含参不等式的恒成立问题

含参不等式的恒成立问题

作者：郑蓉

来源：《知识文库》2019年第15期

纵观近几年全国各省市的高考题，含参不等式的恒成立问题频频出现，是历年高考的一大热点。这类问题以不等式的“恒成立”为载体，考察函数，导数，方程，不等式等内容，渗透划归，分类讨论，数形结合等数学思想，综合性强，对学生能力要求高，一直备受高考命题者的青睐。本文介绍这类问题的常见解题策略，供大家参考。

1 分离参数法

分离参数法即通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两边，从而使不等式的恒成立问题转化为求主元函數的最值问题。

若函数 在给定区间上存在最值，则：

（1） 恒成立 ;

（2） 恒成立 ;若函数 在给定区间上不存在最值，则转化为求函数的范围问题.

例1.设函数 ，若关于 的不等式 在

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上恒成立，求实数 的取值范围.

点评：本题通过分离参数将不等式的恒成立问题转化为求新函数的最大值问题，思路清晰，解法简洁。

2 函数最值法

函数最值法即将不等式的恒成立问题直接转化为求函数的最值问题，一般来说，由于函数中含有参数，在求最值时，往往涉及到分类讨论。

若函数 在给定区间上存在最值，则：（1） 恒成立 ;

（2） 恒成立 ;若函数 在给定区间上不存在最值，则转化为求函数的范围问题.

例2.已知函数 ， ，对任意的 ， ;，不等式 ;恒成立，求正实数 的取值范围.

点评：本题将不等式的恒成立问题直接转化为求两个函数的最值问题。

常见类型：若函数在给定区间上存在最值，则：

若有函数在给定区间上不存在最值，则转化为求该函数的范围问题。

3 变换主元法

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在解答含参不等式的恒成立问题时，有时需要我们转化思维角度，将主元变量与参数变量进行“换位”，反客为主，可使问题化难为易，迅速获解。一般来说，将题中给出了取值范围的量视为主元，待求的量视为参数。

例3.设函数

（1） 若函数 的图象在 处与直线 相切

①求实数 的值;②求函数 在 的最大值.

（2）当 时，若不等式 对所有的 ， 恒成立，求实数 的取值范围.

点评：本题是有关双参数的恒成立问题，在解答时选择以哪个变量为主元非常关键，当然本题的实质仍然是转化为函数的最值问题。

通过以上几道例题的学习，我们归纳总结了含参不等式恒成立问题常见的求解策略。在解题过程中，还需要我们根据题设条件综合分析，多思考，选择合适的方法进行求解。

（作者单位：湖北省荆州市江陵县江陵中学）