例谈解含线段中点几何问题的常用对策

例谈解含线段中点几何问题的常用对策

与中点有关的的几何题，是学生数学学习中的一个重难点，需要通过作辅助线构造中线或者其它相关图形，才能顺利解题。本文结合具体的例题，探讨一下含线段中点的几何问题的一些常用策略，以期对这类问题的解决有一个清晰的思路和步骤，对于今后的教学和问题的解决将产生积极的推进作用。

标签：线段中点；底边中线；构造；转化；斜边中线；中位线

解初中几何体时，经常出现“线段的中点”这个条件，这不仅能得到线段相等的结论，往往还需要添加辅助線才能解答，下面举例谈谈解决这类问题的常用辅助线及解题策略：

1、等腰三角形中有底边中点时常作底边中线

出现等腰三角形底边中点时，常用辅助线是连接顶角顶点和底边中点得到中线，运用三线合一的性质解题。

例1，如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

求证：DE=DF；分析：由于D为底边中点，所以可以考虑连接AD，利用等腰三角形三线合一得AD平分∠BAC，再利用角平分线的性质得到DE=DF。

2、有中线时可延长中线，构造全等三角形或平行四边形

当条件中出现三角形中线时，往往延长中线使延长部分等于中线长，从而构造全等三角形或平行四边形，这种辅助线的方法叫“倍长中线法”。

例2，在△ABC中，D为BC的中点，AB=5，AD=6，AC=13.试判断AD与AB的位置关系.

分析：AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE=AD，则△ADC≌△EDB，从而的BE=AC=13，DE=AD=6，AE=12，又AC=13，由勾股定理的逆定理可得∠BEA=90°，从而得AD⊥AB.

3、出现梯形一腰中点时常见的辅助线是连接上底的另一顶点与中点并延长与下底相交一点，构造全等三角形，将梯形转化为三角形。

例3.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE.求证：AD+BC=DC.

分析：延长DE交CB的延长线于F，则易证△AED≌△BEF，从而得AD=BF，

DE=EF，又DE⊥CE，得CE是DF的垂直平分线，所以可得CD=CF=BC+BF=BC+AD.

4、直角三角形中有斜边中点时经常作斜边中线

例4.在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，E、F分别是对角线AC、BD的中点。

求证：EF⊥BD

分析：连接BE，ED，根据∠ABC=∠ADC=90°且E为AC中点，求证△BED是等腰三角形，再利用等腰三角形的高，中线，角平分线三线合一的性质即可得出结论.

5、有中点时构造中位线

5.1当含中点的线段是同一三角形的边时，直接连接两个中点得三角形中位线，从而利用中位线性质解题。

例5.如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、

CE相交于G.求证：。

5.2当含中点的两条线段不是同一三角形的边时，通过连其中一条线段的一个端点与另一中点并延长，使它成为新线段的中点，从而利用中位线性质解题或可以再取另一线段的中点构造中位线。

例6.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD别是对角线AC，BD的中点.求证：EF=（BC-AD）

例7.如图，四边形ABCD中，AB=CD，F、E分别为BC、AD的中点，BA、EF 的延长线相交于P，CD、EF的延长线相交于点Q，求证：∠P=∠CQF.

分析 如图，连接BD，取BD的中点M，连接FM、EM.利用三角形中位线定理证得△EMF是等腰三角形，则∠MEF=∠MFE.利用三角形中位线定理、平行线的性质推知∠MEF=∠P，∠MFE=∠CQF.根据等量代换证得∠P=∠CQF.

上面介绍了有关线段中点的五种常用解题方法，这些方法在求证线段中点或线段倍分问题中也可使用。

总之，我们要根据题目条件，采取适当的方法，灵活运用相关的性质，使问题明朗化，简单化。从而进一步提高分析问题解决问题的能力。