初中因式分解基本方法

初中因式分解的根本方法

因式分解〔factorization〕

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，开展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等． ⑴提公因式法

①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.

②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m〔a+b+c〕

③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的一样的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项为哪一项负的，一般要提出“－〞号，使括号的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ① ②

平方差公式：. a2－b2＝(a＋b)(a－b) 完全平方公式： a2±2ab＋b2＝(a±b)2

※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项为哪一项这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a3+b3＝ (a+b)(a2-ab+b2). 立方差公式：a3- b3＝ (a-b)( a2+ab+ b2). ③ ④

完全立方公式： a3±3 a2b＋3a b2±b3＝(a±b)3 an-bn=(a-b)[a(n-1)+a(n-2)b+……+b(n-2)a+b(n-1)]

am + bm =(a+b)[a(m-1)-a(m-2)b+……-b(m-2)a+b(m-1)] (m为奇数) ⑶分组分解法

分组分解法：把一个多项式分组后，再进展分解因式的方法.

分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法

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拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项〔或几项〕，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进展分解；要注意，必须在与原多项式相等的原那么进展变形.

例：分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) ⑸十字相乘法 ①

x2＋〔p q〕x＋pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2＋〔p q〕x＋pq＝〔x＋p〕〔x＋q〕 这个很实用,但用起来不容易.

在无法用以上的方法进展分解时,可以用下十字相乘法. 例： x2+5x+6

首先观察,有二次项,一次项和常数项,可以采用十字相乘法. 一次项系数为1.所以可以写成1*1

常数项为6.可以写成1*6, 2*3, -1*-6, -2*-3(小数不提倡) 然后这样排列

1 - 2 1 - 3

(后面一列的位置可以调换,只要这两个数的乘积为常数项即可)

然后对角相乘,1*2=2,1*3=3.再把乘积相加.2+3=5,与一次项系数一样(有可能不相等,此时应另做尝试),所以可一写为(x+2)(x+3) (此时横着来就行了) 我再写几个式子,楼主再自己琢磨下吧. x2-x-2=(x-2)(x+1) 2 x2+5x-12=(2x-3)(x+4)

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② mx2 +px+q型的式子的因式分解

对于mx2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m, c×d=q且ad+bc=p，那么多项式可因式分解为(ax+ c)(bx+ d) 例：分解因式7x2 -19x-6 分析： 1 - －3

7 -2

1×2＋〔－3×7〕= －19 解：7 x2 -19x-6=(x-3)〔7x+2〕 ⑸双十字相乘法

难度较之前的方法要提升许多。

用来分解形如ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f 的二次六项式

在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规那么。

那么原式＝〔mx＋py＋j〕〔nx＋qy＋k〕

要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0， 例：ab＋b2＋a－b－2分解因式

解：原式＝0×1×a2＋ab＋b2＋a－b－2 ＝〔0×a＋b＋1〕〔a＋b－2〕

＝〔b＋1〕〔a＋b－2〕 (7) 应用因式定理：

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如果f〔a〕=0，那么f〔x〕必含有因式〔x-a〕。如f〔x〕= x2+5x+6，f〔-2〕=0，那么可确定〔x+2〕是x2+5x+6的一个因式。 经典例题： 1.

分解因式 (1＋y)2－2 x2 (1＋y2)＋x4(1－y)2

解：原式=(1＋y)2＋2(1＋y) x2 (1－y)＋ x4 (1－y)2－2(1＋y) x2 (1－y)－2 x2 (1＋y2)

=[(1+y)+ x2 (1－y)]2－2(1+y) x2 (1－y) －2 x2 (1+ y2) =[(1+y)+ x2 (1－y)]2－(2x)2

=[(1+y)+ x2(1－y)+2x] [(1+y)+ x2 (1－y) －2x] =( x2－x2y+2x+y+1) ( x2－ x2y－2x+y+1) =[(x+1)2－y(x2－1)] [(x-1)2－y(x2－1)] =(x+1) (x+1－xy+y) (x－1) (x－1－xy－y)

2.证明：对于任何数x, y，下式的值都不会为33

x5＋3x4y－5x3y2－15x2y3＋4xy4＋12y5

解：原式=( x5+3x4y)－( 5x3 y2+15x2y3)+(4xy4+12y5)

= x4 (x+3y)－5 x2 y2 (x+3y)+4 y4 (x+3y) =(x+3y)( x4－5 x2 y2+4 y4) =(x+3y)( x2－4 y2)( x2－ y2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)

当y=0时，原式= x5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不一样，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立 (8)、换元法

整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的根底上 例：(xy)2-2(x+y)+1分解因式

考虑到x+y是以整体出现，展开是十分繁琐的，用a代替x+y

那么原式=a22a1 =(a1)2 回代

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原式=(xy1)2 (9)、求根法

令多项式f(x)=0,求出其根为x1 , x2 , x3 ,……xn ,那么多项式可因式分解为 f(x)=(x- x1 )(x- x2 )(x- x3 )……(x- xn) 例8、分解因式2x4 +7 x3 -2 x2 -13x+6 解：令f(x)= 2x4 +7 x3 -2 x2 -13x+6=0

通过综合除法可知，f(x)=0根为 1，-3，-2，1 那么2x4 +7 x3 -2 x2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) (10)、图象法

令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x1 , x2 , x3 ,……xn，那么多项式可因式分解为f(x)= (x- x1 )(x- x2 )(x- x3 )……(x- xn) 例：因式分解x3 +2 x2 -5x-6 解：令y= x3 +2 x2 -5x-6

作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 那么x3 +2 x2 -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) (11)、主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进展因式分解。 〔备注：这种方法要难一些，多练即可

即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数〕 例：分解因式a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b)

分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b) = a2 (b-c)-a(b2 - c2 )+( b2 c- c2 b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) (12)、利用特殊值法

将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10复原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x3 +9x2 +23x+15

解：令x=2，那么x3 +9x2 +23x+15 =8+36+46+15=105

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将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7

注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值那么x3 +9x2 +23x+15 =〔x+1〕〔x+3〕〔x+5〕 (13)、待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

将式子看成方程，将方程的解代入 这时就要用到(1)中提到的知识点了

当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式 例：x2 + x- 2

该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法 我们可以把它当方程做，x2+x-2=0

一眼看出，该方程有一根为x=1 那么必有一因式为(x-1)

结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2〔因为乘-1要为-2〕 一次项系数必为1〔因为与1相乘要为1〕 所以另一因式为〔x+2〕

原式分解为：x2 + x- 2 =(x-1)(x+2) (14)、列竖式法

原理和小学的除法差不多

要建立在待定系数法的方程法上 缺乏的项要用0补

除的时候，一定要让第一项抵消 例：3x3+5x2-2分解因式

提示：x=-1可以使该式=0，有因式〔x+1〕

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3x22x2x13x35x20x23x33x2.........2x20x.........2x22x...............2x2 ...............2x2..........................0解原式=〔x+1)(3x2+2x-2) (15)、解方程法

此方法是对ax2bxc分解的万能方法，但在学过解方程后才会使用 设ax2bxc0 解得方程得xx1,xx2 ∴ax2bxca(xx1)(xx2) 例：x2-x-1 分解因式 设x2x10 解得方程得x11515,x2 22∴x2x1(x1515)(x) 22※多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ③

考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。

分解因式，必须进展到每一个多项式因式都不能再分解为止.

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〔1〕(abb)2(ab)2〔2〕(a2x2)4ax(xa)2

〔3〕3a3b2c6a2b2c29ab2c3〔4〕xy＋6－2x－3y(a2x2)4ax(xa)2 〔5〕(3ab)24(3ab)(a3b)4(a3b)2〔6〕12x2－29x＋15 〔7〕(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4) 〔8〕x(y＋2)－x－y－1

〔9〕4x2＋4xy＋y2－4x－2y－3 〔10〕2x413x320x211x2 （11）2x27xy22y25x35y3〔12〕4m28mn3n2

〔13〕4n24n15〔14〕x2+2x-8 〔 15〕x2+3x-10 〔 16〕x2+x-6 2x2+5x-3 〔18〕x2+4x-2

〔19〕x2-2x-3 〔20〕5ax+5bx+3ay+3by 〔21〕x3-x2+x-1 〔22〕18a232b218a24b 希望同学们能掌握因式分解，把因式分解看成一种乐趣~

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17〕〔