维普资讯 http://www.cqvip.com ２００７年第３１卷 第３期 中国石油大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｐｅｔｒｏｌｅｕｍ Ｖｏ１．３１ Ｎｏ．３ Ｊｕｎ．２００７ 文章编号：１６７３－５００５（２００７）０３－００９０－０４ 空问映射与响应面法相结合的改进优化算法 张立新 ，王大勇 ，许朝辉。，郝小龙 （１．中国石油勘探开发研究院采油采气装备研究所，北京１０００８３；２．海洋石油工程股份有限公司，天津３００４５２； ３．中海油田服务股份有限公司，天津３００４５１；４．中国石油天然气第一建设公司，河南洛阳４７１０２３） 摘要：在空间映射与响应面法相结合的基础上修改了序列响应面的程序流程，从而改变了应用响应面方法优化时的 迭代本质。改进方法无须每次迭代重新拟合低保真模型响应面，只在第一次迭代拟合响应面，在此基础上调整高低 保真模型设计变量间的映射关系，优化收敛更迅速。由于避免了反复的试验设计和模型分析，改进方法的计算效率 远高于原方法。数值算例表明了该方法的稳定性，此方法可以大大减少应用序列响应面进行优化或可靠性评价的 计算量。 关键词：空间映射；响应面方法；高保真模型 中图分类号：０ ３４４，３ 文献标识码：Ａ Ｍｏｄｉｆｉｅｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ ｓｐａｃｅ ｍａｐｐｉｎｇ ａｎｄ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｓｕｒｆａｃｅ ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ ＺＨＡＮＧ Ｌｉ．ｘｉｎ ，ＷＡＮＧ Ｄａ．ｙｏｎｇ ，ＸＵ Ｚｈａｏ—ｈｕｉ ，ＨＡＯ Ｘｉａｏ—ｌｏｎｇ４ （１．Ｐｅｔｒｏｌｅｕｍ Ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｄｅｖｅｌｏ！￣，ｅｎｍｔ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，ＰｅｔｒｏＣｈｉｎａ， Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００８３，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｏｆｆｓｈｏｒｅ Ｏｉｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｃｏ，Ｌｔｄ，Ｔｉａｎｊｉｎ ３００４５２，Ｃｈｉａ；ｎ ３．Ｃｈｉａ Ｏｉｎ￣ｌｄ Ｓｅｒｖｉ￣Ｌｉｍｉｔｅｄ Ｃｏｍｐａｎｙ，Ｔｉａｎｉｆｎ ３００４５１，Ｃｈｉａ；ｎ ４．Ｃｈｉａ Ｐｅｎｔｒｏｌｅｕｍ Ｆｉｒｓｔ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ Ｃｏｍｐａｎｙ，Ｌｕｏｙａｎｇ ４７１０２３，Ｃｈｉａ）ｎ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｏｆ ｇｉｎａｌ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ ｓｐａｃｅ ｍａｐｐｉｎｇ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ａｎｄ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｓｕｒｆａｃｅ ｍｅｔｈｏｄｏｌ— ｏｇｙ（ＲＳＭ）ｗａｓ ｍｏｄｉｉｆｄ，ｗｈｉｅｃｈ ｃｈａｎｇｅｓ ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｎａｔｕｒｅ ｆ ｏｓｕｃｃｅｓｓｉｖｅ ＲＳＭ ａｃｃｏｒｄｉｎｇｌｙ．Ｕｓｉｎｇ ｈｅｔ ｍｏｄｉｉｆｄ ｅｌａｇｏｒｉｈｍ，ｔｔｈｅ ｅ－ｒ ｓｐｏｎｓｅ ｓｕｒｆａｃｅ ｏｆｌｏｗ—ｉｆｄｅｌｉｔｙ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｎｏｔ ｒｅｇｅｎｅｒａｔｅｄ ａｔ ｅｖｅｒｙ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｅｘｃｅｐｔ ｔｈｅ ｆｉｓｔｒ ｏｎｅ，ｂａｓｅｄ ｏｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｍａｐｐｉｎｇ ｈｅｔｗｃｅｎ ｈｉｇｈ－ｉｆｄｅｌｉｔｙ ｎｄ ａｌｏｗ－ｉｆｄｅｌｉｔｙ ｍｏｄｅｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ Ｃａｎ ｅ ｈａｄｊｕｓｔｅｄ ｉｔｅｒａｔｉｖｅｌｙ ｎｄ ａｂｅｔｔｅｒ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ Ｃｎ ａｅ ｈａｃｈｉｅｖｅｄ．Ｒｅｐｅｔｉｔｉｖｅ ｅｘ－ ｅｒｉｐｅｎｔｍｌ ｄｅｓｉｇｎ ａａｎｄ ｍｏｄｅｌ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ａｒｅ ａｖｏｉｄｅｄ，ＳＯ ｔｈｅ ｍｏｄｉｆｉｄ ａｅｌｇｏｒｉｔｈｍ ｈａｓ ｂｅｔｔｅｒ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｅｆｉｆｃｉｅｎｃｙ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｔｅ ｈｇｉｎａｌ ａｌｇｏｒｉｔｍ．Ｎｕｍｅｒｈｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｎｅｗ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｉｓ ｓｔａｂｌｅ，ａｎｄ ｉｔｓ ｗｉｄｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｔｏ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｓｔｒｕｃｔｒａｕｌ ｎｄ ｍｕｌａｉｔｄｉｓｅｉｐｌｉｎａｒｙ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｒｅｌｉａｂｉｌｉｙ ｅｖａｔｌｕａｔｉｏｎ Ｃａｎ ｇｒｅａｔｌｙ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｐａｃｅ ｍａｐｐｉｎｇ；ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｓｕｒｆａｃｅ ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ；ｈｉｇｈ－ｆｉｄｅｌｉｔｙ ｍｏｄｅｌ 序列响应面方法（ｓｕｃｃｅｓｓｉｖｅ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｓｕｒｆａｃｅ 优化或可靠性评价的重要制约因素。为减少计算 量，很多研究者采用多保真度模型方法，利用低保真 ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ，ＳＲＳＭ）是广泛用于结构优化、可靠性 评价等领域的一种重要方法¨ ，通过每次迭代的试 验设计和模型分析，获得响应向量并拟合响应与设 计变量间的函数关系，进而构造优化模型，迭代寻 优。对所有设计的重分析是每次迭代更新响应函数 必不可少的步骤，其计算投入是大规模、非线性问题 收稿日期：２ｏ０６一ｌＯ一２Ｏ 模型和高保真模型敏度信息近似的性质，用低保真 模型拟合响应面，在少量点分析高保真模型以校正 低保真模型响应面 Ｊ。为了使校正程序更加规范， 常用方法是通过分析高保真模型来校正所得低保真 模型响应面的常数项，这具有经验性和随意性的特 基金项目：国家自然科学基金项目（１０４７２００３）；北京市自然科学基金项目（３０４２００２）；北京市教委项目（ＫＭ２００４１０００５０１９） 作者简介：张立新（１９７６一），男（汉族），河北隆化人，博士，现为中石油勘探开发研究院博士后，研究方向为石油机械。 维普资讯 http://www.cqvip.com 第３１卷第３期 张立新，等：空间映射与响应面法相结合的改进优化算法 ・９１・ ｃ一 点。基于替代模型概念的空间映射方法（ｓｐａｃｅ ’ｎ ｃ Ｘ ）］＋ ＝ ｍａｐｐｉｎｇ，ＳＭ）中假设高、低保真模型之间存在着映 射关系 引。Ｌｅａｒｙ结合空间映射和响应面方法，规 ：。 Ｘ＋，： Ｘ ）＋ ］． （６） 因此高保真优化模型为 范了低保真模型响应面的修正程序 。Ｊａｎｓｓｏｎ等 使用此方法对碰撞、板材成型等非线性优化问题做 了深人研究 。针对原空间映射结合响应面方法 （原ＲＳＭ＋ＳＭ）每次迭代必须重新分析低保真模型 （Ｐ ０ｂｊ（Ｘ））－－－￣ｍｉｎ， 【ｓ．ｔ． Ｒｓ （Ｐ： （ ））≤ ， ＝１，…， 由此线性规划模型可求Ｘ川。 （３）分析ｘ…得到目标及约束响应ｆｅ（Ｘ川）和 设计点并拟合响应面的问题，笔者改进原算法（改 进ＲＳＭ＋ＳＭ）［８－９］，只在第一次迭代时拟合低保真 （Ｘ ＋ ）√＝１，…，．，。 模型响应面，新算法可用来优化倒角结构和碰撞问 （４）由式（１）更新ｚ： 。和ｚ川ｃｏｒｙ。对目标函数，更 题。文中还将新算法与ＳＲＳＭ和原算法进行对比。 新程序为 ｒ（ｘ，ｚ） ＝［ 洲（Ｚ）一ｆｅ（Ｘ川）］ ＝［Ｃ Ｚ＋Ｃ。一 １ ＳＭ方法和改进ＲＳＭ－Ｉ－ＳＭ方法 ｆｅ（Ｘ川）］ ＝［Ｃ ｚ＋Ｃ ｏ］ ＝÷ｚ 日ｃｚ＋厂ｃｚ＋ １．１ ＳＭ方法 Ｃ ｏ ＿÷ｍｉｎ． （７） 空间映射方法中，高、低保真模型的设计变量分 其中，Ｃ ｏ＝Ｃｏ—ｆｅ（Ｘ川），Ｈ ＝２ＣＣ ＝２Ｃ ｏ ＣＴ． 别为Ｘ，Ｚ，对应响应为 （ ）和Ｒ。（Ｚ）。定义映射函 对约束 ，参数抽取程序为 数使误差平方和ｒ 最小 ，即 Ｐ（ｘ）＝ｍｉｎｒ２（Ｘ，Ｚ）＝ｍｉｎ（Ｒ （Ｘ）一Ｒ （Ｚ））２． （１） ｒ（ｘ，ｚ） ＝ 日ｄ ｚ＋ ｚ＋ｄ＇ｏ２－－￣ｍｉｎ． （８） 第ｋ次迭代高低保真模型设计变量间的映射关系可 其中，ｄ Ｊ０＝ 一 （ ），Ｈ由＝２４ｄ￣ ＝２ｄ Ｊ０ ． 表示为 式（７）和（８）均可通过二次规划（ＱＰ）求解得到 Ｚ＝Ｐ （Ｘ）＝Ｚ ＋ （ — ）． （２） ｚ 。和ｚ： √＝１，…，．，。 式中， 为映射函数的近似雅可比矩阵，可由Ｂｒｏｙ． （５）通过Ｂｒｏｙｄｅｎ形式更新映射矩阵为 Ｂ川ｏｂｊ和 ｄｅｎ形式更新 。 ： ，检查是否收敛，若不满足转步骤（２）。 １．２改进ＲＳＭ＋ＳＭ方法的执行 图１为算法流程。由图１可以看到，虚线为原 （１）通过序列线性规划求解优化模型，第１ 给定 ， ，６ 次迭代将低保真模型目标函数 洲（ ）和约束 髓 （Ｚ）响应面拟合为线性形式，即 — —竺 ：——————：：—： 工：二！：ｉ：＝：＝：： ！：：＝：：： ＝ｚ：＝：＝：。： Ｉ：＝＝ 一一…一． 洲（ｚ）：ＣＴｚ＋ＣＯ； 试验设计，在试验点评价粗糙模型 【 髓 （ｚ）＝ ｚ＋ ， ＝１，…， （３） 拟合目标和响应面 （ｚ）和口 （ｚ） 式中，Ｃ。和 为常数项；Ｃ和 为列向量；．，为约束 数目。 映射精细模型响应面优化模型求 （２）映射低保真模型响应面为高保真模型响应 分析精细模型 面。由映射关系式（２），对目标及约束 分别有 提取响应，ｄ（￡ １）和 （ ） Ｚ＝Ｐ ｏｂｊ（Ｘ）＝ｚ ｏ ＋ ： （Ｘ—Ｘ ）＝曰： Ｘ＋（ｚ：ｂｊ一 ｚ ＝ｍ ｎ ｌ，｜ （ｚ） （ ）ｌ ｏ Ｘ ）， ｚ ＝曩 ｎ ｌ （ｚ）一 （ ） Ｚ＝Ｐ：。 （Ｘ）＝ｚ ｃ。 ＋ ：。 （Ｘ—Ｘ ）：ｎ ｃ。 Ｘ＋ 更新 ，６ ８ 和８ （ｚ： 一 Ｘ ）． （４） 将式（４）引人低保真模型响应面式（３），可得映 射响应面 （ｚ）＝ 洲（Ｐ０ｂｊ（ ））＝Ｃ＿ｒ［ ： Ｘ＋（ｚ０ｂｊ一 ｏ Ｘ ）］＋Ｃｏ＝Ｃ ： Ｘ＋［Ｃ （ｚ： 一 ｏ Ｘ ）＋Ｃｏ］． 图１有约束优化的改进ＲＳＭ＋ＳＭ方法的执行 （５） 方法 返回位置，替代模型响应面每次迭代都要重 Ｒｓ （ ）＝ Ｒｓ （Ｐ：哪（ ））＝ ［ ： Ｘ＋（ｚ ｃ 一 新拟合；而改进程序返回后不再对粗糙模型进行试 维普资讯 http://www.cqvip.com ・９２・ 中国石油大学学报（自然科学版） ２００７年６月 验设计，而只是利用新的ｚ ，ｚ： ，曰 ，曰： 和 。 。更新低保真模型响应面与高保真模型响应面之 间的映射关系．ｐ ｏｂ＋ｊ （ ）和Ｐ： （ ）， ＝１，…， 。由 于原算法每次迭代时，低保真模型响应面及其最优 设计均变化，要实现高、低保真模型问的映射关系调 整并不容易，改进算法则改变了这种情况。 ２算例 ２．１倒角优化 待优化结构见图２。弹性模量Ｅ＝２００ ＧＰａ， ＝ ０．３。结构周向边界固定，绕原点以 ＝３００ ｒａｄ／ｓ转 动。初始设计‰＝０．０５，０．０２≤ ≤０．０８ ＩＴＩ。使倒角 局部应力集中小于 ＝０．２８ ＧＰａ，优化倒角半径 ， 并使结构面积．厂（ ）最小 。 图２倒角半径优化 使用“高保真模型＋ＲＳＭ”（方法１），“子模型 ＋ＲＳＭ＋ＳＭ”（方法２） ，“改进ＲＳＭ＋ＳＭ”（方法 ３）等３种方法进行优化。 使用方法１时，每次迭代将ｆ（ ）拟合为二次函 数，应力ｏｒ 拟合为线性函数，使用序列二次规划寻 优，经８次迭代得 ＝０．０３９２７５。 使用方法２时，每次迭代均用子模型完成目标 和应力约束响应面拟合后，应用空间映射方法完成 由子模型响应面到整体模型响应面的映射，应用ＱＰ 得 …；分析最优点的整体模型；校正子模型设计变 量 ＋１。 使用方法３时，只在第１次迭代分析３次整体 模型并拟合响应面，以后每次迭代分析１次整体模 型用于更新映射关系。由表１中３种方法最优设 计、最大米塞斯应力和计算效率对比可以发现，改进 算法在保证了精度的同时，其模型分析计算量远远 小于序列响应面方法（方法１，２）。 表１三种方法计算结果及效率对比 ２．２碰撞优化 方管碰撞模型见图３。方管轴向长度Ｌ为１５０， 后端固定质量为８０，以％＝１００００撞击刚性墙。设 计变量为边长 及壁厚ｔ，３≤￡≤５，５５≤ ≤６５，初始 设计为 。＝６０，ｔ。＝４。后端施加轴向变形约束６≤ ６５。Ｐ＝７．８３×１０一，Ｅ＝２．１ ＧＰａ， ＝０．３，ｏｒ ＝０．１４ ＭＰａ。在满足变形约束情况下使质量最小，占＝ ０．０００１ 田薹一 Ｉ — —— 图３方管碰撞模型（单位制封闭） 采用改进算法，第１次迭代时精确分析４个试 验点，拟合变形约束线性函数，初始设计为｛４，６０｝， 试验设计及对应变形响应见表２。 表２碰撞优化试验设计及变形响应 变形响应面为 ｄ＝一１０３．８６＋６．６８５ ９ｔ＋０．３１４９９ｗ． 以此响应面为低保真模型约束响应面，应用改进算 法优化，设计变量迭代及变形响应见表３。 表３高保真模型设计变量迭代及变形响应 由表３可发现第３次优化的变形满足约束条 件，最后一次迭代误差远低于收敛误差。变形响应 映射矩阵变化见表４。 维普资讯 http://www.cqvip.com 第３１卷第３期 张立新，等：空间映射与响应面法相结合的改进优化算法 表４变形响应映射矩阵迭代 ・９３・ 通过映射得到的高保真模型变形约束表达式为 Ａｘ￣＜ｂ，其迭代情况见表５。 表５ Ａｘ￣＜ｂ迭代 由表５可以看到，由于第１次迭代映射矩阵为 单位阵，对应的高保真模型的变形约束一次项系数 与ｄ表达式一次项系数完全相同；以后迭代此线性 系数在此基础上调整，而映射得到的约束右端常数 项也趋于稳定。 表６中对比了改进算法和ＳＲＳＭ两种方法的计 算效率。改进算法的模型分析次数远少于ＳＲＳＭ，同 时精度更高，迭代次数越多，改进算法的效率越明显。 表６碰撞模型ＳＲＭ和改进ＲＳＭ＋ＳＭ方法优化对比 ３结束语 改进方法在充分理解空间映射方法原理的基础 上，对原算法流程进行了修改，修改后的算法充分利 用第一次迭代响应面拟合获得的敏度信息，应用空 间映射方法反复将低保真模型映射调整为高保真模 型响应面并优化，而每次迭代的映射调整只需一次 高保真模型分析。由于每次迭代不改变低保真模型 响应面，利于映射关系的调整，计算效率高，同时精 度很高。由于序列响应面方法广泛应用于结构多学 科优化、可靠性评价等领域，使用改进算法可大大降 低计算量，对大型工程问题优化有重要应用价值。 对序列线性规划求解器的推导可以方便地推广到使 用序列二次规划求解器的情况，有待解决的问题是 如何在更新低保真模型设计时求解高次函数（四 次）的最优值。 参考文献： ［１］ＬＩＵ Ｂ，ＨＡＦＴＫＡ ＲＴ，ＡＫＧＵＮ Ｍ Ａ．Ｔｗｏ—ｌｅｖｅｌ ｃｏｍｐｏｓ— ｉｔｅ ｗｉｎｇ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｓｕｒｆａｃｅｓ ［Ｊ］．Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ａｎｄ Ｍｕｌｔｉｄｉｓｃｉｐｌｉｎａｒｙ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ， ２０００，２０（２）：８７—９６， ［２］ ＫＭＩＥＣＩＫ Ｍ，ＧＵＥＤＥＳ Ｓｏａｒｅｓ Ｃ．Ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｓｕｒｆａｃｅ印－ ｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｏｆ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｐｌａｔｅｓ［Ｊ］．Ｍａｒｉｎｅ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，２００２，１５（２）： １３９．１５６． ［３］ ＢＵＳＨＮＥＬＬ Ｄ．Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｖｅ ｐｒｏｇｒａｍ ｏｒ ｍｉｎｉｍｕｍ ｗｅｉｇｈｔ ｄｅｓｉｇｎ ｓｔｉｆｆｅｎｅｄ ｃｙｌｉｎｄｒｉｃａｌ ｐａｎｅｌｓ ａｎｄ ｓｈｅｌｌｓ［Ｊ］．Ｃｏｍ— ｐｕｔｅｒｓ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，１９８３，１６（１３）：１６７—１８５． ［４］ＢＡＫＲ Ｍｏｈａｍｅｄ Ｈ，ＢＡＮＤＬＥＲ Ｊｏｈｎ Ｗ，ＭＡＤＳＥＮ Ｋａｊ， ｅｔ ａ１．Ｒｅｖｉｅｗ ｏｆ ｔｈｅ ｓｐａｃｅ ｍａｐｐｉｎｇ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｅｎｇｉｎｅｅｒ－ ｉｎｇ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｍｏｄｅｌｉｎｇ［Ｊ］．Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｅｎ— ｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０００，１（３）：２４１－２７６． ［５］ＢＡＮＤＬＥＲ Ｊ Ｗ，ＣＨＥＮＧ Ｑ Ｓ，ＨＡＩＬＵ Ｄ Ｍ，ｅｔ １ａ．Ａ ｓｐａｃｅ—ｍａｐｐｉｎｇ ｄｅｓｉｇｎ ｆｒａｍｅｗｏｒｋ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃ— ｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｍｉｃｒｏｗａｖｅ Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ，２００４，５２ （１１）：２６０１－２６１０． ［６］ ＢＡＮＤＬＥＲ Ｊｏｈｎ Ｗ，ＣＨＥＮＧ Ｑｉｎｇｓｈａ Ｓ，ｅｔ ａ１．Ｓｐａｃｅ ｍａｐｐｉｎｇ：ｔｈｅ ｓｔａｔｅ ｏｆ ｔｈｅ ａｒｔ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｍｉｃｒｏｗａｖｅ Ｔｈｅｏｙｒ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ，２００４，５２（１）：３３７— ３６１． ［７］ＬＥＡＲＹ Ｓｔｅｐｈｅｎ Ｊ，ＢＨＡＳＫＡＲ Ａｔｕｌ，ＫＥＡＮＥ Ａｎｄｙ Ｊ．Ａ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ ｍａｐｐｉｎｇ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ａｎ ｅｘｐｅｎｓｉｖｅ ｍｏｄｅｌ ｕｓｉｎｇ ｓｕｒｒｏｇａｔｅｓ［Ｊ］．Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００１，２（４）：３８５—３９８． ［８］ ＪＡＮＳＳＯＮ Ｔ，ＮＩＬＳＳＯＮ Ｌ，ＲＥＤＨＥ Ｍ．Ｕｓｉｎｇ ｓｕｒｒｏｇａｔｅ ｍｏｄｅｌｓ ａｎｄ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｓｕｒｆａｃｅｓ ｉｎ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ－ ｉｗｔｈ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｔｏ ｃｒａｓｈｗｏｒｔｈｉｎｅｓｓ ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ ｓｈｅｅｔ ｍｅｔｌａ ｆｏｒｍｉｎｇ［Ｊ］．Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ａｎｄ Ｍｕｈｉｄｉｓｃｉｐｌｉｎａｒｙ Ｏｐｔｉｍｉｚａ－ ｔｉｏｎ，２００３，２５（２）：１２９—１４０． ［９］ 张立新，高学仕，付志远，等．结合空间映射及响应面 法的结构优化［Ｊ］．石油大学学报：自然科学版，２００５， ２９（３）：９２－９５． ＺＨＡＮＧ Ｌｉ—ｘｉｎ，ＧＡＯ Ｘｕｅ—ｓｈｉ，ＦＵ Ｚｈｉ—ｙｕａｎ，ｅｔ ａ１． Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｐａｃｅ ｍａｐ— ｐｉｎｇ ａｎｄ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｓｕｒｆａｃｅ ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｈｔｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｐｅｔｒｏｌｅｕｍ（Ｅｄｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｎａｔｕｒｌａ Ｓｃｉｅｎｃｅ）， ２００５，２９（３）：９２－９５． （编辑沈玉英）