指数平均不等式的证明与运用

指数平均不等式的证明与运用

陕西省汉中市镇巴中学(723600)

刘再平李靖

,且a=b,定义ea−eb

对于实数a,b为a,b的指数平

均数,则√a−b

ea+ba−b<2

.

证明先证指数平均不等式的右边,如下:不妨设a>b,即ab>0,e右边,即证a−b>

2(−ea−eb

)

a−eb>0,要证不等式的2(ea−b)ea+eb,则证a−b>−1ea−.换元,令a−b=t>0,所以需证t−2(b−1

+1et)

et>0,构造

函数f(x)=x−2(ex−1)

+1

ex+1

,x>0,即证f(x)>0.求导得

f′

(x)=

(ex−1)2(ex+1)2>0,即f(x)为(0,+∞)上的增函数,则f(x)>f(0)=0,不等式右边得证,同理可证不等式左边.

综上述所,指数平均不等式链得证.

上述指数平均不等式有着优美的几何意义,即“无字证明”,如下:

图1

图2

如图1,曲边梯形面积大于直角边梯形面积,即

S∫dx>

2(a−b)ea+b

a曲梯>S直梯,所以x2be,即ea−eb>(a−b)√ea+b,则√ea+bb2

a−b

,故不等式左边得证;

如图2,直角S大于)曲边梯形面积,即axea+eb(a−b)

曲梯直梯,a(bedx<,即eea

+eb)(a−b)aba2−eb<

2则e−ea−b,2

,故不等式右边得

证.

综上述所,指数平均不等式链得证.

运用上述指数平均不等式可以简解下述函数与导数压轴题.

例1已知函数f(x)=ex,x1,x2(x∈R,且x1=x2,若f(x1)−f2)

f(x)+f(x<|k|(x1−x2),求k的取值范围.

12)

ex1解由题−ex2

ex1+ex2

<|k|(x1−x2),不妨设x1>x2,即xex11−x2>0,所以

−ex2

<|k|(ex1x+ex2),由指

1−数平均不等式ex1−ex2xe2

x1+ex2ex1+ex2

x<,即1−x222

≤

|k|(ex1+ex2),又ex1+ex2>0,所以|k|≥11

2,即k≤−

2

或k≥1

2

.

点评此题运用指数平均不等式的右边恰到好处的放缩了原不等式,快速的获得了关于参数k的不等关系,简洁的求得了k的取值范围.

例2(2013年高考陕西理科压轴题)已知函数f(x)=ex,x∈R.

(I)若直线y=kx+1与f(x)的反函数的图像相切,求实数k的值;

(II)设x>0,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数.

(III)设a2与b−a

的大小,

并说明理由.

解(I)k=

1e2

;e2(II)当0m>e2

4时,无公共点;当m=e2

4时,有1个公共点;当4时,有2个公共点.

(III)运用指数平均不等式“秒杀”如下:由ex1−ex2

exx<

1+ex2

1−x,不妨令b=xf(a)+f(b2)1,aex1+2=x2,则=ex2f(b)−f(a)ex1−ex2

f(a)2

+f(b)f(b)2,−f(a)

b−a=x,故>1−x22b−a

得证.

点评此道压轴题的压轴问只需要将题意翻译之后,便是指数平均值不等式的右边,问题迅速解决.

学习数学就要善于解题,数学解题的工具是双基,正如波利亚所说:“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”,也就是说知识面越广对数学解题的帮助势必越大,而此文阐述的指数平均不等式虽然教材上未曾提及,然而无疑是解决相关高考压轴题的好工具.

参考文献

[1]刘再平.妙用三个不等式秒杀2018年全国卷压轴题[J].中学数学教

学,2019(1):53-.