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2022年江西省中考数学试卷含答案解析

来源：好走旅游网

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绝密★启用前

2022年江西省中考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；…………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列各数中，负数是( ) A. −1

B. 0

C. 2

D. √2

2. 实数𝑎，𝑏在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是( )

A. 𝑎>𝑏 B. 𝑎=𝑏 C. 𝑎<𝑏 D. 𝑎=−𝑏

3. 下列计算正确的是( ) A. 𝑚2⋅𝑚3=𝑚6 B. −(𝑚−𝑛)=−𝑚+𝑛 C. 𝑚(𝑚+𝑛)=𝑚2+𝑛

D. (𝑚+𝑛)2=𝑚2+𝑛2

4. 将字母“𝐶”，“𝐻”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字

母“𝐻”的个数是( )

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

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5. 如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为( )

……线…………○………… A.

6. 甲、乙两种物质的溶解度𝑦(𝑔)与温度𝑡(℃)之间的对应关系如图所示，则下列说

法中，错误的是( )

A. 甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大 B. 当温度升高至𝑡2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大 C. 当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20𝑔 D. 当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7. 因式分解：𝑎2−3𝑎=______． 8. 正五边形的外角和为______度．

9. 已知关于𝑥的方程𝑥2+2𝑥+𝑘=0有两个相等的实数根，则𝑘的值是______．

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…………○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※…不…※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………线…………○………… ……线…………○…………

乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样16010. 甲、

人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样𝑥人，则可列分式方程为______．

11. 沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方

形(如图所示)，则长方形的对角线长为______．

…………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………

12. 已知点𝐴在反比例函数𝑦=

𝑥

(𝑥>0)的图象上，

点𝐵在𝑥轴正半轴上，若△𝑂𝐴𝐵为等腰三角形，且腰长为5，则𝐴𝐵的长为______．三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13. (本小题6.0分)

(1)计算：|−2|+√4−20； (2)解不等式组：{2𝑥<6

3𝑥>−2𝑥+5

．

14. (本小题6.0分)

以下是某同学化简分式(𝑥+1

𝑥2−4−𝑥+2

)÷𝑥−2的部分运算过程：第3页，共24页

……线…………○…………

解：原式=[(𝑥+2)(𝑥−2)−𝑥+2]×3① =[𝑥+11𝑥−2𝑥+1(𝑥+2)(𝑥−2)−解： 𝑥−2](𝑥+2)(𝑥−2)𝑥−2×② 3𝑥+1−𝑥−2𝑥−2=×③ 3(𝑥+2)(𝑥−2)……线…………○………… … (1)上面的运算过程中第______步出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程．

15. (本小题6.0分)

某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选． (1)“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是______事件； A.不可能 B.必然 C.随机

(2)若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率．

16. (本小题6.0分)

如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)．

(1)在图1中作∠𝐴𝐵𝐶的角平分线；

(2)在图2中过点𝐶作一条直线𝑙，使点𝐴，𝐵到直线𝑙的距离相

等．

17. (本小题6.0分)

如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，点𝐸在𝐴𝐶的延长线上，∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐴𝐵𝐸．

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(1)求证：△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴𝐸𝐵；

(2)当𝐴𝐵=6，𝐴𝐶=4时，求𝐴𝐸的长．

18. (本小题8.0分)

如图，点𝐴(𝑚,4)在反比例函数𝑦=𝑘

𝑥(𝑥>0)的图象上，点𝐵在𝑦轴上，𝑂𝐵=2，将

线段𝐴𝐵向右下方平移，得到线段𝐶𝐷，此时点𝐶落在反比例函数的图象上，点𝐷落在𝑥轴正半轴上，且𝑂𝐷=1．

(1)点𝐵的坐标为______，点𝐷的坐标为______，点𝐶的坐标为______(用含𝑚的式子表示)；

(2)求𝑘的值和直线𝐴𝐶的表达式．

19. (本小题8.0分)

课本再现

(1)在⊙𝑂中，∠𝐴𝑂𝐵是𝐴𝐵

⏜所对的圆心角，∠𝐶是𝐴𝐵⏜所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心𝑂与∠𝐶的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明∠𝐶=1

∠𝐴𝑂𝐵；

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……线…………○………… 知识应用

(2)如图4，若⊙𝑂的半径为2，𝑃𝐴，𝑃𝐵分别与⊙𝑂相切于点𝐴，𝐵，∠𝐶=60°，求𝑃𝐴的长．

20. (本小题8.0分)

图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知𝐴𝐵//𝐶𝐷//𝐹𝐺，𝐴，𝐷，𝐻，𝐺四点在同一直线上，测得∠𝐹𝐸𝐶=∠𝐴=72.9°，𝐴𝐷=1.6𝑚，𝐸𝐹=6.2𝑚.(结果保留小数点后一位)

(1)求证：四边形𝐷𝐸𝐹𝐺为平行四边形； (2)求雕塑的高(即点𝐺到𝐴𝐵的距离)．

(参考数据：𝑠𝑖𝑛72.9°≈0.96，𝑐𝑜𝑠72.9°≈0.29，𝑡𝑎𝑛72.9°≈3.25)

21. (本小题9.0分)

在“双减”政策实施两个月后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“‘双减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查(以下将“参加校外学科补习班”简称“报班”)，根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表1和统计图1：整理描述

表1：“双减”前后报班情况统计表(第一组)

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报班数人数类别 “双减”前 “双减”后 102 255 48 15 75 24 51 𝑛 24 0 𝑚 𝑚 0 1 2 3 4及以上合计 …………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………

(1)根据表1，𝑚的值为______，𝑛

𝑚的值为______；分析处理

(2)请你汇总表1和图1中的数据，求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比；

(3)“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图(如图2).请依据以上图表中的信息回答以下问题：

①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为______，“双减”后学生报班个数的众数为______；

②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析(用一句话来概括)．

22. (本小题9.0分)

跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示)，落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡上的基准点𝐾为飞行距离计分的参照点，落地点超过𝐾点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度𝑂𝐴为66𝑚，基准点𝐾到起跳台的水平距离为75𝑚，高度为ℎ𝑚(ℎ为定值).设运动员从起跳点𝐴起跳后的高

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度𝑦(𝑚)与水平距离𝑥(𝑚)之间的函数关系为𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)． (1)𝑐的值为______；

且此时𝑎=−，求基准点𝐾的高度ℎ； 𝑏=，(2)①若运动员落地点恰好到达𝐾点，5010②若𝑎=−50时，运动员落地点要超过𝐾点，则𝑏的取值范围为______； (3)若运动员飞行的水平距离为25𝑚时，恰好达到最大高度76𝑚，试判断他的落地点能否超过𝐾点，并说明理由．

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23. (本小题12.0分)

综合与实践问题提出

某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板𝑃𝐸𝐹(∠𝑃=90°,∠𝐹=60°)的一个顶点放在正方形中心𝑂处，并绕点𝑂逆时针旋转，探究直角三角板𝑃𝐸𝐹与正方形𝐴𝐵𝐶𝐷重叠部分的面积变化情况(已知正方形边长为2)．操作发现

(1)如图1，若将三角板的顶点𝑃放在点𝑂处，在旋转过程中，当𝑂𝐹与𝑂𝐵重合时，重叠部分的面积为______；当𝑂𝐹与𝐵𝐶垂直时，重叠部分的面积为______；一般地，若正方形面积为𝑆，在旋转过程中，重叠部分的面积𝑆1与𝑆的关系为______；类比探究

(2)若将三角板的顶点𝐹放在点𝑂处，在旋转过程中，𝑂𝐸，𝑂𝑃分别与正方形的边相交于点𝑀，𝑁．

①如图2，当𝐵𝑀=𝐶𝑁时，试判断重叠部分△𝑂𝑀𝑁的形状，并说明理由； ②如图3，当𝐶𝑀=𝐶𝑁时，求重叠部分四边形𝑂𝑀𝐶𝑁的面积(结果保留根号)；拓展应用

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(3)若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心𝑂处，该锐角记为∠𝐺𝑂𝐻(设∠𝐺𝑂𝐻=𝛼)，将∠𝐺𝑂𝐻绕点𝑂逆时针旋转，在旋转过程中，∠𝐺𝑂𝐻的两边与正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边所围成的图形的面积为𝑆2，请直接写出𝑆2的最小值与最大值(分别用含𝛼的式子表示)．

(参考数据：𝑠𝑖𝑛15°=√6−√2，𝑐𝑜𝑠15°=√6+√2，𝑡𝑎𝑛15°=2−√3)

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答案和解析

1.【答案】𝐴

【解析】解：−1是负数，2，√2是正数，0既不是正数也不是负数，故选：𝐴．

根据负数的定义即可得出答案．

……线…………○………… 本题考查了实数，掌握在正数前面添加“−”得到负数是解题的关键．

2.【答案】𝐶

【解析】解：根据数轴得：𝑎<𝑏，|𝑎|>|𝑏|，故C选项符合题意，𝐴，𝐵，𝐷选项不符合题意；故选：𝐶．

根据数轴上右边的数总比左边的大即可得出答案．

本题考查了实数与数轴，掌握数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．

3.【答案】𝐵

【解析】解：𝐴选项，原式=𝑚5，故该选项不符合题意； 𝐵选项，原式=−𝑚+𝑛，故该选项符合题意； 𝐶选项，原式=𝑚2+𝑚𝑛，故该选项不符合题意； 𝐷选项，原式=𝑚2+2𝑚𝑛+𝑛2，故该选项不符合题意；故选：𝐵．

根据同底数幂的乘法判断𝐴选项；根据去括号法则判断𝐵选项；根据单项式乘多项式判断𝐶选项；根据完全平方公式判断𝐷选项．

本题考查了整式的混合运算，掌握(𝑎+𝑏)2=𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2是解题的关键．

4.【答案】𝐵

【解析】解：第1个图中𝐻的个数为4，第2个图中𝐻的个数为4+2，第3个图中𝐻的个数为4+2×2，第4个图中𝐻的个数为4+2×3=10，故选：𝐵．

列举每个图形中𝐻的个数，找到规律即可得出答案．

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本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中𝐻的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个𝐻是解题的关键．

5.【答案】𝐴

【解析】解：如图，它的俯视图为：

…………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………故选：𝐴．

根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．

本题考查了简单几何体的三视图，从上边看上边看得到的图形是俯视图．注意看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线．

6.【答案】𝐷

【解析】解：由图象可知，𝐴、𝐵、𝐶都正确，

当温度为𝑡1℃时，甲、乙的溶解度都为30𝑔，故D错误，故选：𝐷．

利用函数图象的意义可得答案．

本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键．

7.【答案】𝑎(𝑎−3)

【解析】解：𝑎2−3𝑎=𝑎(𝑎−3)．故答案为：𝑎(𝑎−3)．直接把公因式𝑎提出来即可．

本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是𝑎是解题的关键．

8.【答案】360

【解析】解：正五边形的外角和为360度，故答案为：360．

根据多边形外角和等于360°即可解决问题．

本题考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是掌握多边形外角和等于360°．

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……线…………○…………

9.【答案】1

【解析】【分析】

本题考查了根的判别式，牢记“当𝛥=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式𝛥=0，即可得出关于𝑘的一元一次方程，解之即可得出𝑘值．【解答】

……线…………○………… 解：∵关于𝑥的方程𝑥2+2𝑥+𝑘=0有两个相等的实数根， ∴𝛥=22−4×1×𝑘=0，解得：𝑘=1．故答案为1．

10.【答案】

160140

𝑥=

𝑥−10 【解析】解：设甲每小时采样𝑥人，则乙每小时采样(𝑥−10)人，根据题意得：

160

140

𝑥=

𝑥−10．故答案为：

160140

𝑥=𝑥−10．

由实际问题找到合适的等量关系即可抽象出分式方程．

本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

11.【答案】√5

【解析】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，则长方形的对角线长=√12+22=√5．故答案为：√5．

根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题．

本题考查了正方形的性质，七巧板，矩形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．

12.【答案】5或2√5或√10 【解析】解：当𝐴𝑂=𝐴𝐵时，𝐴𝐵=5；当𝐴𝐵=𝐵𝑂时，𝐴𝐵=5；

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当𝑂𝐴=𝑂𝐵时，设𝐴(𝑎,∵𝑂𝐴=5，

∴√𝑎2+()2=5，

𝑎

12)(𝑎𝑎>0)，𝐵(5,0)，

解得：𝑎1=3，𝑎2=4， ∴𝐴(3,4)或(4,3)，

∴𝐴𝐵=√(3−5)2+42=2√5或𝐴𝐵=√(4−5)2+32=√10； …………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………综上所述，𝐴𝐵的长为5或2√5或√10．故答案为：5或2√5或√10．

因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．

本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当𝑂𝐴=𝑂𝐵时，求出点𝐴的坐标是解题的关键．

13.【答案】解：(1)原式=2+2−1，

=3．

(2){2𝑥<6①

3𝑥>−2𝑥+5②

解不等式①得：𝑥<3，解不等式②得：𝑥>1，

∴不等式组的解集为：1<𝑥<3．

【解析】(1)根据绝对值的性质，算术平方根的意义，零指数幂的意义解答即可； (2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

14.【答案】③

【解析】解：(1)第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，故答案为：③；

(2)原式=[𝑥+1

𝑥−2

(𝑥+2)(𝑥−2)−𝑥+2]×3， =[𝑥+1

𝑥−2

(𝑥+2)(𝑥−2)−(𝑥+2)(𝑥−2)]×3，

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𝑥+1−𝑥+2𝑥−2

×， (𝑥+2)(𝑥−2)3

𝑥−2

=(𝑥+2)(𝑥−2)×3， =𝑥+2．故答案为：

． 𝑥+2

根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可． ……线…………○………… 本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．

15.【答案】𝐶

【解析】解：(1)随机抽取1人，甲恰好被抽中”是随机事件；故答案为：𝐶；

(2)设甲是共青团员用𝑇表示，其余3人均是共产党员用𝐺表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，如图所示：

它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都是共产党员的(记为事件𝐴)的结果有6种，则𝑃(𝐴)=6

12=2，

(1)根据随机事件的定义即可解决问题；

(2)从甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，设甲是共青团员用𝑇表示，其余3人均是共产党员用𝐺表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，然后利用树状图即可解决问题．

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，随机事件．解决本题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

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16.【答案】解：(1)如图1中，射线𝐵𝑃即为所求；

(2)如图2中，直线𝑙即为所求．

…………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………【解析】(1)连接𝐴𝐶，取𝐴𝐶的中点𝑃，作射线𝐵𝑃即可； (2)利用是相结合的射线画出图形即可．

本题考查作图−应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

17.【答案】(1)证明：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，

∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐴， ∵∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐴𝐵𝐸， ∴∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐴𝐵𝐸， ∵∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐵， ∴△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴𝐸𝐵； (2)解：∵△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴𝐸𝐵， ∴

𝐴𝐵𝐴𝐸=

𝐴𝐶𝐴𝐵， ∵𝐴𝐵=6，𝐴𝐶=4， ∴6

𝐴𝐸=6， ∴𝐴𝐸=364=9．

【解析】(1)根据两角相等可得两三角形相似； (2)根据(1)中的相似列比例式可得结论．

本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．

18.【答案】(1)(0,2)；(1,0)；(𝑚+1,6)

(2)𝑦=2𝑥+10

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……线…………○…………

【解析】解：(1)由题意得：𝐵(0,2)，𝐷(1,0)，

由平移可知：线段𝐴𝐵向下平移2个单位，再向右平移1个单位， ∵点𝐴(𝑚,4)， ∴𝐶(𝑚+1,6)，

故答案为：(0,2)，(1,0)，(𝑚+1,6)； (2)∵点𝐴和点𝐶在反比例函数𝑦=的图象上， 𝑘𝑥

……线…………○………… ∴𝑘=4𝑚=6(𝑚+1)， ∴𝑚=−3，

∴𝐴(−3,4)，𝐶(−2,6)， ∴𝑘=−3×4=−12，

设直线𝐴𝐶的表达式为：𝑦=𝑚𝑥+𝑏， ∴{

−3𝑚+𝑏=4

−2𝑚+𝑏=6

，

解得：{𝑚=2

𝑏=10

，

∴直线𝐴𝐶的表达式为：𝑦=2𝑥+10．

(1)根据𝑂𝐵=2可得点𝐵的坐标，根据𝑂𝐷=1可得点𝐷的坐标为(1,0)，由平移规律可得点𝐶的坐标；

(2)根据点𝐶和𝐷的坐标列方程可得𝑚的值，从而得𝑘的值，再利用待定系数法可得直线𝐴𝐶的解析式．

此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质，根据𝑂𝐵和𝑂𝐷的长得出平移的规律是解题关键．

19.【答案】解：(1)①如图2，连接𝐶𝑂，并延长𝐶𝑂交⊙𝑂于点𝐷，

∵𝑂𝐴=𝑂𝐶=𝑂𝐵，

∴∠𝐴=∠𝐴𝐶𝑂，∠𝐵=∠𝐵𝐶𝑂，

∵∠𝐴𝑂𝐷=∠𝐴+∠𝐴𝐶𝑂=2∠𝐴𝐶𝑂，∠𝐵𝑂𝐷=∠𝐵+∠𝐵𝐶𝑂=2∠𝐵𝐶𝑂，

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∴∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴𝑂𝐷+∠𝐵𝑂𝐷=2∠𝐴𝐶𝑂+2∠𝐵𝐶𝑂=2∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝑂𝐵；

如图3，连接𝐶𝑂，并延长𝐶𝑂交⊙𝑂于点𝐷，

…………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………∵𝑂𝐴=𝑂𝐶=𝑂𝐵，

∴∠𝐴=∠𝐴𝐶𝑂，∠𝐵=∠𝐵𝐶𝑂，

∵∠𝐴𝑂𝐷=∠𝐴+∠𝐴𝐶𝑂=2∠𝐴𝐶𝑂，∠𝐵𝑂𝐷=∠𝐵+∠𝐵𝐶𝑂=2∠𝐵𝐶𝑂， ∴∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴𝑂𝐷−∠𝐵𝑂𝐷=2∠𝐴𝐶𝑂−2∠𝐵𝐶𝑂=2∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝐴𝐶𝐵=12

∠𝐴𝑂𝐵；

(2)如图4，连接𝑂𝐴，𝑂𝐵，𝑂𝑃，

∵∠𝐶=60°，

∴∠𝐴𝑂𝐵=2∠𝐶=120°，

∵𝑃𝐴，𝑃𝐵分别与⊙𝑂相切于点𝐴，𝐵，

∴∠𝑂𝐴𝑃=∠𝑂𝐵𝑃=90°，∠𝐴𝑃𝑂=∠𝐵𝑃𝑂=1

∠𝐴𝑃𝐵=1

22(180°−120°)=30°，∵𝑂𝐴=2， ∴𝑂𝑃=2𝑂𝐴=4， ∴𝑃𝐴=√42−22=2√3．

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……线…………○…………

【解析】(1)①如图2，当点𝑂在∠𝐴𝐶𝐵的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论；②如图3，当𝑂在∠𝐴𝐶𝐵的外部时，作直径𝐶𝐷，同理可得结论； (2)如图4，先根据(1)中的结论可得∠𝐴𝑂𝐵=120°，由切线的性质可得∠𝑂𝐴𝑃=∠𝑂𝐵𝑃=90°，可得∠𝑂𝑃𝐴=30°，从而得𝑃𝐴的长．

本题考查了切线的性质，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键．

……线…………○………… 20.【答案】(1)证明：∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，

∴∠𝐶𝐷𝐺=∠𝐴， ∵∠𝐹𝐸𝐶=∠𝐴， ∴∠𝐹𝐸𝐶=∠𝐶𝐷𝐺， ∴𝐸𝐹//𝐷𝐺， ∵𝐹𝐺//𝐶𝐷，

∴四边形𝐷𝐸𝐹𝐺为平行四边形； (2)解：如图，过点𝐺作𝐺𝑃⊥𝐴𝐵于𝑃，

∵四边形𝐷𝐸𝐹𝐺为平行四边形， ∴𝐷𝐺=𝐸𝐹=6.2， ∵𝐴𝐷=1.6，

∴𝐴𝐺=𝐷𝐺+𝐴𝐷=6.2+1.6=7.8， 𝑅𝑡△𝐴𝑃𝐺中，𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑃𝐺𝐴𝐺， ∴𝑃𝐺

7.8=0.96，

∴𝑃𝐺=7.8×0.96=7.488≈7.5．答：雕塑的高为7.5𝑚．

【解析】(1)根据平行四边形的定义可得结论；

(2)过点𝐺作𝐺𝑃⊥𝐴𝐵于𝑃，计算𝐴𝐺的长，利用∠𝐴的正弦可得结论．

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本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，正确作辅助线构建直角三角形解决问题．

21.【答案】300 0.02 1 0

【解析】解：(1)𝑚=102+48+75+51+24=300， 𝑛=𝑚−(255+15+24)=6， ∴==0.02， 𝑛

…………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………𝑚300故答案为：300；0.02； (2)汇总表1和图1可得：

0 1 2 3 4及以上总数 “双减”前 172 82 118 82 46 500 “双减”后 423 24 40 12 1 500 12

500×100%=24%，

答：“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比为24%；

(3)①“双减”前共调查500个数据，从小到大排列后，第250个和第251个数据均为1， ∴“双减”前学生报班个数的中位数为1， “双减”后学生报班个数出现次数最多的是0， ∴“双减”后学生报班个数的众数为0，故答案为：1；0；

②从“双减”前后学生报班个数的变化情况说明：“双减”政策宣传落实到位，参加校外培训机构的学生大幅度减少，“双减”取得了显著效果．

(1)将表1中“双减前”各个数据求和确定𝑚的值，然后再计算求得𝑛值，从而求解； (2)通过汇总表1和图1求得“双减后”报班数为3的学生人数，从而求解百分比； (3)①根据中位数和众数的概念分析求解；

②根据“双减”政策对学生报班个数的影响结果角度进行分析说明．

本题考查统计的应用，理解题意，对数据进行采集和整理，掌握中位数和众数的概念是解题关键．

22.【答案】66 𝑏>9

【解析】解：(1)∵起跳台的高度𝑂𝐴为66𝑚， ∴𝐴(0,66)，

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……线…………○…………

把𝐴(0,66)代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐得： 𝑐=66，故答案为：66； (2)①∵𝑎=−

，𝑏509

， 10∴𝑦=−50𝑥2+10𝑥+66，

∵基准点𝐾到起跳台的水平距离为75𝑚， ……线…………○………… ∴𝑦=−1

50×752+10×75+66=21， ∴基准点𝐾的高度ℎ为21𝑚； ②∵𝑎=−

50， ∴𝑦=−1

50𝑥2+𝑏𝑥+66， ∵运动员落地点要超过𝐾点， ∴𝑥=75时，𝑦>21，即−

50×752+75𝑏+66>21，

解得𝑏>

，故答案为：𝑏>9

；

(3)他的落地点能超过𝐾点，理由如下：

∵运动员飞行的水平距离为25𝑚时，恰好达到最大高度76𝑚， ∴抛物线的顶点为(25,76)，

设抛物线解析式为𝑦=𝑎(𝑥−25)2+76，把(0,66)代入得： 66=𝑎(0−25)2+76，解得𝑎=−

125， ∴抛物线解析式为𝑦=−2

125(𝑥−25)2+76，当𝑥=75时，𝑦=−2125

×(75−25)2

+76=36，

∵36>21，

∴他的落地点能超过𝐾点．

(1)根据起跳台的高度𝑂𝐴为66𝑚，即可得𝑐=66；

(2)①由𝑎=−1

50，𝑏=10，知𝑦=−50𝑥2+10𝑥+66，根据基准点𝐾到起跳台的水平距

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离为75𝑚，即得基准点𝐾的高度ℎ为21𝑚；

②运动员落地点要超过𝐾点，即是𝑥=75时，𝑦>21，故−50×752+75𝑏+66>21，即可解得答案；

(3)运动员飞行的水平距离为25𝑚时，恰好达到最大高度76𝑚，即是抛物线的顶点为(25,76)，设抛物线解析式为𝑦=𝑎(𝑥−25)2+76，可得抛物线解析式为𝑦=−25)2+76，当𝑥=75时，𝑦=36，从而可知他的落地点能超过𝐾点．

(𝑥−125

…………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．

23.【答案】1 1 𝑆1=1

4𝑆

【解析】解：(1)如图1，若将三角板的顶点𝑃放在点𝑂处，在旋转过程中，当𝑂𝐹与𝑂𝐵重合时，𝑂𝐸与𝑂𝐶重合，此时重叠部分的面积=△𝑂𝐵𝐶的面积=14

正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积=1；当𝑂𝐹与𝐵𝐶垂直时，𝑂𝐸⊥𝐵𝐶，重叠部分的面积=1

正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积=1；一般地，若正方形面积为𝑆，在旋转过程中，重叠部分的面积𝑆1与𝑆的关系为𝑆1=1

4𝑆. 理由：如图1中，设𝑂𝐹交𝐴𝐵于点𝐽，𝑂𝐸交𝐵𝐶于点𝐾，过点𝑂作𝑂𝑀⊥𝐴𝐵于点𝑀，𝑂𝑁⊥𝐵𝐶于点𝑁．

∵𝑂是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的中心， ∴𝑂𝑀=𝑂𝑁，

∵∠𝑂𝑀𝐵=∠𝑂𝑁𝐵=∠𝐵=90°， ∴四边形𝑂𝑀𝐵𝑁是矩形， ∵𝑂𝑀=𝑂𝑁，

∴四边形𝑂𝑀𝐵𝑁是正方形， ∴∠𝑀𝑂𝑁=∠𝐸𝑂𝐹=90°，

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……线…………○…………

∴∠𝑀𝑂𝐽=∠𝑁𝑂𝐾， ∵∠𝑂𝑀𝐽=∠𝑂𝑁𝐾=90°， ∴△𝑂𝑀𝐽≌△𝑂𝑁𝐾(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝑆△𝑃𝑀𝐽=𝑆△𝑂𝑁𝐾，

∴𝑆四边形𝑂𝐾𝐵𝐽=𝑆正方形𝑂𝑀𝐵𝑁=4𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷， ∴𝑆1=4𝑆.

……线…………○………… 故答案为：1，1，𝑆1=1

𝑆.

(2)①如图2中，结论：△𝑂𝑀𝑁是等边三角形．

理由：过点𝑂作𝑂𝑇⊥𝐵𝐶， ∵𝑂是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的中心， ∴𝐵𝑇=𝐶𝑇， ∵𝐵𝑀=𝐶𝑁， ∴𝑀𝑇=𝑇𝑁， ∵𝑂𝑇⊥𝑀𝑁， ∴𝑂𝑀=𝑂𝑁， ∵∠𝑀𝑂𝑁=60°， ∴△𝑀𝑂𝑁是等边三角形；

②如图3中，连接𝑂𝐶，过点𝑂作𝑂𝐽⊥𝐵𝐶于点𝐽．

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…………○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装……※※……在※……※…装要※装…※……不※……※请……※…○※○……………………内外……………………○○……………………线…………○………… ……线…………○…………

…………○○…… …____…_…___…_…__：…订号…考订__…_…____…_…___……：级…○班_○_…___…_…____…_…：……名姓…装____装_…___…_…__:校……学………○○……………………外内……………………○○………………∵𝐶𝑀=𝐶𝑁，∠𝑂𝐶𝑀=∠𝑂𝐶𝑁，𝑂𝐶=𝑂𝐶， ∴△𝑂𝐶𝑀≌△𝑂𝐶𝑁(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐶𝑂𝑀=∠𝐶𝑂𝑁=30°， ∴∠𝑂𝑀𝐽=∠𝐶𝑂𝑀+∠𝑂𝐶𝑀=75°， ∵𝑂𝐽⊥𝐶𝐵，

∴∠𝐽𝑂𝑀=90°−75°=15°， ∵𝐵𝐽=𝐽𝐶=𝑂𝐽=1， ∴𝐽𝑀=𝑂𝐽⋅𝑡𝑎𝑛15°=2−√3，

∴𝐶𝑀=𝐶𝐽−𝑀𝐽=1−(2−√3)=√3−1， ∴𝑆四边形𝑂𝑀𝐶𝑁=2×1

2×𝐶𝑀×𝑂𝐽=√3−1．

(3)如图4−1中，过点𝑂作𝑂𝑄⊥𝐵𝐶于点𝑄，当𝐵𝑀=𝐶𝑁时，△𝑂𝑀𝑁的面积最小，即𝑆2最小．

在𝑅𝑡△𝑀𝑂𝑄中，𝑀𝑄=𝑂𝑄⋅tan𝛼𝛼

2=tan2， ∴𝑀𝑁=2𝑀𝑄=2𝑡𝑎𝑛𝛼

2，

∴𝑆2=𝑆△𝑂𝑀𝑁=1

𝛼

2×𝑀𝑁×𝑂𝑄=tan2．

第23页，共24页

……线…………○…………

如图4−2中，当𝐶𝑀=𝐶𝑁时，𝑆2最大．

……线…………○………… 同法可证△𝐶𝑂𝑀≌△𝐶𝑂𝑁， ∴∠𝐶𝑂𝑀=1

2𝛼， ∵∠𝐶𝑂𝑄=45°， ∴∠𝑀𝑂𝑄=45°−12𝛼，

𝑄𝑀=𝑂𝑄⋅tan(45°−1

2𝛼)=tan(45°−2𝛼)， ∴𝑀𝐶=𝐶𝑄−𝑀𝑄=1−tan(45°−12𝛼)，

∴𝑆2=2𝑆△𝐶𝑀𝑂=2×1×𝐶𝑀×𝑂𝑄=1−tan(45°−12

𝛼)．

(1)如图1，若将三角板的顶点𝑃放在点𝑂处，在旋转过程中，当𝑂𝐹与𝑂𝐵重合时，𝑂𝐸与𝑂𝐶重合，此时重叠部分的面积=△𝑂𝐵𝐶的面积=14

正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积=1；当𝑂𝐹与𝐵𝐶垂直时，𝑂𝐸⊥𝐵𝐶，重叠部分的面积=14正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积=1；一般地，若正方形面积为𝑆，在旋转过程中，重叠部分的面积𝑆1与𝑆的关系为𝑆1=1

4𝑆.利用全等三角形的性质证明即可；(2)①结论：△𝑂𝑀𝑁是等边三角形．证明𝑂𝑀=𝑂𝑁，可得结论；

②如图3中，连接𝑂𝐶，过点𝑂作𝑂𝐽⊥𝐵𝐶于点𝐽.证明△𝑂𝐶𝑀≌△𝑂𝐶𝑁(𝑆𝐴𝑆)，推出∠𝐶𝑂𝑀=∠𝐶𝑂𝑁=30°，解直角三角形求出𝑂𝐽，即可解决问题；

(3)如图4−1中，过点𝑂作𝑂𝑄⊥𝐵𝐶于点𝑄，当𝐵𝑀=𝐶𝑁时，△𝑂𝑀𝑁的面积最小，即𝑆2最小．如图4−2中，当𝐶𝑀=𝐶𝑁时，𝑆2最大．分别求解即可．

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

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…………○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※…不…※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○………………

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