倒数第5天 解析几何
[保温特训]
1．若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，则实数a＝________.
解析 由a(a－1)－2×1＝0得：a＝－1，或a＝2，验证，当a＝2时两直线重合，当a＝－1时两直线平行． 答案 －1
2．当直线l：y＝k(x－1)＋2被圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝5截得的弦最短时，k的值为________．
解析 依题意知直线l过定点P(1,2)，圆心C(2,1)，由圆的几何性质可知，当2－1
圆心C与点P的连线l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短，则k·＝－1，
1－2得k＝1. 答案 1
3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为23，则a＝________.
22
x＋y＋2ay－6＝0，112解析 由22得2ay＝2，即y＝a，则a＋(3)2＝22，解
x＋y＝4，
得a＝1. 答案 1
4．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为________．
解析 椭圆的焦距为4，所以2c＝4，c＝2因为准线为x＝－4，所以椭圆的a2
焦点在x轴上，且－c＝－4，所以a2＝4c＝8，b2＝a2－c2＝8－4＝4，所以x2y2
椭圆的方程为8＋4＝1. x2y2
答案 8＋4＝1
x2y2
5．直线x－2y＋2＝0经过椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为________．
1
解析 直线x－2y＋2＝0与坐标轴的交点为(－2，0)，(0,1)，依题意得， 25
c＝2，b＝1⇒a＝5⇒e＝5. 25
答案 5
x2y2
6．椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为________． 解析 不妨设|F1F2|＝1.∵直线MF2的倾斜角为120°，∴∠MF2F1＝60°，∴|MF2|＝2，|MF1|＝3，2a＝|MF1|＋|MF2|＝c
2＋3，2c＝|F1F2|＝1，∴e＝a＝2－3. 答案 2－3
7．已知点P(a，b)关于直线l的对称点为P′(b＋1，a－1)，则
圆C：x2＋y2－6x－2y＝0关于直线l对称的圆C′的方程为________． 解析 由圆C：x2＋y2－6x－2y＝0得，圆心坐标为(3,1)，半径r＝10，所以对称圆C′的圆心为(1＋1,3－1)即(2,2)，所以(x－2)2＋(y－2)2＝10. 答案 (x－2)2＋(y－2)2＝10
8．在△ABC中，∠ACB＝60°，sin A∶sin B＝8∶5，则以A，B为焦点且过点C的椭圆的离心率为________． 解析 设BC＝m，AC＝n，则
m8222
＝，m＋n＝2a，(2c)＝m＋n－2mncos 60°， n5
16101967
先求得m＝13a，n＝13a，代入得4c2＝169a2，e＝13. 答案
7 13
9．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4，0)，C(4,0)，顶点B在sin A＋sin Cx2y2
椭圆25＋9＝1上，则等于________．
sin Bsin A＋sin Ca＋c105
解析 由正弦定理得＝b＝8＝4.
sin B5
答案 4
2
x2y2
10．双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是________．
x2y2b
解析 双曲线a2－b2＝1的一条渐近线为y＝ax，点(1,2)在该直线的上方，由bb22
线性规划知识，知：2＞a，所以e＝1＋a＜5，故e∈(1，5)．
答案 (1，5)
x2y2
11．已知双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为________．
2
aa
解析 由题意知：B－c，0，A(a,0)，F(c,0)，则2a＝c－c，
即e2－2e－1＝0，解得e＝2＋1. 答案
2＋1
12．过直线l：y＝2x上一点P作圆C：(x－8)2＋(y－1)2＝2的切线l1，l2，若l1，l2关于直线l对称，则点P到圆心C的距离为________．
解析 根据平面几何知识可知，因为直线l1，l2关于直线l对称，所以直线l1，l2关于直线PC对称并且直线PC垂直于直线l，于是点P到点C的距离即为|2×8－1|
圆心C到直线l的距离，d＝＝35.
12＋22答案 35
13．已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l：x＝2. (1)求椭圆的标准方程；
(2)设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值． 解 (1)∵椭圆C的短轴长为2，椭圆C的一条准线为l：x＝2， x22
∴不妨设椭圆C的方程为a2＋y＝1. a21＋c
∴c＝c＝2，即c＝1.
3
2
x22
∴椭圆C的方程为2＋y＝1.
(2)F(1,0)，右准线为l：x＝2，设N(x0，y0)，
y0y0
则直线FN的斜率为kFN＝，直线ON的斜率为kON＝x，
x0－10∵FN⊥OM，
x0－1
∴直线OM的斜率为kOM＝－y，
0
x0－12x0－1
. ∴直线OM的方程为：y＝－yx，点M的坐标为M2，－
y002x0－1
y0＋y
0
∴直线MN的斜率为kMN＝.
x0－2∵MN⊥ON，∴kMN·kON＝－1， 2x0－1y0＋y
y00
∴·x0＝－1， x0－2∴y20＋2(x0－1)＋x0(x0－2)＝0，
2
即x20＋y0＝2.∴ON＝2为定值．
[知识排查]
1．用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时，易忽略斜率不存在的情况． 2．判断两直线的位置关系时，注意系数等于零时的讨论．
3．直线的斜率公式，点到直线的距离公式，两平行线间的距离公式记住了吗？ 4．直线和圆的位置关系利用什么方法判定(圆心到直线的距离与圆的半径的比较)？两圆的位置关系如何判定？
5．截距是距离吗？“截距相等”意味着什么？
c
6．记得圆锥曲线方程中的a，b，c，p，a的意义吗？弦长公式记熟了吗？ 7．离心率的大小与曲线的形状有何关系？等轴双曲线的离心率是多少？ 8．在椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点，三点连线所组成的直角三角形． 9．在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式Δ≥0的限制．(求交点、弦长、中点、斜率、对称，存在性问题都在Δ>0 下进行)
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