1.高三数学总复习基础之集合与命题

集合与命题

考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求：

（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． 一、知识结构:

本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：

二、知识回顾： （一） 集合

1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：

①任何一个集合是它本身的子集，记为AA； ②空集是任何集合的子集，记为A； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果AB，同时BA，那么A = B. 如果AB，BC，那么AC.

[注]：①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×）

②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）（例：S=N； A=N，则CsA= {0}） ③ 空集的补集是全集.

④若集合A=集合B，则CBA = ， CAB =  CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ）. 3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集. ②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的点集.

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③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： xy3 解的集合{(2，1)}.

2x3y12

②点集与数集的交集是. （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x+1} 则A∩B =） 4. ①n个元素的子集有2个. ②n个元素的真子集有2 －1个. ③n个元素的非空真子n集有2－2个.

5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题. 例：①若ab5，则a2或b3应是真命题.

解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②x1且y2， xy3.

解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2. x1且y2xy3,故xy3是x1且y2的既不是充分，又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若x5，x5或x2. 4. 集合运算：交、并、补.

nn交：AB{x|xA,且xB}并：AB{x|xA或xB} 补：CUA{xU,且xA}5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：

AA,A,AU,CUAU,AB,BCAC;ABA,ABB;ABA,ABB.（2） 等价关系：ABA（3） 集合的运算律：

交换律：ABBA;ABBA.

BAABBCBU UA结合律:(AB)CA(BC);(AB)CA(BC) 分配律:.A(BC)(AB)(AC);A(BC)(AB)(AC) 0-1律：A,AA,UAA,UAU

等幂律：AAA,AAA.

求补律：A∩CUA=φ A∪CUA=U CUU=φ CUφ=U

反演律：CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB)

(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

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1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法）

①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)

②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；

④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.

x1x2x3xm-3-xm-2xm-1+-xm+x

（自右向左正负相间） 则不等式a0xa1xnn1a2xn2an0(0)(a00)的解可以根据各区间的符号

确定.

特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

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②一元二次不等式ax+box>0(a>0)解的讨论. 二次函数 0 0 0 yax2bxc （a0）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 ax2bxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2) bx1x2 2a xxx或xx 12bxx 2a  R  xx1xx2

2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为

f(x)f(x)f(x)f(x)>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式， g(x)g(x)g(x)g(x)（2）转化为整式不等式（组）3.含绝对值不等式的解法

f(x)f(x)f(x)g(x)0

0f(x)g(x)0;0g(x)0g(x)g(x)3

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（1）公式法：axbc,与axbc(c0)型的不等式的解法.

（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.

（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布

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一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0) （1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之. （2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑

1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断

互逆原命题逆命题（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相若p则q若q则p互否反； 为逆互互（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为

否否逆为真，其他情况时为假； 否互逆否命题（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为否命题若┐q则┐p若┐p则┐q互逆假，其他情况时为真．

4、四种命题的形式：

原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；

否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。

(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；

(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题． 5、四种命题之间的相互关系：

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题) ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

6、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。 若pq且qp,则称p是q的充要条件，记为p⇔q.

7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

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