2019-2020学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九年级(上)开学数学试卷(解析版)

开学数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分） 1．（3分）下列方程是一元二次方程的是( ) A．ax2bxc0 C．x32x40

B．3x22x3(x22) D．(x1)210

2．（3分）下列银行标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

3．（3分）下列有关圆的一些结论，其中正确的是( ) A．任意三点可以确定一个圆

B．相等的圆心角所对的弧相等

C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．圆内接四边形对角互补

4．（3分）关于一组数据： 1 ， 5 ， 6 ， 3 ， 5 ，下列说法错误的是(

)

A ． 平均数是 4 B ． 众数是 5 C ． 中位数是 6 D ． 方差是 3.2

5．（3分）观察下列每个图形及相应推出的结论，其中正确的是( )

A．AB的度数为40AOB80

B．

AOBAOBABAB

C．ADBCABCD D．MN垂直平分

ADMAME

2x1x2的值为( ) 6．（3分）一元二次方程x24x20的两个根为x1，x2，则x12x2A．2 B．6 C．8 D．14

117．（3分）函数yx23与yx22的图象的不同之处是( )

33A．对称轴 B．开口方向 C．顶点 D．形状

8．（3分）如图，AB是O的直径，CD是O的弦，如果ACD34，那么BAD等于

( )

A．34

B．46

C．56

D．66

9．（3分）把抛物线y3x2先向上平移2个单位，再向右平移2个单位，所得的抛物线的解析式为( ) A．y3(x2)22

B．y3(x2)22 C．y3(x2)22D．y3(x2)22

10．（3分）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为

yax2bxc(a0)、若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( ) A．第8秒

B．第10秒

C．第12秒

D．第15秒

11．（3分）若b0，则一次函数yaxb与二次函数yax2bxc在同一坐标系内的图象可能是( )

A． B．

C． D．

12．（3分）已知二次函数yx2bx1与一次函数y2x交点关于原点对称，当t剟xt1时二次函数yx2bx1最小值是2，则t的值是( ) A．1

B．1或3

C．2

D．3或2

二、填空题（本大题共6小题，共18分） 13．（3分）分解因式：mx26mx9m ． 14．（3分）函数y2x1中，自变量x的取值范围是 ． x215．（3分）点A(a1,5)与点B(3,1b)关于原点对称，则ab的值为 ．

16．（3分）如图，已知AB3，AC1，D90，DEC 与ABC关于点C成中心对称，则AE的长是 ．

17．（3分）已知圆锥的底面积为16cm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是 cm2． 18．（3分）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为 ．

三、解答题（本题共8个小题，共66分，19、20题各6分，21、22题各8分，23、24题各9分，25、26题各10分） 19．（6分）解方程：

（1）x26x925 （2）3x24x20 20．（6分）化简，求值：(xx2x1，其中x． )x1x1x1221．（8分）为了解某校九年级学生的身高情况，随机抽取部分学生的身高进行调查，利用所得数据绘成如图统计图表： 频数分布表

身高分组 x155 频数 5 a 百分比 10% 20% 30% b 155„x160 160„x165 15 14 6 165„x170 x…170 总计 （1）填空：a ，b ； （2）补全频数分布直方图；

12% 100% （3）该校九年级共有600名学生，估计身高不低于165cm的学生大约有多少人？

22．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点D在以AB为直径的QO上． （1）若直线CD是O的切线，求BAD的度数；

（2）在（1）的条件下，若O的半径为1，求图中阴影部分的周长．

23．（9分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某新能源汽车4S店的汽车销量自2017年起逐月增加．据统计，该店1月份销售新能源汽车64辆，3月份销售了100辆．

（1）求该店1月份到3月份新能源汽车销售的月均增长率．

（2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备再购进300辆新能源汽车，分为A，B两种型号．已知A型车的进价为12万元/辆，售价为15万元/辆，B型车的进价为20万元/辆，售价为25万元/辆（根据销售经验，购进A型车的数量不少于B型车的2倍），假设所购进车辆能够全部售完，为使利润最大，该店应购进A，B两种型号车各多少辆？最大利润为多少？

24．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A(8,0)，B(0,6)，ABO的角平分线交ABO的外接圆M于点D，连接OD，C为x正半轴上一点． （1）求M的半径； （2）若OC9，求证：OBCODB； 2（3）若I为ABO的内心，求点D到点I的距离．

25．（10分）已知二次函数yax2bxc，点P(x0，y0)为此抛物线上的一点，若函数

（Ⅱ）函数ymxn的图象经过点P(x0，ymxn满足以下两个条件：(I)m2ax0b；

． y0)；我们就称函数ymxn为二次函数yax2bxc上关于P(x0，y0)的“锦鲤函数”（1）已知二次函数yx22x3，点P(求二次函数yx22x32,)y0为此抛物线上一点，关于点P(2,y0)的“锦鲤函数”解析式；

（2）若P(x0，y0)为二次函数yax2bxc任意一点，函数ymxn为二次函数

yax2bxc上关于P(x0，y0)的“锦鲤函数”，请判断函数ymxn与二次函数yax2bxc图象交点个数，请说明理由；

222（3）已知P(k,y上的一点，若常数k满足0)为抛物线上yx(k1)x(k2k2)6k25k1„0，求二次函数yx2(k21)x(k22k2)上关于P(k,y0)的“锦鲤函数”

图象与坐标轴所围成三角形面积s的取值范围．

26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数yax2bxc(a0，b0，c0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点(x1x2)，与y轴交于点C，一次函数yaxa交y轴于点D，交二次函数yax2bxc于E、F两点． （1）若A(1,0)，B(4,0)，C(0,2)，回答下列问题： ①请写出二次函数的解析式 ，对称轴是： ； ②请判断ABC的形状： ；

（2）如果ABC是直角三角形且ACB90

①问：ac是定值吗？如果是，请求出此定值并要有推导的过程；如果不是，也请说明理由或举出反例；

②若点D在ABC外接圆M上，AB3，试确定a，b，c的值；

③已点P(2,c4)关于原点的对称点Q在二次函数的图象上，记以E、F、O三点为顶点的三角形面积为s，求s的取值范围．

2019-2020学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九年

级（上）开学数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，共36分） 1．（3分）下列方程是一元二次方程的是( ) A．ax2bxc0 C．x32x40

【分析】一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程；

（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：A、当a0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；

B、由原方程得到2x60，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项错误；C、未知数最高次数是3，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；

B．3x22x3(x22) D．(x1)210

D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；

故选：D．

【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2bxc0（且a0)．特别要注意a0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．

2．（3分）下列银行标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 ．

【解答】解：A、是轴对称图形， 不是中心对称图形， 故此选项错误；

B、是轴对称图形， 也是中心对称图形， 故此选项正确；

C、是轴对称图形， 不是中心对称图形， 故此选项错误；

D、不是轴对称图形， 不是中心对称图形， 故此选项错误 ．

故选：B．

【点评】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的知识， 掌握中心对称图形与轴对称图形的概念： 轴对称图形的关键是寻找对称轴， 图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心， 旋转 180 度后与原图重合 ．

3．（3分）下列有关圆的一些结论，其中正确的是( ) A．任意三点可以确定一个圆

B．相等的圆心角所对的弧相等

C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．圆内接四边形对角互补

【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质进行判断即可得到正确结论．

【解答】解：A、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意；

B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意；

C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项不符合题意；

D、圆内接四边形对角互补，故本选项符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，半圆与弧的定义，圆内接四边形的性质，熟练掌握定义与性质是解题的关键．

4．（3分）关于一组数据： 1 ， 5 ， 6 ， 3 ， 5 ，下列说法错误的是(

)

A ． 平均数是 4 B ． 众数是 5 C ． 中位数是 6 D ． 方差是 3.2

【分析】分别求出这组数据的平均数、 中位数、 众数和方差， 再分别对每一项进行判断即可 ．

【解答】解：A、这组数据的平均数是(15635)54，故本选项正确；

B、 5 出现了 2 次， 出现的次数最多， 则众数是 5 ，故本选项正确；

C、把这组数据从小到大排列为： 1 ， 3 ， 5 ， 5 ， 6 ，最中间的数是 5 ，则中位数是 5 ，故本选项错误；

1D、这组数据的方差是：[(14)2(54)2(64)2(34)2(54)2]3.2，故

5本选项正确； 故选：C．

【点评】本题考查平均数， 中位数， 方差的意义 ． 平均数平均数表示一组数据的平均程度 ． 中位数是将一组数据从小到大 （或 从大到小） 重新排列后， 最中间的那个数 （或 最中间两个数的平均数） ；方差是用来衡量一组数据波动大小的量 ．

5．（3分）观察下列每个图形及相应推出的结论，其中正确的是( )

A．AB的度数为40AOB80

B．

AOBAOBABAB

C．ADBCABCD D．MN垂直平分

ADMAME

【分析】根据圆周角定理对四个选项进行逐一分析即可．

【解答】解：A、由圆心角、弧、弦的关系可知，若AB的度数等于40，则

AOB80或280，故本选项错误；

B、因为不是在同圆或等圆中，所以ABAB，故本选项错误；

C、由圆心角、弧、弦的关系可知，若ADBC，则ABCD，故ABCD，故

本选项正确；

D、由于MN不是直径，所以不能使用垂径定理，故本选项错误．

故选：C．

【点评】本题考查的是圆周角定理及垂径定理，在解答此类问题时要注意只有在同圆或等圆周圆周角定理才能使用．

2x1x2的值为( ) 6．（3分）一元二次方程x24x20的两个根为x1，x2，则x12x2A．2 B．6 C．8 D．14

2x1x2可变形【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1x2和x1x2的值，x12x2为(x1x2)2x1x2，代入求值即可． 【解答】解：根据题意得： x1x24，x1x22，

2x12x2x1x2

2x12x22x1x2x1x2

(x1x2)2x1x2

422

162

14，

故选：D．

【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握根与系数的关系是解题的关键． 117．（3分）函数yx23与yx22的图象的不同之处是( )

33A．对称轴 B．开口方向 C．顶点 D．形状

【分析】根据二次函数a、b相同，可得开口方向、形状、对称轴的关系，可得答案． 11【解答】解：yx23与yx22，

331a，b0，

3对称轴都是y轴，开口方向都向上，形状相同，

11yx23的顶点坐标是(0,3)，yx22的顶点坐标是(0,2)，即它们的顶点坐标不

33同． 故选：C．

【点评】本题考查了二次函数的图象，利用了函数图象与a、b、c的关系，a相同函数的形状相同，开口方向相同．

8．（3分）如图，AB是O的直径，CD是O的弦，如果ACD34，那么BAD等于

( )

A．34

B．46

C．56

D．66

【分析】由AB是O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得ADB90，又由ACD34，可求得ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．

【解答】解：AB是O的直径，

ADB90， ACD34， ABD34

BAD90ABD56，

故选：C．

【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

9．（3分）把抛物线y3x2先向上平移2个单位，再向右平移2个单位，所得的抛物线的解析式为( ) A．y3(x2)22

B．y3(x2)22 C．y3(x2)22D．y3(x2)22

【分析】抛物线y3x2的顶点坐标为(0,0)，向上平移2个单位，再向右平移2个单位，所得的抛物线的顶点坐标为(2,2)，根据顶点式可确定所得抛物线解

析式．

【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为(0,0)， 平移后抛物线顶点坐标为(2,2)， 又平移不改变二次项系数，

所得抛物线解析式为：y3(x2)22．

故选：D．

【点评】在寻找图形的平移规律时，往往需要把图形的平移规律理解为某个特殊点的平移规律．

10．（3分）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为

yax2bxc(a0)、若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( ) A．第8秒

B．第10秒

C．第12秒

D．第15秒

【分析】由炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，将x7和x14代入求得a和b的关系，再求得xb即为所求结果． 2a【解答】解：由炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，将x7和x14代入求得a和b的关系：

49a7b196a14b b21a0又xb时，炮弹所在高度最高， 2a将b21a0代入即可得： x10.5．

故选：B．

【点评】本题考查了二次函数与实际的结合，运用二次函数的性质解决最值问题． 11．（3分）若b0，则一次函数yaxb与二次函数yax2bxc在同一坐标系内的图象可能是( )

A． B．

C． D．

【分析】根据b0，可以判断一次函数图象与y轴的负半轴相交，根据选项可得只有B、D符合，再根据一次函数图象经过一三象限，判断出a0，所以二次函数图象开口向下，再利用二次函数的对称轴进行验证即可进行选择． 【解答】解：b0，

一次函数yaxb图象与y轴的负半轴相交，

故排除A、C选项，

B、D选项中，一次函数图象经过第一三象限，

a0，

二次函数开口向上， 故D选项不符合题意， a0，b0时，

对称轴x故选：B．

b0，B选项符合题意． 2a【点评】本题考查了同一坐标系中一次函数图象与二次函数图象的关系，根据一次函数图象确定出a、b的正负情况是求解的关键．

12．（3分）已知二次函数yx2bx1与一次函数y2x交点关于原点对称，当t剟xt1时二次函数yx2bx1最小值是2，则t的值是( ) A．1

B．1或3

C．2

D．3或2

【分析】根据二次函数yx2bx1与一次函数y2x交点关于原点对称，可以求得b的

xt1时二次函数yx2bx1最小值是2，即可求得t的值，本题得以值，然后根据当t剟解决．

【解答】解：设二次函数yx2bx1与一次函数y2x交点坐标为(m,2m)，(m,2m)， m2bm12m则2，

mbm12mm1m1解得，或，

b2b2b2，

二次函数yx22x1(x1)22，

当t剟xt1时二次函数yx22x1最小值是2，

当t1时，(t1)222，得t3，

当t11时，(t11)222，得t2， 由上可得，t的值是3或2， 故选：D．

【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、关于原点对称的点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13．（3分）分解因式：mx26mx9m m(x3)2 ．

【分析】先提取公因式m，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．完全平方公式：a22abb2(ab)2．

【解答】解：mx26mx9mm(x26x9)m(x3)2． 故答案为：m(x3)2．

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底． 14．（3分）函数y2x11中，自变量x的取值范围是 x…，且x2 ． x22【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数；分式有意义的条件是：分母不为0． 10，x20，解得：x…，且x2． 【解答】解：2x1…2【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法．用到的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

15．（3分）点A(a1,5)与点B(3,1b)关于原点对称，则ab的值为 0 ．

【分析】平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(x,y)，根据这一结论求得a，b的值，再进一步计算．

【解答】解：根据题意，得a13，1b5． 解得：a4，b4， 故可得ab0． 故答案为：0．

【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．

16．（3分）如图，已知AB3，AC1，D90，DEC 与ABC关于点C成中心对称，则AE的长是 13 ．

【分析】直接利用中心对称的性质得出DC，DE的长，进而利用勾股定理得出答案．

【解答】解：DEC 与ABC关于点C成中心对称，

DCAC1，DEAB3，

在RtEDA中，AE的长是：223213．

故答案为：13．

【点评】此题主要考查了中心对称以及勾股定理，正确得出DC，DE的长是解题关键．

17．（3分）已知圆锥的底面积为16cm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是 24 cm2． 【分析】利用圆面积公式求出半径，再利用扇形的面积公式即可解决问题． 【解答】解：设底面圆的半径为rcm． 由题意：r216， ， r4（负根已经舍弃）

圆锥的侧面积124624(cm2)， 2故答案为24．

【点评】本题考查圆锥的计算，圆的面积公式，扇形的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

18．（3分）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为 9 ．

【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：1S扇形DABlr，计算即可．

2【解答】解：正方形的边长为3，

弧BD的弧长6，

11S扇形DABlr639．

22故答案为：9．

1【点评】此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式S扇形DABlr．

2三、解答题（本题共8个小题，共66分，19、20题各6分，21、22题各8分，23、24题各9分，25、26题各10分） 19．（6分）解方程： （1）x26x925 （2）3x24x20

【分析】（1）根据配方法以及直接开方法即可求出答案． （2）根据公式法即可求出答案． 【解答】解：（1）

x26x925，

(x3)225， x8或x2；

（2）3x24x20， a3，b4，c2，

△162440，

x440210； 63【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．

20．（6分）化简，求值：(xx2x1，其中x． )x1x1x12【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解：(xx2x )x1x1x1x(x1)x(x1)x1 (x1)(x1)2xx1x1

2(x1)2

2(x1)1， x1112． 当x时，原式1212【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 21．（8分）为了解某校九年级学生的身高情况，随机抽取部分学生的身高进行调查，利用所得数据绘成如图统计图表： 频数分布表

身高分组 x155 频数 5 a 百分比 10% 20% 30% b 155„x160 160„x165 15 14 6 165„x170 x…170 总计 （1）填空：a 10 ，b ； （2）补全频数分布直方图；

12% 100% （3）该校九年级共有600名学生，估计身高不低于165cm的学生大约有多少人？

【分析】（1）根据表格中的数据可以求得调查的学生总数，从而可以求得a的值，进而求得b的值；

（2）根据（1）中的a的值可以补全频数分布直方图；

（3）根据表格中的数据可以估算出该校九年级身高不低于165cm的学生大约有多少人． 【解答】解：（1）由表格可得， 调查的总人数为：510%50， a5020%10， b1450100%28%，

故答案为：10，28%；

（2）补全的频数分布直方图如下图所示，

（3）600(28%12%)60040%240（人)

即该校九年级共有600名学生，身高不低于165cm的学生大约有240人．

【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、频数分布表，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

22．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点D在以AB为直径的QO上． （1）若直线CD是O的切线，求BAD的度数；

（2）在（1）的条件下，若O的半径为1，求图中阴影部分的周长．

【分析】（1）根据切线的性质得到ODCD，根据平行四边形的性质得到AB//CD，求得ODAB，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；

（2）根据平行四边形的性质得到DCAB2，CA45，过B作BECD于E，求得CB2，根据弧长公式得到BD的长9011，于是得到结论． 1802【解答】解：（1）直线CD是O的切线， ODCD，

四边形ABCD是平行四边形， AB//CD， ODAB， AOD90， ODOA， BAD45；

（2）四边形ABCD是平行四边形， DCAB2，CA45，

过B作BECD于E， BEODCE1， CB2，

BD的长9011， 18021212图中阴影部分的周长12232．

【点评】本题考查了切线的性质，弧长的计算，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．

23．（9分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某新能源汽车4S店的汽车销量自2017年起逐月增加．据统计，该店1月份销售新能源汽车64辆，3月份销售了100辆．

（1）求该店1月份到3月份新能源汽车销售的月均增长率．

（2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备再购进300辆新能源汽车，分为A，B两种型号．已知A型车的进价为12万元/辆，售价为15万元/辆，B型车的进价为20万元/辆，售价为25万元/辆（根据销售经验，购进A型车的数量不少于B型车的2倍），假设所购进车辆能够全部售完，为使利润最大，该店应购进A，B两种型号车各多少辆？最大利润为多少？

【分析】（1）利用增长率公式得出方程求出答案；

（2）利用A种和B种车的利润和等于总利润，进而得出答案．

【解答】解：（1）设该店从1月到3月的月均增长率为a，由题意可得：

64(1a)2100， 解得：a191， 25%，a2（不合题意舍去）

44答：该店1月份到3月份新能源汽车销售的月均增长率为25%；

（2）设购进A种车x辆，则购进B种车(300x)辆，设总利润为y， 由题意可得：x…2(300x)，

200， 解得：x…则y(1512)x(2520)(300x) 化简得：y2x1500， 则y随着x的增加而减小，

故当x200时，利润y最大，将x200代入式中，可得利润最大值为：y1100． 【点评】此题主要考查了二次函数以及一元二次方程的应用，正确表示出A种和B种车的

利润是解题关键．

24．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A(8,0)，B(0,6)，ABO的角平分线交ABO的外接圆M于点D，连接OD，C为x正半轴上一点． （1）求M的半径； （2）若OC9，求证：OBCODB； 2（3）若I为ABO的内心，求点D到点I的距离．

【分析】（1）由圆周角定理得出AB是M的直径，由勾股定理得出ABOA2OB10，即可得出M的半径OA5； （2）由三角函数定义得出tanOBCOC3OB3得出OBCOAB，，tanOAB，

OB4OA4由圆周角定理得出ODBOAB，即可得出结论；

（3）作BOE的平分线交BD于I，作IMOB于M，则IM//OA，IM为ABO的内切1圆半径，OMIM(6810)2，由勾股定理得出BI224225，由平行线得出2BIM∽BEO，得出

IMBM，求出EO3，得出AEOAEO5，EOBOBEEO2OB235，得出IEBEBI5，由相交弦定理求出DE5，即可得出答案．

【解答】（1）解：AOB90，

AB是M的直径，

A(8,0)，B(0,6)， OA8，OB6，

ABOA2OB10， M的半径OA5；

（2）证明：AOBBOC90，

9OC23OB63tanOBC，tanOAB，

OB64OA84OBCOAB， ODBOAB， OBCODB；

（3）解：作BOE的平分线交BD于I，作IMOB于M，如图所示：

1则IM//OA，I为ABO的内心，IM为ABO的内切圆半径，OMIM(6810)2，

2BM4，BI224225，

IM//OA， BIM∽BEO，



IMBM24，即，

EOBOEO6解得：EO3，

AEOAEO5，BEEO2OB2326235， IEBEBI5，

由相交弦定理得：BEDEAEEO， 即35DE53， 解得：DE5， DIDEIE25；

即点D到点I的距离为25．

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、坐标与图形性质、圆周角定理、勾股定理、三

角函数、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．

25．（10分）已知二次函数yax2bxc，点P(x0，y0)为此抛物线上的一点，若函数（Ⅱ）函数ymxn的图象经过点P(x0，ymxn满足以下两个条件：(I)m2ax0b；

． y0)；我们就称函数ymxn为二次函数yax2bxc上关于P(x0，y0)的“锦鲤函数”（1）已知二次函数yx22x3，点P(求二次函数yx22x32,)y0为此抛物线上一点，关于点P(2,y0)的“锦鲤函数”解析式；

（2）若P(x0，y0)为二次函数yax2bxc任意一点，函数ymxn为二次函数

yax2bxc上关于P(x0，y0)的“锦鲤函数”，请判断函数ymxn与二次函数yax2bxc图象交点个数，请说明理由；

222（3）已知P(k,y上的一点，若常数k满足0)为抛物线上yx(k1)x(k2k2)6k25k1„0，求二次函数yx2(k21)x(k22k2)上关于P(k,y0)的“锦鲤函数”

图象与坐标轴所围成三角形面积s的取值范围．

【分析】（1）将点P的坐标代入抛物线表达式得：y04433，则点P(2,3)，m2122422，则y2xn，将点P的坐标代入上式并解得：n1，即可求

解；

（2）m2ax0b，将点P的坐标代入：ymx得：y0mx0n，解得：b222ny0mx0ax0bx0c(2ax0b)cax0)，将抛物，ymxn(2ax0b)x(cax0220，△b24ac(2x0)24x00，即可求线表达式与上式联立并整理得：x22x0xx0解；

12211m2ax0b2kk21，2（3）同理可得：则s，而，n2，剟k2(k1)2(k1)232即可求解．

【解答】解：（1）将点P的坐标代入抛物线表达式得：y04433， 则点P(2,3)，m2122422，

则y2xn，将点P的坐标代入上式并解得：n1

则二次函数yax2bxc上关于P(x0，y0)的“锦鲤函数”为：y2x1；

2bx0c， （2）将点P的坐标代入抛物线表达式得：y0ax0m2ax0b，

将点P的坐标代入：ymxb得：y0mx0n，

22bx0c(2ax0b)cax0解得：ny0mx0ax0，

2ymxn(2ax0b)x(cax0)，

将抛物线表达式与上式联立并整理得：

2x22x0xx00，

20， △b24ac(2x0)24x0故：函数ymxn与二次函数yax2bxc图象交点个数为1个；

（3）m2ax0b2kk21，

将点P的坐标代入二次函数得：y0k2(k21)k(k22k2)，

将点P的坐标代入一次函数得：y0mxnk(2kk21)nk2(k21)k(k22k2)， n2，

116k25k1„0，解得：剟， k32故一次函数表达式为：y(k1)2x2， 一次函数与x轴交点的坐标为：[1222则s，

2(k1)2(k1)211而：剟， k3289故剟． s982，0]，与y轴交点的坐标为(0,2)，

(1k)2【点评】本题考查的是二次函数综合运用，要求学生能用韦达定理处理复杂数据，这种定义

类的题目，通常按照题设顺序逐次求解较为容易．

26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数yax2bxc(a0，b0，c0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点(x1x2)，与y轴交于点C，一次函数yaxa交y轴于点D，交二次函数yax2bxc于E、F两点． （1）若A(1,0)，B(4,0)，C(0,2)，回答下列问题： ①请写出二次函数的解析式 y②请判断ABC的形状： ；

（2）如果ABC是直角三角形且ACB90

①问：ac是定值吗？如果是，请求出此定值并要有推导的过程；如果不是，也请说明理由或举出反例；

②若点D在ABC外接圆M上，AB3，试确定a，b，c的值；

③已点P(2,c4)关于原点的对称点Q在二次函数的图象上，记以E、F、O三点为顶点的三角形面积为s，求s的取值范围．

123xx2 ，对称轴是： ； 22

【分析】（1）①函数的表达式为：ya(x1)(x4)a(x23x4)，即可求解；②AB5，BC20，AC5，即可求解；

（2）①设：OAm，OBn，则函数的表达式为：ya(xm)(xn)，则camn，ACB90，则CBOAOC，即tanCBOtanAOC，则OC2OAOB，即c2mn，

则cmn，而camn，即可求解； ②AB3，圆的半径r3，点D(0,a)，OBOD，故ODOC，即ac，而ac1，2即c21，解得：c1，故a1，则抛物线的表达式为：yx2bx1，则x1x2b，x1x21，ABx2x1(x1x2)24x1x23，即可求解；

③将点Q坐标代入二次函数表达式得：c44a2bc，解得：b2a2，将

22abyaxbx、cyaxa联立并整理得：ax(ba)x(ca)0，则x1x2axa1x2ca，b2a1，ac1，

xx2FxE2x(x1x)24xx1221a1ab2ab24a4caa15a4a24s12OD(xx111FE)2aa5a24a425a24a4，即可求解． 【解答】解：（1）①函数的表达式为：ya(x1)(x4)a(x23x4)， 即：4a2，解得：a12， 故抛物线的表达式为：y12x232x2， 函数的对称轴为x32； 故答案为：y12x2332x2，x2；

②AB5，BC20，AC5， AB2BC2AC2，

故答案为：直角三角形；

（2）①是定值，理由： 设：OAm，OBn，

则函数的表达式为：ya(xm)(xn)，则camn， ACB90，则CBOAOC，即tanCBOtanAOC，

则OC2OAOB，即c2mn，则cmn，而camn， 则ac1；

②AB3，则圆的半径r32，点D(0,a)， ，则，

2点D在ABC外接圆M上，则OBOD，故ODOC，即ac， 而ac1，即c21，解得：c1，故a1， 则抛物线的表达式为：yx2bx1， 则x1x2b，x1x21，

ABx2x1(x1x2)24x1x23，

， b5（正值已舍去）故a1，b5，c1；

③P(2,c4)关于原点的对称点Q(2,c4)，

将点Q坐标代入二次函数表达式得：c44a2bc， 解得：b2a2，

将yax2bxc、yaxa联立并整理得：

ax2(ba)x(ca)0， 则x1x2abca，x1x2，且b2a1，ac1， aa121ab22ab4a24ca5a24a4， aa则xFxEx2x1(x1x2)24x1x21111sOD(xFxE)a5a24a45a24a4， 22a250，故5a24a4有最小值，当a252时，其最小值为：，

55故s5． 5【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、圆的基本知识，本题的难点在于：用韦达定理处理复杂数据．