定： 的人投保保额为1单位元数的终身寿险
（3）差不多函数关系
（4）终身寿险死亡即刻赔付趸缴纯保费（
）的厘定
（5）现值随机变量的方差
记
则
3、延期
年的终身寿险
年后发生的保险责任范畴内的死亡给付保险金的险种。
（1） 定义：保险人只对被保险人在投保
（2）假定： 的人投保保额为1单位元数的延期 年的终身寿险
（3）差不多函数关系
（4）延期 年的终身寿险死亡即刻陪付趸缴纯保费（ ）的厘定
（5）现值随机变量的方差
记
则
4、 年定期生存险
年期满时，保险人在第
年末支付保险金的险种。
（1）定义：被保险人投保后生存至
（2）假定： 的人投保保额为1单位元数的 年定期生存险
（3）差不多函数关系
（4） 年定期生存险趸缴纯保费（ ）的厘定
（5）现值随机变量的方差
5、
年定期两全险
年期内发生保险责任范畴内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果
年末支付保险金的保险。因此
年定期两全险实际上等
（1）定义：被保险人投保后如果在 被保险人一辈子存至 价于
年生存保险加上
年期满，保险人在第
年定期寿险的组合。
（2）假定： 的人投保保额为1单位元数的 年定期两全险
（3）差不多函数关系
（4） 记
年定期两全险死亡即刻赔付趸缴纯保费（
）的厘定
年定期寿险现值随机变量为 量为
，已知
， 年定期生存险现值随机变量为 ， 年定期两全险现值随机变
则有
即
（5）现值随机变量的方差 因为
因此
又因为
因此
年定期两全保险现值随机变量的方差等价于
6、延期
年的
年定期两全险
年的死亡不获赔偿，从第
年的
年开始为期
年的定期两全险。
（1）定义：被保险人在投保后的前 明显它相当于延期
年的
年定期寿险和延期 年定期生存险的组合
（2）假定： 的人投保保额为1单位元数的延期 年的 年定期两全险
（3）差不多函数关系
（4）延期 记
年的 年定期两全险死亡即刻赔付趸缴纯保费（ ）的厘定
延期 延期
年的 年的
年定期寿险现值随机变量为 年定期两全险现值随机变量为
，延期 ，有
年的 年定期生存险现值随机变量为 ，
即
从延期
年的定期两全保险的定义还能够直截了当推出它的趸缴纯保费等于
（5）现值随机变量的方差 因为
且
因此延期
年的
年定期两全保险现值随机变量的方差等价于
7、递增终身寿险
（1）定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种专门情形。假定受益金额为剩余寿命的递增线性函数。
（2）假定： 的人投保初始保额为1单位元数的递增终身寿险，
如果保险赔偿金一年递增一次，即受益函数为： 为
，记这种递增终身寿险趸缴纯保费
如果保险赔偿金一年递增 费为
次，即受益函数为 ，记这种递增终身寿险趸缴纯保
如果保险赔偿金一年递增无穷次（连续递增），即受益函数为 纯保费为
，记这种递增终身寿险趸缴
（3） 差不多函数关系
的现值随机变量为
的现值随机变量为
的现值随机变量为
（4） 递增终身人寿保险死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定
的厘定
的厘定
的厘定
8、递减
年定期寿险
（1）定义：递减定期寿险是变额受益保险的一种专门情形。假定受益金额为剩余寿命的递减线性函数。
（2）假定： 的人投保初始保额为1单位元数的递减定期寿险，
如果保险赔偿金一年递减一次，即受益函数为： 费为
，记这种递减定期寿险趸缴纯保
如果保险赔偿金一年递减 保费为
次，即受益函数为 ，记这种递减定期寿险趸缴纯
如果保险赔偿金一年递减无穷次（连续递增），即受益函数为 趸缴纯保费为 （3）差不多函数关系
，记这种减定期寿险
的现值随机变量为
的现值随机变量为
的现值随机变量为
（4）递减定期寿险死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定
的厘定
的厘定
的厘定
第三节 死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定 一、死亡年末赔付的含义
1、 死亡年末陪付是指如果被保险人在保证期内发生保险责任范畴内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。
2、由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末，因此死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的整值剩余寿命加一。这正好能够使用以整值年龄为刻度的生命表所提供的生命表函数。因此死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定净净净趸缴保费时通常先假定的理赔方式。
二、要紧险种死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定 1、
年定期寿险
（1）差不多函数关系 记
为被保险人整值剩余寿命，则
（2） 年定期寿险死亡年末陪付趸缴纯保费（ ）的厘定
等式两边同乘以 ，得
这一等式显示了保单发行时 间的平稳关系。
（3）现值随机变量的方差
个 岁的被保险人的净趸缴保费总和与按死亡预期流出的资金量现时值之
记
则
（4）比较
明显，和死亡即刻赔付情形下趸缴纯保费的运算模型相比，这两个精算模型的构造思想、运算步骤都一样，唯独不同的确实是一个连续（ 望是求累加和得到（ 2、其它险种场合
明显，其它险种场合的情形和定期寿险场合一样。我们容易得到如下结果：
险种 终身寿险 延期 年终身寿险 净趸缴保费 ）。
），一个离散（
）；一个的期望是求积分得到（
），一个的期
年两全保险 延期 年 年两全保险 递增终身寿险（一年递增一次） 递减 年定期寿险（一年递减一次） 三、 死亡即刻赔付与死亡年末赔付的关系（剩余寿命在分数时期平均分布假定下）
以终身寿险为例，有剩余寿命等于整值剩余寿命加死亡之年分数生存寿命：
则
同理能够验证，在如下两个条件：
（1）
（2） 则有
只依靠于剩余寿命的整数部分，即
换言之，满足如上两个条件，死亡即刻赔付即为死亡年末赔付的 第四节 递归方程 公式一：
倍。
明白得：
的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于
。
在第一年死亡的情形下1单位的赔付额，
或生存满一年的情形下净趸缴保费 公式二：
明白得： 个 岁的被保险人所缴的趸缴保费之和通过一年的积存，当年年末可为所有的被保险人提供
，还能够为所有在当年去世的被保险人提供额外的
。
次年的净趸缴保费 公式三：
明白得：年龄为 的被保险人在活到 的一年利息减去提供一年的保险成本。 公式四：
岁时的净趸缴保费与起初 岁时的净趸缴保费之差等于保费
明白得：
的趸缴纯保费等于其以后所有年份的保险成本的现时值之和。
第五节 运算基数 一、 什么是运算基数
定义：在保险精算学中，有些保费的运算过程往往专门繁琐，为简化运算步骤，引入一些换算函数，这些换算函数是一些按照假定条件事先算好的中间量，也称为运算基数，一样的保费运算都能够表示成这些运算基数的函数形式。 二、 常用运算基数
三、 用运算基数表示常见寿险的趸缴纯保费
第四章 生存年金
第一节 生存年金简介 一、 生存年金的定义和分类 1、生存年金的定义：
以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月）支付一次保险金的保险类型。 2、生存年金的分类
（1） 延付年金、初付年金 （2） 连续年金、离散年金 （3） 定期年金、终身年金 （4） 非延期年金、延期年金
（5） 被保险人支付的保费年金、保险人支付的保险赔付年金 3、生存年金与确定性年金的关系
（1） 确定性年金：支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）。 （2） 生存年金与确定性年金的联系：差不多上每隔一段时刻的系列付款
（3） 生存年金与确定性年金的区不：确定性年金的支付期数是确定的，而生存年金的支付期数是不确定的（以被保险人一辈子存为条件） 二、 生存年金的用途
1、 被保险人保费交付常使用生存年金的方式
2、 某些场合保险人理赔时支付的保险金采纳生存年金的方式，专门在：养老保险、残疾保险、抚恤保险、失业保险等场合。
第二节 与生存有关联的一次性支付 一、
年期生存保险定义
年末获得生存赔付的保险称为
年期生存保险。这
现龄 岁的人在投保 年后仍旧存活，能够在第 确实是我们在第三章讲到的纯生存保险。
单位元数的 值
年期生存保险的趸缴纯保费为 。在生存年金研究中适应用 表示该保险的精算现
二、有关公式及意义
明白得：
年龄 1 1 S 现时值 1 第三节 连续生存年金 一、 连续生存年金简介
1、定义：在保证时期内，以被保险人一辈子存为条件，连续支付年金的保险。 2、分类：
终身（永久）连续生存年金、定期连续生存年金 延期连续生存年金、非延期连续生存年金 3、连续生存年金精算现值估量方法
u 当期支付技巧：考虑以后连续支付的现时值之和
u 综合支付技巧：考虑年金在因死亡或到期而终止时的总值。 二、终身连续生存年金精算现值的估量 1、综合支付技巧
步骤一：运算到死亡发生时刻T为止的所有已支付的年金的现值之和
步骤二：运算那个年金现值关于时刻积分所得的年金期望值，即终身连续生存年金精算现值，记作：
2、当期支付技巧 步骤一：运算在时刻
所支付的当期年金的现值
步骤二：运算该当期年金现值按照可能支付的时刻积分，得到期望年金现值
3、有关公式
三、定期连续生存年金精算现值的估量 1、综合支付技巧
2、当期支付技巧
3、有关公式
四、延期连续生存年金精算现值的估量
1、延期 年终身生存年金：当
活到 岁之后，每年可获1单位元数的连续支付的延期年金，
其精算现值记作
也等价于
2、延期 年 年定期生存年金：当 在
岁与 岁之间存活时，每年可获1单位
元数的连续支付的延期年金，其精算现值记作
也等价于
第四节 离散生存年金 一、离散生存年金简介
1、定义：在保证时期内，以被保险人一辈子存为条件，每隔一段时刻支付一次年金的保险。 2、连续生存年金与离散生存年金的关系 （1）运算精算现值的理论基础完全相同 （2）不同的是求精算现值时：
连续场合使用积分运算→离散场合使用累加求和
连续场合没有初付、延付的咨询题，离散场合要分初付、延付分开考虑 3、分类：
初付生存年金、延付生存年金
终身离散生存年金、定期离散生存年金 延期离散生存年金、非延期离散生存年金 二、初付生存年金精算现值的估量
由于大多数寿险公司都采纳的是初付年金的方式收取保费，因此我们第一讨论初付年金的精算现值的估量。 1、初付终身生存年金 （1）当期支付技巧
（2）综合支付技巧
（3）有关公式
2、初付定期生存年金
（1） 期支付技巧
（2）综合支付技巧
（3）有关公式
3、延期初付生存年金
险种 延期 年终身生存年金 延期 年 年定期生存年金 精算现值 三、延付生存年金精算现值的估量 1、初付生存年金与延付生存年金的关系
2、常见险种的延付生存年金 险种 终身生存年金 年定期 生存年金 延付年金精算现时值 延期 年 终身生存年金 延期 年 年定期生存年金 第五节 年付 次的生存年金
一、年付 次的终身生存年金（初付）
1、差不多公式
2、UDD假定下的公式
3、近似公式
二、年付 次的定期生存年金（初付）
1、差不多公式
2、UDD假定下的公式
3、近似公式
三、年付 次的延期生存年金（初付）
险种 精算现值近似公式 延期 年 终身生存年金 延期 年 年定期生存年金 第六节 等额年金运算基数公式
险种 初付 延付 终身生存年金 定期生存年金 延期终身生存年金 延期定期生存年金 第五章 纯保费和毛保费
第一节 保费简介 一、 保费的构成
二、 保费的分类
1、 按保费缴纳的方式分： 一次性缴纳：趸缴（纯/毛）保费 以年金的方式缴纳：期缴（纯/毛）保费 2、 按保险的种类分： 只覆盖死亡的保险：纯寿险保费 只覆盖生存的保险：生存险保费
既覆盖死亡又覆盖生存的保险：两全险保费
在前两章中，我们差不多学过各险种场合趸缴纯保费的确定： （1）纯寿险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付）
终身寿险趸缴纯保费：
年延期终身寿险趸缴纯保费：
年定期寿险趸缴纯保费：
年延期 年定期寿险趸缴纯保费：
（2）生存险趸缴纯保费的确定（一次性生存受益期末支付，生存年金受益期初支付）
年定期生存险趸缴纯保费：
终身生存年金趸缴纯保费：
年延期终身生存年金趸缴纯保费：
年定期生存年金趸缴纯保费：
年延期 年定期生存年金趸缴纯保费：
（3）两全险趸缴纯保费的确定（死亡受益死亡即刻支付，生存受益保险期没支付）
年定期两全险趸缴纯保费：
第二节 净均衡保费
一、 净均衡保费与趸缴纯保费的关系
1、纯保费厘定原则——平稳原则：保险人的潜在亏损均值为零。
L=给付金现值-纯保费现值
E（L）=0
E（给付金现值）=E（纯保费现值）
2、净均衡保费与趸缴纯保费的关系
E（趸缴纯保费现值）=E（净均衡保费现值）
二、 各险种净均衡保费的厘定 1、 完全连续净均衡年保费的厘定
（1） 终身寿险完全连续净均衡年保费的厘定
Ø 假定条件： 死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起按年连续交付保费（给付连续，缴费也连续） Ø 厘定过程：
Ø
（2） 常见险种完全连续净均衡年保费总结
险种 终身人寿保险 完全连续净均衡年保费 年定期寿险 年两全保险 年缴费终身人寿保险 年缴费 年两全保险 年生存保险 年递延终身生存保险 2、 完全离散净均衡年保费的厘定
（1） 终身寿险完全离散净均衡年保费的厘定
Ø 假定条件： 死亡年末给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起每年年初交付保费（给付离散，缴费也离散） Ø 厘定过程：
Ø
（2） 常见险种完全离散净均衡年保费的厘定
险种 终身人寿保险 完全连续净均衡年保费 年定期寿险 年两全保险 年缴费终身人寿保险 年缴费 年两全保险 年生存保险 年递延终身生存保险 3、 半连续纯年保费的厘定
（1） 终身寿险半连续净均衡年保费的厘定
Ø 假定条件： 死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起每年年初交付保费（给付连续，缴费离散，这是实际中最常见的给付、缴费方式） Ø 厘定过程：
Ø
（2） 常见险种完全离散净均衡年保费的厘定
险种 终身人寿保险 年定期寿险 年两全保险 完全连续净均衡年保费 年缴费终身人寿保险 年缴费 年两全保险 年生存保险 年递延终身生存保险 4、每年缴纳数次保费的纯保费的厘定
Ø 终身寿险年缴 险人从保单生效起每年缴费 Ø 厘定过程：
次保险假定条件： 死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保
次，每期期初缴费（给付连续，缴费离散）
第三节 毛保费 一、 保险费用简介
1、定义：保险公司支出的除了保险责任范畴内的保险金给付外，其它的坚持保险公司正常运作的所有费用支出统称为经营费用。这些费用必须由保费和投资收益来补偿。
2、保险费用范畴：税金、许可证、保险产品生产费用、保单销售服务费用、合同成立后的坚持费、投资费用等。
3、保险机构营业费用的一种分类方案：
费用分类 （1） 分析 投资 （2） 购买、销售及服务成本 （1） 销售费用（含广告费及代理人佣金） 新契约费 （2） 风险分类（含体检费用） （3） 预备新保单及会计 （1） 保费收取及会计 坚持费 （2） 收益变更及受益选择权选择 （3） 与保单持有者联络 （1） 研究 （2） 精算与一样法律服务 营业费用 （3） 一般会计 （4） 税金、许可证等费用 （1） 理赔调查及辩护费 支付费用 （2） 受益支付费用 分类 保险 二、 毛保费的确定 1、毛保费的定义：
保险公司实际收取的保费为用于保险金给付的纯保费和用于各种经营费用开支的附加费用之和，即毛保费，简记为：G 2、毛保费厘定原则 差不多原则：精算等价原则
毛保费精算现值=纯保费精算现值+附加费用的精算现值
=各种给付精算现值+各种费用支出精算现值 三、 单位保单费用
1、 保单费用：在保险费用中，有一部分附加费用只与保单数目有关，与保险金额或保险费无关，这部分费用称为保单费用，如预备新保单、建立会计记录、邮寄保费通知的费用等。 2、 毛保费的分析 （1）毛保费可分为三部分：
第一部分：跟保险金额有关的费用，如承保费用等
第二部分：跟保费数额有关的费用。如代理人佣金、保险费税金等
第三部分：只与保单数目有关的费用（保单费用）。如预备新保单、建立会计记录、邮寄保费通知单等。
（2）毛保费构成分析
其中：
：保险金额为 的保单的毛保费。
：保险成本中与保险金额有关的部分，其中单位保险的纯保费是它的要紧部分。 ：每份保单平摊的费用，即单位保单费用。
：附加费用在毛保费中所占的百分比。
3、费率函数
（1）定义
（2）近似费率公式
如果
，近似总保费等于真实总保费。
如果 ，近似总保费高于真实总保费。
如果 ，近似总保费低于真实总保费。
（2）带状费率公式
按照保险面额不同，分成不同的“bands”（区间带）
如果 ，近似总保费等于真实总保费。
如果 ，近似总保费高于真实总保费。
如果 ，近似总保费低于真实总保费。
第六章 责任预备金
第一节 净责任预备金（受益责任预备金） 一、责任预备金的定义 1、责任预备金产生缘故
除了保单发行日以外，以保证期内任意某个时刻为参照点，以后收支的现时值都有可能不平稳。 2、净责任预备金定义：
保险公司在任一时刻对每个现存被保险人的未尽责任现时值，就称为净责任预备金。也确实是在该时刻每个现存的被保险人今后收益的现时值，因此也称为受益责任预备金。 它的实质是现存被保险人以后收益与以后缴费现时值之差 。
3、责任预备金的分类 （1）按覆盖责任分
净责任预备金（受益责任预备金）：覆盖被保险人今后的保险收益 费用责任预备金：覆盖保险公司今后的费用支出
修正责任预备金：对第一年的费用支出作修正，等价调剂各年责任预备金，以利于保险公司的利润平均溢出。
（2）按被保险人缴费、保险人赔付的方式分 完全连续责任预备金（死亡即刻赔付，连续缴费） 完全离散责任预备金（死亡年末赔付，生存期初缴费） 半连续责任预备金（死亡即刻赔付，生存期初缴费） 二、净责任预备金确定原理 以完全连续终身寿险为例
1、前瞻亏损（prospective loss）
其中：
2、净责任预备金的 确定
前瞻亏损的期望即该时刻的净责任预备金，记作 。
用这种原理确定责任预备金的方法称为前瞻方法。 前瞻亏损的方差
三、用前瞻法确定常见险种的责任预备金 1、终身寿险，终身缴费
2、
年定期寿险，
年缴费
3、
年两全险，
年缴费
4、 次缴费终身寿险
5、 次缴费 年定期寿险
6、 年延期， 年缴费的终身生存年金
四、净责任预备金的其它确定公式 1、保费差公式
（1）明白得：责任预备金等于剩余缴费期内保费差的精算现值。 （2）推导：（以完全连续终身寿险为例）
2、缴清保险公式
（1）明白得：责任预备金等于部分受益的精算现值。 （2）推导：（以完全连续
年定期两全保险为例）
3、后顾方法
（1）明白得：责任预备金是已付保费积存值与保险成本积存值（accumulated cost of insurance）之差。 （2）推导：
4、应用前瞻公式和后顾公式的原则
（1）在保证时刻超过缴费期的场合，使用前瞻法更为方便
（2）在尚未提供受益的递延期内，使用后顾法更为方便
5、其它公式
五、完全离散场合责任预备金的递推公式 1、责任预备金的含义：
讲明：责任预备金为以后的保险责任的现时值减去以后保费收入的现时值。
2、
讲明： 备金 险人提供
第年死亡受益， 为第年初缴付保费。则第 年为每个现存的被保险人预备的责任预
加上每个现存的被保险人缴付的保费 积存到年末正好能够为每个在这一年内死亡的被保
元责任预备金。
元的死亡赔付，并为在该年末存活的每位被保险人预备
3、
讲明： 称为风险净值，是指一旦这一年中有死亡发生，死亡受益超过责任预备金部分的数额。
该递推公式讲明每一位年初存活的被保险人所缴保费及年初所缴保费与年初责任预备金所产生的利息之和有两个用途：一是补偿年末责任预备金与年初责任预备金的差值；二是补偿该年死亡发生时而产生的风险净值。
六、半连续责任预备金的确定
按照死亡年末给付与死亡即刻给付之间的关系，按照半连续保费与完全离散保费之间的关系，半连续责任预备金都能够转换为完全离散责任预备金的函数。
以 次缴费 年定期寿险为例
其他险种场合能够同理推导。 七、一年缴费若干次责任预备金的确定
一年缴费若干次的责任预备金能够表示为一年缴费一次的完全离散责任预备金加上一个缺失保费的额外附加责任预备金。 以一年
次缴费的完全离散终身寿险为例
该责任预备金推导：
同理，一年
次缴费的完全离散
年两全保险的责任预备金为
讲明：“缺失保费”部分形成的额外责任预备金等于缴费期内每次缴纳 险为 比例为
）纯保费的纯寿险完全离散责任预备金
。
（终身寿险为
元（终身寿）的一部分，
八、分数期责任预备金的确定 UDD假定下，近似方法：
第二节 修正责任预备金 一、责任预备金产生缘故 1、费用责任预备金
（1）净保费责任预备金（受益责任预备金）覆盖的责任：保险人今后的净责任
（2）费用责任预备金覆盖的责任：由于保险业的专门性，第一年的费用远远高于以后各年的费用，因此分期缴付保费场合，保险人的费用责任预备金实际上一直是负的。
换言之，在保险费用这一方面是保险人先垫付了被保险人的费用，被保险人用今后的分期付款逐期偿还首年欠付费用。
2、修正责任预备金产生的缘故
如果不考虑费用责任预备金的因素，始终以净保费责任预备金为准运算保险公司的债务，会使保险公司保险初年的负担专门重，而且利润溢出各年变动专门大。
为了保险公司的利润溢出比较平滑，也同时兼顾被保险人的利益，有了修正责任预备金的概念。 二、修正责任预备金方法
1、修正责任预备金原理——阶梯保费制
原始等额净保费示图 修正后阶梯（净）保费
没有修正前是等额净保费： 。
修正后成为阶梯保费： 。 。
有
2、常用修正责任预备金方法 （1）完全初年修正方法
条件：第一年的修正净保费等于第一年的死亡受益现值：
则有：
（2）美国保险监督官标准
产生背景：FPT适用于低费率保单，如果是高费率保单，第一年冲销的费用就过多了。
如果是低保费保单： 采纳FPT调剂
如果是高保费保单： ，则
（3）加拿大修正制
加拿大保险法承诺有更大力度的修正。
条件： ，其中 为第一年费用按均衡保费衡量的额外补贴，有
其中：a＝150％净均衡保费，b＝新契约费，c＝仍旧提供的治理费用及保单持有人分红时在第二年及以后年中可收回费用的精算现值。
第七章 多元生命函数
第一节 多元生命函数简介
一、多元生命函数的定义：涉及多个生命剩余寿命的函数。 二、多元生命函数的作用 养老金给付场合
合伙人联保场合 遗产税的运算场合
三、多元剩余寿命的联合分布 1、 联合密度函数
2、 联合分布函数 3、 联合生存函数
4、 边际生存函数 第二节 多元生命状况 一、连生状况 1、 连生状况定义
（1）定义：当所有成员都活着时的状况，称为连生状况。当有一个成员死亡时，连生状况就终止了。简记连生状况为：
（2）连生状况剩余寿命的定义：
（3）连生状况剩余寿命的性
质：连生状况的剩余寿命的实质上确实是 2、 两个体连生状况的生命函数 （1）分布函数
个生命的最小次序统计量
（2）生存函数
专门：两个体剩余寿命独立场合
（3）密度函数
专门：两个体剩余寿命独立场合
（4）死亡效力函数
专门：两个体剩余寿命独立场合
（5）两个体至少有一个在第 年内死亡的概率
（6）连生状况整值剩余寿命为 的概率
（7）剩余寿命的期望
二、最后生存状况
1、 最后生存状况的定义
（1）定义：只要至少有一个成员活着时的状况，称为最后生存状况。当所有的成员都死亡时，最后生存状况就终止了。简记最后生存状况为：
（2）最后生存状况剩余寿命的定义：
（3）最后生存状况剩余寿命的性
质：最后生存状况的剩余寿命的实质上确实是 2、 多生命状况剩余寿命的关系
个生命的最大次序统计量
（1）
（2）
（3）
（4）
3、两个体最后生存状况的生命函数 （1）分布函数
等价公式
（2）生存函数
等价公式
（3）密度函数
等价公式
（4）死亡效力函数
（5）最后生存状况整值剩余寿命为 的概率
等价公式
（6）剩余寿命期望
4、联合生命状态剩余寿命协方差分析
第三节 联合生命模型 一、 简介
联合生命模型分为两类：Common Shock 模型和Copulas模型。
Common Shock 模型假定个体之间的剩余寿命随机变量相互独立的模型。这种模型假定有时与现实情形不符，但易于分析。
Copulas模型假定个体之间的剩余寿命随机变量不独立的模型。这种模型假定更符合实际情形，但不易于分析。
我们要紧研究简单的Common Shock 模型。 二、 Common Shock 模型
1、定义：如果有 满足
且有一个Common Shock 随机变量 ，它独立于 ，且服从指数生存函数
令
则
2、联合生命状况分析 记
则
（1）边际生存函数为
（2）连生状况剩余寿命生存函数为
（3）最后生存状况剩余寿命生存函数为
专门， 独立时，等价于 。
第四节 人寿保险与生存年金 一、联合生命状况趸缴纯保费的确定 1、 趸缴纯保费的确定原理
2、 联合多生命状况趸缴纯保费的确定 （1） 连生状况
（2） 最后生存状况
二、联合生命状况生存年金的确定 1、 生存年金确定原理
2、 联合生命状况生存年金的确定 （1）连生状况
（2）最后生存状况
三、 连生状况合最后死亡状况的关系
四、 继承年金
1、 继承年金的定义：在联合生命状态中，只有在其中一个生命（v）死亡之后，另一个生命（u）才能开始获得年金。这种年金叫做继承年金，简记为
。
2、 终身继承年金
3、 定期继承年金
第五节 在专门死亡律假定下求值 一、Gomperz 和Makeham假定 1、 Gomperz假定下
查找能替代连生状态的单个生命状态
，即
已知在Gomperz假定下有 ，则在两生命独立假定下有
由那个等式可求出 ，因此
2、 Makeham假定下
由于Makeham假定的死亡效力函数含有常数项，因此无法用单个生命状态替换连生状态，然而能够考虑用两个同年龄的连生状态
作替换，即
已知在Makeham假定下有 ，则在两生命独立假定下有
由那个等式可求出 ，因此
二、平均分布假定
在平均分布假定下，趸缴纯保费和生存年金具有单生命状态下近似的性质
第七章 多元生命函数
第一节 多元生命函数简介
一、多元生命函数的定义：涉及多个生命剩余寿命的函数。 二、多元生命函数的作用 养老金给付场合
合伙人联保场合 遗产税的运算场合
三、多元剩余寿命的联合分布 1、 联合密度函数
2、 联合分布函数 3、 联合生存函数
4、 边际生存函数 第二节 多元生命状况 一、连生状况 1、 连生状况定义
（1）定义：当所有成员都活着时的状况，称为连生状况。当有一个成员死亡时，连生状况就终止了。简记连生状况为：
（2）连生状况剩余寿命的定义：
（3）连生状况剩余寿命的性
质：连生状况的剩余寿命的实质上确实是 2、 两个体连生状况的生命函数 （1）分布函数
个生命的最小次序统计量
（2）生存函数
专门：两个体剩余寿命独立场合
（3）密度函数
专门：两个体剩余寿命独立场合
（4）死亡效力函数
专门：两个体剩余寿命独立场合
（5）两个体至少有一个在第 年内死亡的概率
（6）连生状况整值剩余寿命为 的概率
（7）剩余寿命的期望
二、最后生存状况
1、 最后生存状况的定义
（1）定义：只要至少有一个成员活着时的状况，称为最后生存状况。当所有的成员都死亡时，最后生存状况就终止了。简记最后生存状况为：
（2）最后生存状况剩余寿命的定义：
（3）最后生存状况剩余寿命的性
质：最后生存状况的剩余寿命的实质上确实是 2、 多生命状况剩余寿命的关系
个生命的最大次序统计量
（1）
（2）
（3）
（4）
3、两个体最后生存状况的生命函数 （1）分布函数
等价公式
（2）生存函数
等价公式
（3）密度函数
等价公式
（4）死亡效力函数
（5）最后生存状况整值剩余寿命为
的概率
等价公式
（6）剩余寿命期望
4、联合生命状态剩余寿命协方差分析
第三节 联合生命模型 一、 简介
联合生命模型分为两类：Common Shock 模型和Copulas模型。
Common Shock 模型假定个体之间的剩余寿命随机变量相互独立的模型。这种模型假定有时与现实情形不符，但易于分析。
Copulas模型假定个体之间的剩余寿命随机变量不独立的模型。这种模型假定更符合实际情形，但不易于分析。
我们要紧研究简单的Common Shock 模型。 二、 Common Shock 模型
1、定义：如果有 满足
且有一个Common Shock 随机变量 ，它独立于 ，且服从指数生存函数
令
则
2、联合生命状况分析 记
则
（1）边际生存函数为
（2）连生状况剩余寿命生存函数为
（3）最后生存状况剩余寿命生存函数为
专门， 独立时，等价于 。
第四节 人寿保险与生存年金 一、联合生命状况趸缴纯保费的确定
1、 趸缴纯保费的确定原理
2、 联合多生命状况趸缴纯保费的确定 （1） 连生状况
（2） 最后生存状况
二、联合生命状况生存年金的确定 1、 生存年金确定原理
2、 联合生命状况生存年金的确定 （1）连生状况
（2）最后生存状况
三、 连生状况合最后死亡状况的关系
四、 继承年金
1、 继承年金的定义：在联合生命状态中，只有在其中一个生命（v）死亡之后，另一个生命（u）才能开始获得年金。这种年金叫做继承年金，简记为
。
2、 终身继承年金
3、 定期继承年金
第五节 在专门死亡律假定下求值 一、Gomperz 和Makeham假定 1、 Gomperz假定下
查找能替代连生状态的单个生命状态
，即
已知在Gomperz假定下有 ，则在两生命独立假定下有
由那个等式可求出 ，因此
2、 Makeham假定下
由于Makeham假定的死亡效力函数含有常数项，因此无法用单个生命状态替换连生状态，然而能够考虑用两个同年龄的连生状态
作替换，即
已知在Makeham假定下有 ，则在两生命独立假定下有
由那个等式可求出 ，因此
二、平均分布假定
在平均分布假定下，趸缴纯保费和生存年金具有单生命状态下近似的性质
第八章 多重缺失模型
第一节 简介 一、 背景介绍
如果被保险人投保寿险且在缴费期间死亡，那就意味着他将获得保险赔付而且不再缴纳保险费了。就这人而言，保险人遭受到了缺失。在前面七章中我们差不多上讨论在以死亡为唯独缺失变量时，各种保险要素的确定。在实际中，除了死亡那个缺失变量，我们可能还会遇到其它的提早终止缴费的缺失变量，例如，寿险中，被保险人退保；劳动力打算中，雇员辞职、残疾或者退休等，都会对单一考虑死亡因素时的缴纳——赔付之间的平稳构成阻碍。多重缺失模型确实是在这种背景下产生的。 二、 多缺失模型的构造 1、两变量模型
多种缺失模型的实质确实是一个两变量模型。变量一是状况终止的时刻 险场合它能够表示为剩余寿命；变量二是状况终止的缘故 我们能够令
,表示死亡，
，表示退保。
，在寿
，这是一个离散随机变量，例如在寿险场合，
2、联合密度函数
3、边际分布函数
4、事件的概率
5、多重缺失函数
：由缘故 引起的，且缺失发生在时刻 之前的概率
：由缘故
引起的缺失发生的概率
：
的密度函数
：
的分布函数
：由各种缘故引起的缺失发生在时刻 之前的概率
：缺失可不能发生在时刻 之前的概率
： 时刻由缘故 引起的缺失效力
： 时刻由各种缘故引起的总缺失效力
：给定缺失时刻 ， 的条件概率
第二节 残存组的确定 一、 随机残存组
1、 随机残存组的定义：考察一组 由下列联合概率密度函数确定：
岁的 个生命，每一个生命的终止（缺失）时刻与缘故的分布
2、 赶忙残存组函数
：在年龄 与 之间因缘故 而离开的成员的期望个数
：在年龄 与 之间因各种缘故而总共离开的成员的期望个数
：原先 个 岁的成员在 岁时的期望残存个数
二、 决定性残存组
1、确定性残存组的定义：总的缺失效力能够看作总的缺失率，而不作为条件密度函数。则一组 岁成员随着年龄的增加按决定性缺失效力演变
，则原先
个岁成员在
个
岁时的残存数为
2、确定性残存组函数
：在年龄 与 之间因各种缘故而离开的成员数
：现年 岁，今后因为缘故 而终结的个体数
：因缘故 引起的缺失效力
：因各种缘故引起的总缺失效力
第三章 多重缺失表的构造 一、 单重缺失函数 1、 绝对缺失率
（1） 单重缺失函数定义
（2） 绝对缺失函数定义
称为绝对缺失率，是指缘故 在 的决定过程中不与其它缺失缘故竞争。它也称为净缺失率
（net probabilities of decrement）或独立缺失率(independent rate of decrement)。 2、 差不多关系
由此能够推导出
3、 常数缺失效力假定
（1） 假定：每一年内死亡效力恒定，即
等价推出
（2） 关系时式
4、 多重缺失平均分布假定
（1） 假定： 每种缺失在每一年内平均分布
等价推出
（2） 关系式
与常数缺失效力假定情形下的关系式相同。
二、 多重缺失表的构造
1、 由单重缺失函数推导多重缺失函数
2、 多重缺失表构造 示例
年龄 65 66 0.02 0.025 单重缺失表 …… …… …… 0.04 0.06 0.01941 0.02401 多重缺失表 …… …… …… 0.03921 0.05866 第九章 寿险负债评估与利源分析
第一节 现金价值和不丧失权益
带有储蓄因素的保单，例如两全寿险和终身寿险保单会逐年积存起一笔理论上属于保单所有人所有，由保险公司治理的资产，这确实是现金价值。现金价值的显现使寿险保单具有了一定的理财功能，包括在保单保持有效状态下的保单抵押贷款和发生退保时的退保金和各种保险选择权。 保单抵押贷款
在保单保持原有效力的情形下，保单抵押贷款能够为保单所有人提供急需的现金支付手段。保单所有人以保单为抵押，能够向保险公司申请保单贷款，贷款总额不得超过当时的保单现金价值，贷款利率由保单条款规定。保单贷款利率是一个看似简单，事实上复杂的咨询题，早期的保单往往采纳固定保单贷款利率，那个利率比市场上的主导贷款利率一样要低一些，而且一经固定，不得调整。保险公司实际上处于不利的地位，即如果市场主导贷款利率远远超过固定的保单贷款利率的话，保单所有人就能够申请保单贷款，然后把所得到的贷款进行投资，猎取其中的利差。那个咨询题在高利率环境下会对保险公司的现金流造成严峻阻碍，例如美国寿险业在1980年代高利率环境下就经历过现金流困难。因此现在的保单贷款利率一样采纳浮动制，即稍低于贷款发生时的市场主导贷款利率，从而排除了保单所有人的套利动机。
如果保单所有人在发生索赔之前还本付息，那么保单贷款对保单的有效性实际上可不能造成阻碍。比较复杂的情形是在还清保单贷款之前就发生了索赔（例如被保险人去世），一样的处理方法是从给付中扣除尚未偿还的保单贷款余额。
明白得保单抵押贷款的关键在于保单所有人之因此能够得到贷款，是因为他以一份有价值的凭证（保单）作为抵押，而不是简单地明白得为自己借自己的钞票。 现金价值和退保
退保是保单组生命周期中的重要现象，纯保证型产品的退保可不能引起复杂咨询题，退保之后保单失效。带有储蓄因素的保单在发生退保的时候会产生一个咨询题：保险人是否应该退还储蓄部分？从常理来看，投保人中途退保，不论理由如何，都应该属于某种违约行为，此外考虑到新保单的费用咨询题，早期退保可能造成保险人无法补偿早期费用，进而损害没有退保的保单的利益，因此退保行为应该受到一定惩处。寿险保单的保费并不是保险人的应收账款，而投保人的退保行为是单方面的权益，他要承担的后果仅仅是保单失效而不是更多的惩处。退保的保单所有人能够得到的现金价值一样称为不丧失权益(non-forfeiture benefits)，领取不丧失权益的具体方法是保险选择权(insurance options)。
在责任预备金的运算中，我们得到的实际上是一份有效保单由保险人治理的资产。这份资产在退保时的名称是现金价值，因此责任预备金和现金价值的具体定义和运算方法有所区不。
从理论上能够证明，在完全连续的情形下，如果退还给退保保单的现金价值等于退保时的责任预备金，则退保行为可不能对连续缴费的有效保单产生不利阻碍。那个结论是在比较简单的条件下形成的，它提示我们：能够按照责任预备金确定合理的退保金水平。 退保金的运算
常见的做法是按照责任预备金的运算方法，可能选用不同的精算基础来运算出每个保单年度末的退保金，运算出来的结果会作为保单的一部分供投保人或者保单所有人参考。我们明白许多产品的保单组中由于退保而退出保单组的保单数量往往会超过总保单数的一半。为了适当地惩处退保行为，常见的做法是从运算得到的现金价值中扣除一部分，这部分被称为退保手续费。至于剩下的退保金，理论上是属于保单所有人的，他能够选择领取现金，也能够从以下几种保险选择权中选择一种作为替代。
现金价值的运算。现金价值的运算方法和运算责任预备金的平准净保费方法是一致的，只是使用的精算假设可能有所区不。 减额交清
在这种选择权下，退保人不领取现金，保单在退保时刻的现金价值作为趸交净保费，用来购买一份和原保单其他条件相同，但保额会有减少的保单，因此这种形式的保险选择权称为减额交清。这种选择关于保险公司和保单所有人来讲都比较简单，从保单所有人来看，能够坚持原有保单，以后不用再交保费，只是保单提供的保证水平会有相应下降，关于保险公司来讲，这种操作不涉及现金流淌，只需要修改一下保单的有关信息
，
展期定期
在这种选择下，保单在退保时刻的现金价值作为趸交净保费，用来购买一份新的保单，新保单是定期险，保额和原有保单相同，但保险期间需要重新运算。关于单位保额的情形，运算公式为：
其中 是待定的未知数，实务中由线性插值方法决定。
大于原有保单剩余到期
如果原有保单为两全保险，其现金价值比较高，可能会显现展期保险的保险期间 时刻的情形，现在规定交清定期保险的保险期间为
。而剩余的现金价值用来购买保额为
的纯生存保险。
如果保额为 的保单在退保时还欠有余额为 的保单贷款，则展期定期的运算公式要修改为
自动垫交保费
在保费到期日之后依旧没有交纳保费经常显现的情形，造成这种现象的缘故可能是保单所有人期望退保，也可能是疏忽。寿险保单一样都有保费宽限期条款，保费宽限期从保保费到期日起算，一样为3个月，即如果在这三个月之内交纳保费，其成效和在保费到期日交费是一样的。如果过了保费宽限期仍旧没有交保费，就发生了保费拖欠。自动垫交保费条款能够动用保单的现金价值来垫交保费，从而坚持保单的效力。动用自动垫交保费条款之后，保费贷款余额是逐年上升，而现金价值金额的增长跟不上保费贷款余额的增长，到所有现金价值都消耗完之后，该保单失效。保费贷款期的最长时刻 由以下方程决定：
其中， 是毛保费（注意，这是和其他两个选择权不同的地点）， 是单位保额的保单在
时刻的现金价值， 是保单贷款利率。
在实务中， 往往取同时满足以下两个条件的整数
剩余部分 用来购买展期定期保险。
实际工作中使用的是离散型假设下的运算方法，递推公式明白得责任预备金的差不多工具。递推公式在形式上符合保险公司逐年核算的操作适应，和保险公司会计报表也比较容易结合在一起。 第二节 寿险负债评估 如何明白得责任预备金？
责任预备金是寿险公司最为重要的负债，一样占所有负债的80％到90％，和总资产的比例也可能超过80％。债权给出了债权人对债务人的资产的索取权，具体到寿险公司，能够这么讲：寿险公司治理和积存起来的资产是一块蛋糕，而某个时刻的责任预备金讲明的是在那个时刻有效保单应该分到的蛋糕大小。对个不保单来讲，确实是评估的责任预备金，如果用保单组的概念来描述，确实是保单组的责任预备金总和。 评估责任预备金的要紧目的是保证保单所有人的利益，监管机构原则上应该代表保单所有人的利益，因此会要求保险公司持有和责任预备金相当的资产以保证偿付能力。责任预备金是在清算假设下进行的评估，要明白得这句话，能够考虑下述咨询题：如果在那个时刻保险公司破产，那么有效保单应该得到多少利益？那个咨询题没有唯独正确的答案，责任预备金给出的是比较合理的答案。责任预备金的过去法运算公式能够对此作出合明白得释，从公式能够看到，责任预备金的评估结果依靠于所使用的评估方法和评估假设，为了保证合理得到合理的评估结果，监管最严格的国家，监管机构会规定适用的预备金评估方法和评估假设并要求保险公司遵照执行，在监管较松的国家，会规定确定评估假设的程序和方法，承诺精算师在一定范畴内选择他自己认为合适的评估假设。
保单组模型能够关心我们更好地明白得责任预备金的概念。因为要运算的是对应于给付的责任预备金，因此会忽略实务中发生的费用和退保金，仅仅考虑投资收益和死亡以及满期给付的阻碍。
记 数，其中
为该保单组积存的保险基金，
是最初的保单数，
是在第
为各个保单年度末的有效保单
个保单年度末给付死亡保险金之后的有效保单数（这些保
单都会得到等于保额的满期给付）。在0时刻，我们并不明白以后的营业过程，但在0时刻有必要评估以后各个保单年度末的保险基金目标值
，这组目标值的运算基础是对以后营业过程的估
量（各年度的死亡数和投资收益率），用它们能够衡量保险公司的资产充足程度。即，如果保险公司在某个时刻为那个保单组所积存的资产总额低于各个时刻的保险基金目标值，则保险公司在那个保单组上所获得的利润为负，同时保险公司应该保证能够在当时或者以后填补那个缺口。
精算假设是对以后营业过程的假设，在那个地点假设包括两类：各个保单年度的死亡索赔数，各个保单年度上的年有效收益率。递推公式是明白得责任预备金的有效工具，关于描述保险基金的演变过程也是如此。我们有
给定 和 ，就能够通过递推公式得到各年度末
的保险基金金额。在责任预备金评估中，往往会假设各年的投资收益率相等为 。如果实际发生的营业过程和精算假设一致，则每年年末的保险基金额就和假设下的运算结果一致。我们在前面学过的责任预备金公式是按照个不保单的概率模型推导出来的，在数值上，它们等于
。
保险基金属于保单组，因此能够视为保单组的资产，但它由保险公司来治理并保证其保值增值。如果保险公司的投资收益率不足，或实际发生的死亡索赔数超过假设，则实际形成的保险基金可能低于按照精算假设运算出来的预定水平，这种差异对保险公司不利，专门有可能表现为保险公司的年度报告利润亏损。在0时刻，按照评估假设能够运算出在每个保单年度末仍旧有效的保单的责任预备金
，对所有有效保单
加总，就能够得到保单年度末的责任预备金总额，能够认为那个总额是在发行保单的0时刻所期望达到的保险基金水平。监管机构也是按照那个水平（责任预备金的评估结果）来判定保险公司持有的资产能否应对以后给付的要求。
实务中的两种责任预备金运算任务
1、 产品销售前。在产品设计和备案时期，必须运算该产品的责任预备金。那个时期所形成的责任预备金运算结果是产品讲明的必定组成部分，要紧任务是确定合理的评估假设，不需要使用大型数据库，个人利用电子表格或者编程就能够完成。
2、 产品销售后。要定期评估财务报表和监管报表中的责任预备金。这项任务要求汇总所有有效保单的责任预备金，考虑到许多寿险公司的有效保单超过了100万份，而各份保单的评估日和保单生效日又专门少重合，因此要处理的数据量专门大。如果保险公司的信息系统不够完善，则依靠个不人的力量是无法完成这种评估任务的。
分数年份上的责任预备金的运算公式
那个公式是责任预备金评估实务中使用最多的公式。缘故如下：有效保单的保单生效日各不相同，差不多每天都有，然而预备金评估是一刀切进行的，即评估日是相同的。我们学习的公式大部分差不多上评估日和保单生效日恰好重合的情形，在实务中更常见的情形却是两者不同的情形。那个时候就要利用分数年份上的责任预备金运算公式来评估各个保单的责任预备金。 责任预备金实务中要求完成的任务略加简化，能够表述为以下形式： 保险打算：20年期两全寿险 保额：1000
交费方式：年交直至被保险人去世或满期
现金流假设：完全离散（即年初交保费，年末给付死亡保险金或满期给付） 投保年龄范畴：18岁到50岁
运算目标：运算所有可能投保年龄在各个保险年度末的责任预备金 常见的格式如下：
表头的讲明至少包括如下内容：
投保人30岁，男性，20年期两全寿险，保额1000，20年交清，完全离散假设，采纳的评估利率3.5%，评估生命表用CL931（即非养老金业务男表）
保单年度末 第一保单年度末 第二保单年度末 第三保单年度末 第二十保单年度末 责任预备金的运算步骤：
1. 确定评估方法
常见的评估方法分为三类：平准净保费法、修正制方法和毛保费方法。我国目前使用的要紧是平准净保费方法和修正制方法，这两种方法都仅仅考虑死亡率和评估利率。 2. 确定评估假设
评估假设是为了完成责任预备金的评估工作而确定的精算假设，在给付预备金的运算中用到的假设是评估利率和评估死亡率。
3. 运算评估净保费
评估净保费不是实际交纳的保费，而是通过评估认为应该对应于保险金给付的那部分保费。在平准净保费方法下，缴费期内的各年度年初的评估净保费相等，缴费期后的评估净保费等于0。 4. 完成运算结果的报告
按指定输出格式形成表格。从前面的要求能够看到，每个投保年龄都必须有一张表格，如果可能的投保年龄是18到50岁，一共需要33张表。在Excel中能够编制一张20行，33列的表格，列出在一定评估假设下的所有年末责任预备金。 毛保费预备金和费用预备金 毛保费预备金的运算原理
寿险实务中收取的保费是毛保费而不是评估净保费，因此在运算毛保费之后，也能够运用和给付预备金类似的概念运算费用预备金。我国目前还没有使用毛保费预备金，因此那个地点仅作概念介绍。
责任预备金 37.18 75.48 114.92 1000.00 在给付预备金的定义中引入了一个缺失随机变量，缺失随机变量等于以后给付支出的现值减去以后净评估保费的现值；在运算费用预备金的时候，缺失随机变量等于以后给付和费用支出的现值减去以后毛保费的现值。
即某个时刻的毛保费预备金等于： 。
其中 是以后给付现值的期望值， 是以后费用现值的期望值， 是以后毛保
费收入现值的期望值。 费用预备金的专门之处
寿险保单的费用发生是“虎头蛇尾型”，即第一年费用专门高，以后各年依次递减。在毛保费预备金的运算中，会得到一个费用的平准评估保费，第一年的费用保费不足以补偿第一年实际发生的费用期望值（这和评估净保费的情形恰好相反，评估净保费会超过第一年实际发生的死亡给付期望值）。 费用预备金的评估假设中会包含四个因素：利率、生命表、费用假设和退保假设。
资产份额法所建立的模型，能够包括各种阻碍保险基金变动的因素，如死亡率、退保率、投资收益率和费用率，从而更好地模拟寿险保单组的营业成果。
第一描述期交保费和趸交保费产品在各个保单年度中的保险基金的变化过程 年初：交纳保费，扣除费用 年中：保险人投资保险基金以获利
年末：退保保单支付退保金，死亡保单支付保险金，满期则支付满期给付 如此周而复始，直至所有保单失效。 第三节 资产份额 什么缘故叫资产份额？
保费中有专门大一部分会以各种给付的形式还给保单，这能够称为保费的返还性，积存起来的基金是属于保单组的，但由保险公司负责治理和投资，因此这些基金是保单组的资产。
而每份有效保单的平均资产数额确实是所谓的资产份额，保单组的资产是保险公司的负债 资产份额原理（图示）
资产份额假设
用来外推保险基金变化的各种精算假设，因为用在资产份额模型中，因此适应上称为资产份额假设，这些假设通常可不能偏于慎重，而是期望能够尽量反映以后的实际营业过程。 阻碍资产份额的因素包括：死亡率，退保率，费用率，投资收益率。 形成这些假设，需要足够的数据来源，其中包括： 死亡率——生命表
退保率——行业数据或公司体会数据 费用——公司的营业预算或体会数据 投资收益率——投资部门的研究结果 资产份额公式（团体型）
团体型公式更易于明白得，一样是用团体型的递推公式来描述资产份额的逐期变化。
能够看到，保单组所拥有的总资产期望值为 电子表格，然后考察不同假设下的保险基金变化。
。资产份额公式运算量比较大，因此一样要建立
在团体型公式两边同时除以 ，就能够得到相应的个体型资产份额公式
，
资产份额运算表的用途 敏锐性分析
考察不同精算假设下，资产份额的变动情形，以此了解以后营业过程的不利偏差可能造成的缺失并预先预备计策。 利润分析
利润是所有公司运作的差不多目标，也是企业能够存在的差不多理由。寿险公司的年度报告利润是资产总额减去年末责任预备金之和，即 各种因素。 逆向定价
在给定以后营业假设之后，我们能够先初步确定一个毛保费水平，然后考察那个毛保费带来的利润的情形，按照对利润的要求来反解毛保费。这种定价方法不同于净保费加上附加保费，在理论上包含了更全面的阻碍因素，也是1960年代以后使用专门广的定价方法，资产份额法对运算能力的要求专门高，因此在运算机的运算成本下降之前，专门少采纳资产份额法。 第四节 利源分析
从上一年的营业成果动身，利用已有的精算假设能够得到本年度的估量报告利润，那个利润能够和实际营业结果进行对比，这种比较能够分解造成利润差异的缘故。
我们用封闭型保单组模型来描述那个过程。在0时刻会确定以后各年的有关变量的精算假设，它们至少包括：
。在利源分析中我们将更细致地研究阻碍利润的
各年的死亡率 年初）、退保率
、费用率 和投资收益率
。
（一样假设费用发生在
注意：每个变量的假设对应于一个数组，用随机过程的语言能够称为“路径”。在0时刻还要运算出以后各年的年末责任预备金 只能引用。 在下面用带帽子
的变量表示实际结果，不带帽子的表示按照精算假设得到的结果。
和退保金
，这两组数字不能修改，
第 年年末，在支付完应对的死亡给付和退保金之后，其营业成果如下：
有效保单数 ，每份保单的资产份额 ，保险基金总额为 ，负债总额（那个地点用年
末责任预备金总和代替）为 实际发生的营业过程为：
，则当年的报告利润为 。在第 保险年度中，
死亡率 ，费用率 ，退保率 ，投资收益率 。
从第 年末动身，在支付为第 年的各项应对费用以后，能够得到该年的报告利润：
其中来自实际营业过程的数据包括：
如果按照在0时刻确定的精算假设，则有：
利润为
两个用不同参数运算出来的利润之间的差异为
注意到在第 年年末， 是已知量，是两种运算利润方法的动身点，因此在理论讨论中能够不考
虑它。那个地点有一个更复杂的咨询题，在0时刻按照精算假设能够运算出各年度末的推测利润值，这一组值和实际的营业成果之间也存在差异，如何比较这两组利润之间的差异？明显要考虑的阻碍因素多于常见的利源分析。
专门明显润差异不是各个阻碍因素的线性函数，然而我们必须进行分解，其中显现的交叉项是费用和投资收益率。对公式进行改写，得到
(1)中运算的是因为投资收益率的差异产生的利润差异，简称利差损益；如果这项小于0，则认为显现利差损，反之显现利差益；
(2)中运算的是因为费用的差异，同样有费差损和费差益；
(3)中运算的是因为退保率差异造成的利润差异，一样称为退保损益； (4)中运算的是因为死亡率差异造成的利润差异，同样会显现死差损和死差益。 几点讨论：
1. 为简化咨询题，在实际的讨论中往往使用“三差”的概念，即死亡率、费用率和投资收益率的差异对利润造成的阻碍。
注意(4)中的死差损益不是用
做风险净值(net amount at risk)。因为 索赔只会导致
的缺失。从第
乘以死亡给付来运算死差损益，而是乘以 ，那个量叫
是保险人应该积存起来的应对给付的保险基金，发生死亡
，这
保单年度末来看，真正的风险保额不是1，而是
确实是风险净值的含义。
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