数列极限概念

一、内容提要 1、数列

（1）数列的定义；（2）数列的表示法；（3）数列的性质 1）单调数列；2）有界数列；3）无界数列； 2、数列的极限

（1）数列收敛与发散的概念；（2）数列极限的“ε−N”定义 3、数列极限的性质

（1）收敛数列极限的唯一性；（2）收敛数列的有界性、保号性； （3）收敛数列的子数列的性质

4、重点提示

（1）理解数列极限的定义；（2）了解收敛数列的性质，并加以应用 二、答疑解惑

问题1 数列{xn}的一般项xn=f(n)是否都能写成解析式？

答：不一定，可以举例来说明. 例如，数列0.9, 0.99, \", 0.99\"9,\"，其一󰀈󰀋󰀉󰀋󰀊

n

般项xn=1−

1

10n

，

于是一般项可写成解析式 f(n)=1−

1

. 又如, 由π的不足n10

近似值构成的有理数序列：3, 3.1, 3.14,\"，这种数列的一般项xn就不能用函数解析式表示.

问题2 怎样认识数列极限? 答：可以从四个方面来考虑这个问题. 第一，研究数列的极限有何意义？

我们来看阿基米德曾经提出的一个问题：把直角三角形的斜边改为弯曲的曲边，这样的几何图形面积怎样计算？（设曲线边为y = x2 ）

1

阿基米德想了一种办法，他将面积S分割为n个矩形面积的叠加：

11121n−121

)× S(n)=0×+()2×+()2×+\"+(

nnnnnnn

初步的结论是：S (n)只是S的近似值，S (n)的值随n的增大而越来越接近

于S. S (n)是一个非常复杂的和式，并不能从S (n)中获取更多的信息. 阿基米

111

德巧妙地计算出 S(n)=(1−)(2−)，于是总面积S与数列

6nn

15111

0,,,\",(1−)(2−),\" 6276nn

1

有密切关系. 从该数列的变化(n增大)中看出，S (n)越来越接近于常数，并且

3

想让它有多接近就会有多接近(只要增大n). 最终，阿基米德从数列的变化规律

1

中确定了总面积S等于.

3 从这个问题看出：所给的几何图形面积本来是一个常数（静止不变的），而得到这个常数的值却是通过研究一个数列的变化趋势（运动过程）来完成的. 这种思想方法逐渐发展成为极限概念. 第二，数列极限的定性描述

定义1：如果n无限增大时，数列{xn}的通项 xn无限趋近于常数a为极限，记作 limxn=a 或xn→a, n→∞，其中n→∞表示n无限增大，此时也称该数

n→∞

列收敛. 如果

时,

2

从定义看出，极限是有限与无限的对立统一. 数列{xn}在n无限增大的过程中，xn是变量，对于每一个有限的n来说，xn又是有限数，它是变量xn在无限变化过程的不同时刻的模写，xn在每一时刻(指n)，既具有相对静止性，又具有绝对运动性，正是这些不同时刻的有限数xn才体现了变量xn的变化过程.

如果数列{xn}以a为极限，则当n无限变大时，变量xn才否定自身转化为有限数a，写不尽的数列 x1,x2,\"反映了变量xn无限变化的过程，而极限a反映了变量xn无限变化的结果. 每个xn都是a的近似值，当

时，

xn−a无限变小.

或者改叙为：当 n充分大时， xn−a充分小.

n充分大反映了从某一时刻以后，变量 xn的变化过程，差值 xn−a充分小，

反映了变量xn与常量a的距离变小的程度. 为了使充分大与充分小作出确切的

3

量的估计，我们来寻求能表示n充分大的时刻N和能表示差值 xn−a小到何种程度的常数ε，即 xn−a<ε.

定义2 （“ε−N定义”）如果对于任意正数ε（无论它有多小），总存在相应的正整数N，使得满足n>N的一切n，能使不等式 xn−a<ε恒成立，则称数列{xn}以a为极限.

这个定义是建立在纯粹算术概念的基础上，它抽象，不如定义1那样易于理解，但没有任何含混不清的东西. 它远离原型，但却能精确地反映原型的本质. 该定义主要是以正数ε和从属于ε的正整数N来构建的. 第四，“ε−N定义”的应用

应用“ε−N”定义来分析数列的极限时，对ε和N要有深刻的认识和理解. 首先, ε具有二重性：即具有随意小的任意性，又具有很小正数的固定性，因为ε可以任意小，所以才能由 xn−a<ε来刻划 xn趋近a的变化趋势；由于ε的固定性，所以才能由 xn−a<ε求得相应的时刻N，从而由 xn−a<ε刻划 xn与a的接近程度.

其次，N是由不等式 xn−a<ε来确定，它与ε相关，有时记作N=N(ε). 一般来讲，ε越小N就越大，而且对应于ε的N不是唯一的，但这丝毫不会影响我们对极限的判断，因为我们所需要是反映变化过程时刻的N的存在性，而不是它的唯一性.

用“ε−N”定义证明 limxn=a的步骤一般可分为三步：第一步，给定任

n→∞

意正数ε；第二步，由 xn−a<ε寻找正整数N（这是关键且困难的一步）；第三步，按照定义模式写出结论。

1+(−1)n

. 例2 用定义证明 limxn=0，其中 xn=

n→∞n

4

⎧0，n=2k−1⎪

证：xn=⎨2

, n=2k⎪n⎩

222

于是xn−0≤, n=1,2,\"，∀ε>0，考察不等式 xn−0≤<ε，解得 n>.

nnε2

因此，取 N=[]，则当n>N时，有 xn−a<ε，即 limxn=0

εn→∞

注意：有时直接从不等式 xn−A<ε中求解N很不方便. 可以将 xn−A适

2

当放大，使 xn−A<βn，再解不等式 βn<ε，而求得N. 在本例中 βn=，从

n

22<ε很方便找到了 N=[].

εn

例3 若{xn}，{yn}都收敛，则{xnyn}也收敛，且 limxnyn=limxnlimyn，

n→∞

n→∞

n→∞

试用定义来证明.

证 设 xn→A,yn→B，于是xn为有界的，即存在正常数M，使 xn≤M.

应用三角不等式，有

xnyn−AB≤xnyn−xnB+xnB−AB≤xnyn−B+xn−AB

对

，有

xn−A<ε，同时也有正整数N2，当n>N2

时，有yn−B<ε. 取N=max{N1,N2}，则当n>N时，有

xnyn−AB≤xnyn−xnB+xnB−AB≤Mε+Bε=ε(M+B)

即有 limxnyn=limxnlimyn=AB

n→∞

n→∞

n→∞

注意：在本例中，我们证明了， ∀ε,∃N>0，当n>N时，有

xnyn−AB<ε(M+B) (而不是 xnyn−AB<ε). 由此，就证明了 limxnyn=AB.

n→∞

5

这是因为ε是任意的正数，故 ε(M+B)也是任意的正数. 他们所起到的作

用是一样的. 问题3 求数列

{{n+1−n的极限，用下面方法做对吗？为什么？

}lim

n→∞

n+1−n=limn+1−limn=∞−∞=0

n→∞n→∞}答：不对，这个问题的结果的确是0，但解题方法有严重错误，其原因在于将符号“ ”误认为是一个数，对它施行了数的运算法则. 事实上，“ ”不是一个数，而是描述变量的变化趋势——变量的绝对值无限增大. 记号“ －

”表示两个绝对值无限增大的变量的差的变化趋势，其结果可能出现各种不同的情形. 在研究它的变化时，不能理解为数的减法（即 － =0），而应研究数列的差的项的特点，找出其变化规律. 例如，本例可以这样做，

n+1−n=

1，由于 n+1+n→∞. 故

n+1+n1∞

=0，类似地，符号“”表示两个绝对值无

∞n+1+n∞

=1”的运算. ∞

lim

n→∞

{n+1−n=limn→∞}限增大的变量之商的变化趋势. 而没有“三、知识拓展

无穷远点的邻域、点列以无穷远点为极限的定义. 1、无穷远点的邻域

点A的ε定义为： O(A,ε)={xx−A<ε}，如图所示：

和建立点A的ε邻域一样，我们来叙述无穷远点的R邻域的概念：

对任一正数R，所有与原点的距离大于R的点的全体称为无穷远点的R邻域，记为O(R,∞)：

O(R,∞)={xx>R}=(−∞,−R)∪(R,+∞)

6

在直线上（如图所示），也就是闭区间[−R,R]以外的所有点

则数列{xn}以a为极限. 实质上，也就是说，对任给定的正数ε，若数列{xn}的 点，从某项xn开始以后的一切点全部落在a的ε邻域(a−ε,a+ε)内（如图），

则称数列xn以a为极限.

类似地，我们可以给出点列以无穷远点为极限的定义；

对任意给定的正数R，若点列xn中的点从某点xN以后的一切点全部落在无

穷远点的R邻域内，则称{xn}以无穷远点为极限，如图所示，上面的定义也可以这样说：对任意给定的正数R，总可以找到正数N，当n>N时，一切xn都落在闭区间[−R,R]之外，即当n>N时，xn>R，则称数列{xn}为无穷大量，记作

limxn=∞，或xn→∞,n→∞

n→∞

从上面定义可知，∞仅仅是一个符号，它不代表任何定数，因此，无穷大量

实际上是没有极限的一种变量，从而它是发散变量的一种. 如果{xn}是无穷大量，也可以说它发散于无穷大，举例来说，数列 －80,40,－40,20,－20,10,－10,5,－5,1,2,…,n,…

给定R＝1000，取N=1009，则当n>N时，xn∈O(∞,1000). 这说明该数发散于∞

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