物理与工程Ｖｏ１．２５ Ｎｏ．１ ２０１５ 关于均匀带电球面上电场强度的求解 蔡莉莉 张晓燕 （华北科技学院基础部物理 教研室，河北廊坊０６５２０１） 摘 要 由于均匀带电球面上的电场强度无法用高斯定理求出，现行大部分大学物理基础教材 在讨论均匀带电球面产生的场强分布时，只用高斯定理求出了该带电系统内外空间电 场的分布，并没有给出球面上场强的计算方法，只是指出在球面上场强值不连续．文章 利用叠加原理和电容器能量的变化两种方法分别导出了均匀带电球面上任一点的场 强值，验证了均匀带电球面的场强是不连续的，两种方法思路截然不同，但得到的结果 完全相同，该结果使得高斯定理求出的均匀带电球面在空间电场分布的结论更加完 整． 关键词 均匀带电球面；高斯定理；电场强度；叠加原理；电容器能量 ＳｏＬＵＴＩｏＮ ＡＢｏＵＴ ＥＬＥＣＴＲＩＣ ＦＩＥＬＤ ＩＮＴＥＮＳＩＴＹ ｏＮ ＵＮＩＦｏＲＭ ＣＨＡＲＧＥＤ ＳＰＨＥＲＩＣＡＬ ＳＵＲＦＡＣＥ Ｃａｉ Ｌｉｌｉ Ｚｈａｎｇ Ｘｉ￣ｏｙａｎ （Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｎｏｒｔｈ Ｃｈｉｎａ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌａｎｇｆａｎｇ．Ｈｅｂｅｉ ０６５２０１） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｅｌｄ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ ｏｎ ｕｎｉｆｏｒｍ ｃｈａｒｇｅｄ ｓｐｈｅｒｉｃａｌ ｓｕｒｆａｃｅ ｃａｎｎｏｔ ｂｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｇａｕｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ．Ｍｏｓｔ ｏｆ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｃｏｌｌｅｇｅ ｐｈｙｓｉｃｓ ｔｅｘｔｂｏｏｋｓ ｏｎｌｙ ｓｈｏｗ ｔｈｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕ— ｔｉｏｎ ｏｆ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｅｌｄ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ ｉｎｓｉｄｅ ａｎｄ ｏｕｔｓｉｄｅ ｓｐｈｅｒｉｃａｌ ｓｕｒｆａｃｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｇａｕｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｌｅｄ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ ｐｒｏｄｕｃｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｕｎｉｆｏｒｍ ｃｈａｒｇｅｄ ｓｐｈｅｒｉｃａｌ ｓｕｒｆａｃｅ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ． Ｂｕｔ ｈｏｗ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｅｌｄ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ ｏｎ ｓｐｈｅｒｉｃａｌ ｓｕｒｆａｃｅ ｉｓ ｎｏｔ ｐｒｏｖｉｄｅｄ，ｅｘｃｅｐｔ ｐｏｉｎｔｉｎｇ ｏｕｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ ｖａｌｕｅ ｉｓ ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｏｎ ｔｈｅ ｓｐｈｅｒｉｃａｌ ｓｕｒｆａｃｅＴｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｇｉｖｅｓ ．ｔｈｅ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｏｆ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｅｌｄ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ ｏｎ ｓｐｈｅｒｉｃａｌ ｓｕｒｆａｃｅ ｕｓｉｎｇ ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ ｐｒｉｎｃｉ— ｐｌｅ ａｎｄ ｃａｐａｃｉｔｏｒ ｅｎｅｒｇｙ ｖａｒｉｅｔｙ．Ｉｔ ｉｓ ａｌｓｏ ｖｅｒｉｆｉｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｅｌｄ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ ｏｎ ｕｎｉｆｏｒｍ ｃｈａｒｇｅｄ ｓｐｈｅｒｉｃａｌ ｓｕｒｆａｃｅ ｉｓ ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ．Ｗｉｔｈ ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ ｔｗｏ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄｓ，ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｅｘａｃｔｌｙ ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ，ｗｈｉｃｈ ｍａｋｅｓ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｏｌｖｅｄ ｂｙ Ｇａｕｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ Ｏｎ ｔｈｅ ｓｐａｔｉａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｅｌｄ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ ｐｒｏｄｕｃｅｄ ｂｙ ｕｎｉｆｏｒｍ ｃｈａｒｇｅｄ ｓｐｈｅｒｉｃａｌ ｓｕｒｆａｃｅ ｍｏｒｅ ｃｏｒｎ— ｐｌｅｔｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｕｎｉｆｏｒｍ ｃｈａｒｇｅｄ ｓｐｈｅｒｉｃａｌ ｓｕｒｆａｃｅ； Ｇａｕｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ；ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｅｌｄ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ；ｓｕｐｅｒ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ；ｃａｐａｃｉｔｏｒ ｅｎｅｒｇｙ 在静电学中求解电荷在空间激发的场强是静 电场的基础，当电荷呈对称分布时其所激发的电 Ｅ场也呈对称分布，这时只要选取恰当的高斯面就 较容易地求出场强分布口］．例如求半径为Ｒ的均 －｛ 匀带电量为ｑ的球面电场强度分布问题，用高斯 定理不难求出球面内外的场强为 收稿日期：２０１４－０７—０４ 作者简介：蔡莉莉，女，讲师，主要从事大学物理教学工作，研究方 向为半导体物理．１ｉｌｙ２００４ｃ＠１６３．ｃｏｒｎ 物理与工程Ｖｏ１．２５ Ｎｏ．１ ２０１５ 该结论没有给出球面上任一点（即ｒ—Ｒ）的 电场强度，大部分大学物理教材中只是指出在球 面上场强值不连续或有一突变［２ ］，但并未给出其 具体值，这是由于球面上的场强既不能用两边取 极限的办法求出，也无法用高斯定理求解．如果把 的场强ｄＥ的矢量和．因为各个小圆环产生的场强 方向都相同，矢量和变为代数和，所以合场强为 Ｅ一『ｄＥ一』 根据图１中的几何关系可知 ｚ—Ｒ—Ｒｃｏｓ０ ｒ—Ｒｓｉｎ０ ㈤ （６） （７） 球面本身作为高斯面就无法确定电荷是在面内还 是在面外，由于电荷的面分布是一种理想化的电 荷分布模型，实际的带电面总有一定的厚度１４］。对 于理想化的均匀带电球面上的场强如何求解是初 学者经常会提出的疑问，以下我们总结了求均匀 带电球面上任一点场强的两种方法． １叠加原理求球面上一点的电场强度 关于球面上场强的求解最直接的方法就是用 叠加原理通过积分的方法计算，即把均匀带电球 面看作是由无限多个以场点与球心的连线为轴、 半径不同的圆环带组成，应用均匀带电圆环轴线 上的场强公式结论来计算，该法简单，也容易接 受． 图１所示为一个半径为Ｒ的均匀带电球面， 带电量为ｑ，求解球面上任一点Ｐ点的场强．可将 球面分割成无限多个半径不同的无限窄的环带， 在球面上取如图所示的圆环带微元，该环带可近 似看成是圆环，其环面垂直于轴线０Ｐ．所有带电 圆环的场强在Ｐ点的叠加形成该点的总场强．其 中球面的电荷面密度为 一去 ） 所取环带面积 ｄＳ一２ｎＲｓｉｎ０ＲｄＯ一２ｎＲ ｓｉｎ０ｄ０ （２） 环带所带电量为 ｄｑ—ａｄＳ （３） 将式（１）、式（２）代入式（３）得 ｄｑ一—ｑｓ＿ｉｎ ＯｄＯ （４） 根据带电圆环在其轴线上的场强公式的结论 Ｅ一—Ｌ—— ４７ｒｅｏ（Ｒ ＋ｚ。）号 可得该圆环带在球面上Ｐ点产生的场强大小为 ｄＥ一— 堡： ４ｎｅｏ（ｒ ＋Ｌｚ。）号 Ｐ点场强方向沿 轴正向，根据叠加原理，带电球 面上Ｐ点的场强是所有这些带电环带在该点产生 将式（４）、式（６）、式（７）代入式（５），得 Ｅ—ｒ—— Ｊ。１６√２ ￡。Ｒ （１～ｃｏｓ０）专 １一 １６ 堡７ ｃ￡。Ｒ Ｊｆ ０（１一ｃｏｓ ）专二！ 一 ８ｈｅｏＲ 垡 通过上述计算可知均匀带电球面上任一点Ｐ 的场强大小为 ，方向沿着Ｏｘ轴正向・ 图１ 均匀带电球面轴线上的电场 ２用球形电容器的能量变化求解球面场强 利用叠加原理虽然容易理解，但是涉及积分 的计算，计算量比较大，以下利用球形电容器能量 的变化这一模型来计算球面上的电场强度大小． 设想将球形电容器的外壳移动ｄＲ，根据能量守恒 原理，外力克服静电力所做的功等于球形电容器 静电势能的变化，从而求出球形电容器极板所受 的静电场力，进而求出极板上的场强．设球形电容 器内外球壳的电荷各为＋ｑ和一ｑ（如图２所示）， 球壳的内外半径分别为Ｒ 和Ｒ。，则球形电容器 的电容可表示为［６ ｃ一 （８） 由于两球壳之间的距离ｄ—Ｒ 一Ｒ 很小，因此．Ｒ ≈Ｒ 一Ｒ，则上式可化简为 Ｃ一＿４￣ｒｅ０Ｒ２ （９） 图２球彤电谷器 电容器中电场储存的能量为 ｗ一２＿ｑｔ （１０） ｃ式（９）代人式（１０）得 ｗ一菱一 ｑ２ ｄ …） 根据能量守恒定律，当内球壳发生虚位移ｄＲ 时，外力克服静电力Ｆ所做的功Ｆｄｒ转化为电容 器所储存的静电能，则有 ｄＷ一 ｑＺ ｄｒ—Ｆｄｒ （１２） ￡ｎＫ 由式（１２）得到Ｆ— 生 ，两球壳之间的静 丁【￡ｎ 电力Ｆ—Ｅｑ，因此Ｅ一百 ｑＲ ，其中Ｅ表示内外 球壳在同一点场强的叠加．设内球壳上的电荷在 内壳上某一点产生的场强为Ｅ ，外球壳上的电荷 在内壳上同一点产生的场强为Ｅ ，由对称性分析 可知，外极板上任一点产生的场强Ｅ。均相等，Ｅ。 与Ｅ 反向．由高斯定理可知Ｅ 一０，因内外球壳 电荷电性相反，因此合场强Ｅ—Ｅ 一Ｅ ，所以 Ｅ 一Ｅ—Ｅｚ一 ，即内壳上的电荷在其上任 一点产生的场强为 旦而．同理，设外球壳上的 Ｏ丁ｃ￡ｎ上 电荷在其上任一点产生的场强为Ｅ ，内球壳上的 电荷在外壳上同一点产生的场强为 ，合场强为 Ｅ 一 Ｆ一 ・由高斯定理可得 一 ｑ雨 ≈ ，故Ｅ；一Ｅ 一Ｅ 一 ｑ ，即外壳上的 物理与工程Ｖｏ１．２５ Ｎｏ．１ ２０１５ 电荷在其上任一点产生的场强为 ・由上述 分析可得均匀带电球面上任一点的场强大小为 ８ｔｅｅ０Ｒ ’ ３结语 通过上述两种方法的计算，给出了半径为Ｒ 均匀带电量为ｑ的球面上任一点的电场强度的确 定值，得出其具体表达式为 ，其值恰好等 于从带电面外无限接近带电面时的电场强度 与带电面内电场强度为零之和的一半，这 也验证了均匀带电球面的场强是不连续的，场强 在球面处确有一间断点．在教学中，可简要引入计 算方法，便于加深学生对均匀带电球面产生电场 规律的认识，同时启发学生的发散思维，纠正学生 认为面上场强为零或为 ｑ ２一的错误认识，从而 形成面内、面上、面外的整体认识． 参 考 文 献 ［１］赵凯华，陈熙谋．电磁学［Ｍ］．北京：高等教育出版社， ２００３：２４—２５． ［２］梁灿彬，秦光戎，梁竹健．电磁学［Ｍ２．２版．北京：高等教 育出版社，２００４：２１—２２． ［３］张三慧．大学基础物理学：下册［Ｍ］．北京：清华大学出版 社，２００３：３４９—３５０． ［４］ 白俊彪．均匀带电球面上电场强度的计算［Ｊ］．思茅师范高 等专科学校学报，２００５，２１（３）：７９—８０． ［５］ 吴百诗．大学物理：上册（第三次修订本）［Ｍ］．匿安：西安 交通大学出版社，２００８：１１６． ［６］程守洙，江之永．普通物理学：第２册［Ｍ］．４舨．北京：高 等教育出版社，Ｉ９９５：２７３． ［７］刘景世．“均匀带电球面上的电场强度如何计算”的再讨论 ［Ｊ］．河南教育学院学报（自然科学版），２０１１，２０（４）：３２— ３３． ■
