浅论复变函数论的教学方法

作者：王朝

来源：《教育教学论坛》 2015年第4期

王朝

（南京信息工程大学数学与统计学院，江苏南京210044）

摘要：针对高等院校复变函数论的教学现状，结合自身的教学体会，提出了“引入、对比、反例、总结”式的教学方法。

关键词：复变函数论；引入式教学；对比式教学；反例式教学；总结式教学

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）04-0145-02

作者简介：王朝（1982-），男，江苏盐城人，讲师，研究方向：非线性泛函分析。

复变函数论是高等院校数学专业的一门重要基础课程。作为数学分析的后续课程，该课程的教学对数学专业学生的培养起着重要作用，它在数学其他分支、力学、工程学等领域中有着广泛的应用。本文根据笔者自身关于复变函数论课程的教学实践和体会，对“引入、对比、反例、总结”几种教学方法略作刍议。

一、采用引入式教学方法

古语说“温故而知新”，在教授新的理论时，要以已知理论为基础。复变函数是数学分析中实变函数论在复数域内的推广，其主要研究复数域上的解析函数。在课堂讲授中，应该以实变函数的理论为源头，引入复变函数的相关理论。例如，基于复数z=x+iy与复平面上的点（x，y）的一一对应关系，复变函数w=f（z）（其中w=u+iv）的定义可以由两个二元实变函数引入，即（f z）=u（x，y）+iv（x，y）。具体到一些简单函数，比如讲授复变函数中正弦函数sinz的定义时，如何来确定此时的u（x，y）和v（x，y）的形式。应该首先考虑数学分析中正弦函数sinx的一系列性质（比如：周期性、奇偶性、连续性、可微性等）。在符合：①sinx是sinz限制在x轴上的表示，②sinz尽量满足sinx具有的性质，这两个条件的前提之下，确定u（x，y）=excosy和v（x，y）=exsiny，即sinz=e（x cosy+isiny）。该结构是sinx在复平面内的最有效的推广。

二、结合对比式教学方法

复变函数是在实变函数的基础上发展起来的，它们之间既有联系也有区别。因此，在复变函数论的教学中，需要采用对比式教学，对所讲授的内容进行对比，认清它们之间的异同点。比如，在上述例子中，虽然sinz具有sinx的许多性质，但sinz不满足有界性。又如，数学分析中函数极限limx→x0f（x）=A和复变函数中极限limz→z0f（z）=A在形式上完全一致。但是，limx→x0f（x）=A表示x沿实轴从x0左右两侧趋于x0时，f（x）趋于实数A；而

limz→z0f（x）=A表示在z复平面内沿任何方向趋于z0时，f（z）趋于复数A。显然，复变函数极限的定义要求更为苛刻。这也导致了复变函数在连续、可导、可微等方面的定义与实变函数在形式上一致，但实质上是有很大区别的，从而带来复变函数论中不少独特的性质和定理。

三、嵌入反例式教学方法

数学家盖尔鲍姆说过：“一个数学问题如果用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好戏剧”。反例是复变函数论中重要的组成部分。在教学实践中，给出一些经典的反例，可以加强学生对复变函数基本理论的理解，同时能够提高和培养学生的思维能力。例如，在实变函数论中，确定一个处处连续且一点不可微的函数是比较困难的。但在复变函数论中，这样的例子有很多。比如：f（z）=z在复平面上处处不可微；又如，设f（z）=u（x，y）+iv（x，y），其中u（x，y）和v（x，y）为调和函数，但此时f（z）未必解析；再如：我们选取两个调和函数u（x，y）=x2-y2，v（x，y）= yx2+y2 ，即f（z）= x2-y2+iyx2+y2，此时，由柯西—黎曼方程不成立，判定f（z）在复平面上处处不解析。

四、注重总结式教学方法

复变函数论课程中概念、方法和定理众多，这给教学带来一定的难度。因此在教学过程中，引导学生对复变函数的相关内容进行归纳总结是非常有必要的。比如，在讲授完复变函数积分理论以后，可以将求复积分的方法总结为如下几种。

1.利用复积分的定义求解：设有向曲线C：z=z（t）（α≤t≤β），以a=z（α）为起点，以b=z（β）为终点。如果函数f（z）在C上可积，则通过“分割、求和、取极限”的过程可知：

总之，在复变函数论的课堂教学中，应充分利用“引入、对比、反例、总结”式的教学方法，积极调动学生学习的积极性和主动性，不断完善教学计划和内容，这样才能提高复变函数论课程的教学质量。

参考文献：

[1]西安交通大学数学教研室.复变函数[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]刘显全.复变函数教学法探讨[J].大学数学，2012，（28）.

[4]王艳琴.计算复积分的几种方法[J].湖南工业职业技术学院学报，2001，（11）