高考数学压轴专题《等差数列》难题汇编

一、等差数列选择题

1．在等差数列{an}中，已知a5=3，a9=6，则a13=（ ） A．9

B．12

C．15

D．18

22．已知各项不为0的等差数列an满足a6a7a80，数列bn是等比数列，且

b7a7，则b3b8b10（ )

A．1

B．8

C．4

D．2

3．已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a4a54，则S8（ ） A．16 C．4

B．-16 D．-4

24．设数列an的前n项和Snn1. 则a8的值为（ ）．

A．65 B．16 C．15

D．14

5．等差数列an中，a1a2a324,a18a19a2078，则此数列的前20项和等于（ ） A．160

B．180

C．200

D．220

6．已知等差数列an前n项和为Sn，且a3a52a104，则S13的值为（ ） A．8

B．13

C．26

D．162

7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a10且（ ） A．21

B．20

a1119，则当Sn取最小值时，n的值为a1021D．19或20

C．19

8．已知数列an是公差不为零的等差数列，且a1a10a9，则（ ） A．

a1a2a9a1027 8B．

5 2C．3

D．49．题目文件丢失！

10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3a15a67，则S23（ ） A．121

B．161

C．141

D．151

33311．已知数列an中，a11，a22，对nN*都有2an1an2an，则a10等于

（ ） A．10

B．310 C．64

D．4

12．设等差数列an的前n项之和为Sn，已知S10100，则a4a7（ ） A．12

B．20

C．40

D．100

13．设等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn，若S45a2，则A．9

B．5

C．1

S9（ ） a9D．

5 914．在等差数列{an}的中，若a11,a35，则a5等于（ ） A．25 A．24

B．11 B．23

C．10 C．17

D．9 D．16

15．若等差数列{an}满足a2=20，a5=8，则a1=（ ）

16．设等差数列an的前n项和为Sn，若a7a1a8，则必定有（ ） A．S70，且S80 C．S70，且S80

B．S70，且S80 D．S70，且S80

17．已知等差数列an中，a7a916，a41，则a12的值是（ ） A．15

B．30

2C．3

*D．64

n18．已知数列an的前n项和SnnA．an2n

nN，则a的通项公式为（ ）

C．an3n2

n1B．an2n1 D．an1,n1

2n,n219．已知数列an的前n项和为Sn，且Sn12Sn1①a5a41；②a2na2n212n1；③S401220. 则正确的个数为（ ） A．0

B．1

C．2

an3n，现有如下说法：

D．3

20．已知等差数列an满足a48，a6a711，则a2（ ） A．10

B．9

C．8

D．7

二、多选题

21．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为Fn，则Fn的通项公式为（ ）

(1)n1nA．F(n)

2B．Fn1FnFn1,n2且F11,F21

nn11515 C．Fn522nn11515 D．Fn52222．(多选)在数列an中，若anan1p(n2,nN,p为常数)，则称an为“等方

22差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A．若an是等差数列，则an是等方差数列 B．

1 是等方差数列

nC．2是等方差数列.

nD．若an既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列

23．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A．a8＝34 a2021＝a2022

24．无穷等差数列an的前n项和为Sn，若a1＞0，d＜0，则下列结论正确的是（ ） A．数列an单调递减 C．数列Sn单调递减

B．数列an有最大值 D．数列Sn有最大值

B．S8＝54

C．S2020＝a2022－1

D．a1＋a3＋a5＋…＋

25．已知无穷等差数列an的前n项和为Sn，S6S7，且S7S8，则（ ） A．在数列an中，a1最大 B．在数列an中，a3或a4最大 C．S3S10

D．当n8时，an0

26．已知数列an为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A．an1and（d为常数）

B．数列an是等差数列 D．an1是an与an2的等差中项

1C．数列是等差数列

an27．定义Hna12a2n2n1an为数列an的“优值”.已知某数列an的“优

n值”Hn2，前n项和为Sn，则（ ）

A．数列an为等差数列 C．

B．数列an为等比数列 D．S2，S4，S6成等差数列

S20202023 2020228．记Sn为等差数列an的前n项和.已知S535，a411，则（ ） A．an4n5

B．an2n3

2C．Sn2n3n 2D．Snn4n

29．已知等差数列an的前n项和为Sn（n∈N*），公差d≠0，S6=90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A．a1=22

C．当n=10或n=11时，Sn取得最大值

B．d=－2

D．当Sn>0时，n的最大值为21

30．公差为d的等差数列an，其前n项和为Sn，S110，S120，下列说法正确的有（ ） A．d0

B．a70

C．Sn中S5最大

D．a4a9

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等差数列选择题 1．A 【分析】

在等差数列{an}中，利用等差中项由2a9a5a13求解. 【详解】

在等差数列{an}中，a5=3，a9=6， 所以2a9a5a13，

所以a132a9a52639， 故选：A 2．B 【分析】

根据等差数列的性质，由题中条件，求出a72，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】

2因为各项不为0的等差数列an满足a6a7a80，

2所以2a7a70，解得a72或a70（舍）；

又数列bn是等比数列，且b7a72，

3所以b3b8b10b3b7b11b78.

故选：B. 3．A 【详解】 由S8a1a88a4a584816.故选A.

2224．C 【分析】

利用anSnSn1n2得出数列an的通项公差，然后求解a8. 【详解】

2由Snn1得，a12，Sn1n11，

2所以anSnSn1n2n12n1， 所以an故选：C. 【点睛】

本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用anSnSn1n2求解即可. 5．B 【分析】

把已知的两式相加得到a1a2018，再求S20得解. 【详解】

由题得(a1a20)(a2a19)(a3a18)247854， 所以3(a1a20)54,a1a2018. 所以S20故选：B 6．B 【分析】

先利用等差数列的下标和性质将a3a52a10转化为2a4a104a7，再根据

22,n1，故a828115.

2n1,n220(a1a20)1018180. 2S1313a1a13213a7求解出结果.

【详解】

因为a3a52a102a4a104a74，所以a71，

13a1a1313a713113， 2故选：B. 【点睛】

又S13结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若mnpq2tm,n,p,q,tN（1）当an为等差数列，则有amanapaq2at； （2）当an为等比数列，则有amanapaqat.

2*，

7．B 【分析】 由题得出a1【详解】

设等差数列{an}的公差为d，

39dd，则Snn220dn，利用二次函数的性质即可求解.

22a1119得21a1119a10，则21a110d19a19d， 由

a1021解得a139d，2a10，d0，

Snna1+nn1ddn220dn，对称轴为n20，开口向上， 22当n20时，Sn最小.

故选：B. 【点睛】

方法点睛：求等差数列前n项和最值，由于等差数列

nn1ddSnna1+dn2a1n是关于n的二次函数，当a1与d异号时，Sn在

222对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当a1与d同号时，Sn在n1取最值. 8．A 【分析】

根据数列an是等差数列，且a1a10a9，求出首项和公差的关系，代入式子求解. 【详解】

因为a1a10a9， 所以2a19da18d， 即a1d，

a1a2a99a59a14d27d27. 所以

a10a10a19d8d8故选：A

9．无

10．B 【分析】

由条件可得a127，然后S2323a12，算出即可. 【详解】

因为a3a15a67，所以a15a6a37，所以a153d7，所以a153d7，即

a127

所以S2323a12161 故选：B 11．D 【分析】

33利用等差中项法可知，数列an为等差数列，根据a11，a22可求得数列an的公

差，可求得a10的值，进而可求得a10的值. 【详解】

对nN*都有2an1an2an，由等差中项法可知，数列an为等差数列，

333由于a11，a22，则数列an的公差为da2a17，

33333所以，a10a19d19764，因此，a10故选：D. 12．B 【分析】

334.

由等差数列的通项公式可得a4a72a19d，再由S1010a145d100，从而可得结果. 【详解】 解：

S1010a145d100，

2a19d20， a4a72a19d20.

故选：B. 13．B 【分析】

由已知条件，结合等差数列通项公式得a1d，即可求【详解】

S9. a9S4a1a2a3a45a2，即有a1a3a44a2，得a1d，

∴S9∴

9(a1a9)45d，a99d，且d0， 2S9

5. a9

故选：B 14．D 【分析】

利用等差数列的性质直接求解．

【详解】 因为a11,a35，故选：D． 15．A 【分析】 由题意可得d【详解】 解：根据题意，d故选：A. 16．A 【分析】

根据已知条件，结合等差数列前n项和公式，即可容易判断. 【详解】

依题意，有a1a70，a1a80 则S72a3a1a5a59，

a5a28204，再由a220可求出a1的值 5252a5a28204，则a1a2d20(4)24， 5252a1a770

2S8a1a8842a1a80

故选：A. 17．A 【分析】

设等差数列an的公差为d，根据等差数列的通项公式列方程组，求出a1和d的值，

a12a111d，即可求解.

【详解】

设等差数列an的公差为d，

7da16da18d16a17d84 解得：则，即，

17a3d1a3d111a14所以a12a111d所以a12的值是15， 故选：A 18．B 【分析】

177601115， 444利用anSnSn1求出n2时an的表达式，然后验证a1的值是否适合，最后写出an的式子即可. 【详解】

Snn2，当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1，

当n1时，a1S11，上式也成立，

an2n1nN*，

故选：B. 【点睛】

易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即

S1,n1an，算出之后一定要判断n1时对应的式子是否成立，最后求得结

SS,n2n1n果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题. 19．D 【分析】

由Sn12Sn1n1an3n得到an11n1an3n2，再分n为奇数和偶数得

到a2k1a2k6k2，a2ka2k16k5，然后再联立递推逐项判断. 【详解】

因为Sn12Sn1所以an11n1n1an3n，

an3n2，

所以a2k1a2k6k21，a2ka2k16k52， 联立得：a2k1a2k133， 所以a2k3a2k134， 故a2k3a2k1，

从而a1a5a9a41，

a2ka2k16k2，a2k2a2k16k1，

则a2ka2k212k1，故S40a1a2a3a4a5...a38a39a40，

a2a3a4a5...a38a39a40a41，

6k2k12041182021220，

故①②③正确. 故选：D 20．A 【分析】

利用等差数列的性质结合已知解得d，进一步求得a2． 【详解】

在等差数列an中，设公差为d，由

a48a48d1，a2a42d10. aa11a2da3d114467故选：A

二、多选题

21．BC 【分析】

根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】

解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，

显然F11,F21，F3F1F22，F4F2F33，

，

Fn1FnFn1,n2，所以Fn1FnFn1,n2且

F11,F21，即B满足条件；

由Fn1FnFn1,n2， 所以Fn1151515FnFn1 Fn222151515Fn1Fn所以数列为首项，为公比的等比数列， 是以2221515Fn所以Fn12 215Fn1Fn21， 所以15n1515n1()()222n令

bnFn152n1，则bn153bn1， 2所以bn1555355(bn)， 102105555b所以n为首项，以101053为公比的等比数列， 2所以bn555553n1()()， 10102555553n1所以Fn10102152n1nn515152； 52即C满足条件； 故选：BC 【点睛】

考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题． 22．BD 【分析】

根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】

2222对于A，若an是等差数列，如ann，则anan1n(n1)2n1不是常数，故

a不是等方差数列，故A错误；

n对于B，数列

1中，an2an21[(1)n]2[(1)n1]20是常数，{(1)n}是等方

n差数列，故B正确； 对于C，数列2n22n中，anan122n122n34n1不是常数，2不是等方差

数列，故C错误； 对于D，

2an是等差数列，anan1d，则设andnm，an是等方差数

22列，anan1anan1ddnmdndmad2dn(2md)d是常数，

22故2d20，故d0，所以(2md)d0，anan10是常数，故D正确.

故选：BD. 【点睛】

关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断. 23．BCD 【分析】

由题意可得数列an满足递推关系a11,a21,anan2+an1n3，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】

对于A，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A错误； 对于B，S81+1+2+3+5+8+13+2154，故B正确； 对于C，可得anan1an1n2， 则a1+a2+a3+a4++ana1+a3a1+a4a2+a5a3++an1an1

即Sna2+an+an1an21，S2020a20221，故C正确；

对于D，由anan1an1n2可得，

a1+a3+a5+故选：BCD. 【点睛】

+a2021a2+a4a2+a6a4++a2022a2020a2022，故D正确.

本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，a11,a21,anan2+an1n3，能根据数列性质利用累加法求解. 24．ABD 【分析】

由an1and0可判断AB，再由a1＞0，d＜0，可知等差数列数列an先正后负，可判断CD. 【详解】

根据等差数列定义可得an1and0，所以数列an单调递减，A正确； 由数列an单调递减，可知数列an有最大值a1，故B正确；

由a1＞0，d＜0，可知等差数列数列an先正后负，所以数列Sn先增再减，有最大值，C不正确，D正确. 故选：ABD. 25．AD 【分析】

利用等差数列的通项公式可以求a70，a80，即可求公差d0，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】

因为S6S7，所以S7S6a70 ， 因为S7S8，所以S8S7a80， 所以等差数列an公差da8a70， 所以an是递减数列，

故a1最大，选项A正确；选项B不正确；

S10S3a4a5a6a7a8a9a107a70，

所以S3S10，故选项C不正确；

当n8时，ana80，即an0，故选项D正确； 故选：AD 【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质和前n项和Sn，属于基础题. 26．ABD 【分析】

由等差数列的性质直接判断AD选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC选项. 【详解】

A.因为数列an是等差数列，所以an1and，即an1and，所以A正确； B. 因为数列an是等差数列，所以an1and，那么

an1anan1and，所以数列an是等差数列，故B正确；

11anan1d1C.，不是常数，所以数列不是等差数列，故C不正an1ananan1anan1an确；

D.根据等差数列的性质可知2an1anan2，所以an1是an与an2的等差中项，故D正确. 故选：ABD 【点睛】

本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型. 27．AC 【分析】 由题意可知Hn时，2n1a12a2n2n1an2n，即a12a22n1ann2n，则n2ann2nn12n1n12n1，可求解出ann1，易知an是等差数

列，则A正确，然后利用等差数列的前n项和公式求出Sn，判断C，D的正误. 【详解】 解：由Hn得a12a2a12a2n2n1an2n，

2n1ann2n，①

所以n2时，a12a2得n2时，2n12n2an1n12n1，②

ann2nn12n1n12n1，

即n2时，ann1，

当n1时，由①知a12，满足ann1．

所以数列an是首项为2，公差为1的等差数列，故A正确，B错， 所以SnS2023nn3，所以2020，故C正确．

202022S25，S414，S627，故D错，

故选：AC． 【点睛】

本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n项和的求解，难度一般.

28．AC 【分析】

由S535求出a37，再由a411可得公差为da4a34，从而可求得其通项公式和前n项和公式 【详解】

由题可知，S55a335，即a37，所以等差数列an的公差da4a34， 所以ana4n4d4n5，Sn故选：AC. 【点睛】

本题考查等差数列，考查运算求解能力. 29．BC 【分析】

分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A，B；由配方法，结合n为正整数，可判断C；由Sn>0解不等式可判断D． 【详解】

由公差d0,S690，可得6a115d90，即2a15d30，①

2由a7是a3与a9的等比中项，可得a7a3a9，即a16da12da18d，化简得

4n51n2n23n.

22a110d，②

由①②解得a120,d2，故A错，B对；

121441由Sn20nnn1221nn2n 224nN*，可得n10或11时，Sn取最大值110，C对；

由Sn>0，解得0n21，可得n的最大值为20，D错； 故选：BC 【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 30．AD 【分析】

先根据题意得a1a110，a1a120，再结合等差数列的性质得a60，a70，

2d0，Sn中S6最大，a4a9，即：a4a9.进而得答案.

【详解】

解：根据等差数列前n项和公式得：S11所以a1a110，a1a120，

11a1a1112a1a120，S120 22由于a1a112a6，a1a12a6a7， 所以a60，a7a60， 所以d0，Sn中S6最大， 由于a1a12a6a7a4a90， 所以a4a9，即：a4a9. 故AD正确，BC错误. 故选：AD. 【点睛】

本题考查等差数列的前n项和公式与等差数列的性质，是中档题.