专题 代数推理之二次函数

【专题解读】本专题是以含参二次函数为主线，

考查二次函数的图像与性质，与一元二次方程、一元二次不等式的关系，用待定系数法求二次函数表达式等基本知识点，着重呈现了反映二次函数的解析性质和二次函数与几何图形相结合的问题，深度剖析了参数在试题中的作用，从解析性质和图形特征两个视角分析了确定参数的思路，其中用代数式表达线段，结合图形性质确定参数的值是不变的思考，转化、分类、数形结合仍是最主要的数学思想方法．

【思维索引】

例1．如图是二次函数yax2bxc（a，b，c是

常数，a0）图象的一部分，与x轴的交点A在点2,0和3,0之间，对称轴是x1．对于下列说法：①ab0；②2ab0；③3ac0；④abmamb（m为实数）；⑤当

1x3时，y0，其中正确的是（ ）

A．①②④ B．①②⑤

C．②

③④ D．③④⑤

例2．已知二次函数yax24ax4a1的图象是c1，求c1关于P1,0成中心对称的c2的函数表达式．

例3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线

ymx22mxm2m0的顶点为A，与

x轴交于B，C两点（点B在点C左侧），与y轴

负半轴交于点D．在上述条件下，连接AD并延长交x轴于E，若AD:DE4:5，求二次函数的表达式．

例4．已知抛物线yx2mx2m4m0．

（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，

B，C三点都在eP上．

①试判断：不论m取任何正数，eP是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；

②若点C关于直线xm2的对称点为点E，点D0,1，连接BE，BD，DE，△BDE的

周长记为l，eP的半径记为r，求

1r的值．

【素养提升】

1．若二次函数yax1的图象经过点2,0，则关

2抛物线上存在点M（M与P不重合），使得△ABM是顶角为120的等腰三角形；④抛物线上存在点N，当△ABN为直角三角形时，有

于x的方程ax210的实数根为（ ） A．x10，x24 B．x12，x26 2a1．正确的是 （ ） 2C．①②③

A．①② B．③④ D．①②③④

C．x132，x522 D．x，x

1420

2．如图是二次函数yx22mx3的图象，则下列结论错误的是 （ ） A．它的图象与x轴有两个交点 B．方程x22mx3的两根之积为3 C．它的图象的对称轴在y轴的右侧

D．xm时，y随x的增大而减小

3．已知二次函数yax2bxc开口向上，对称轴是平行于y轴且经过点2,0的直线，与x轴的一个交

点是5,0，则不等式ax2bxc0的解为( ) A．1x5 B．x51 1 C．x且x5 D．x或x5 4．二次函数yax2bx的图象如图所示，若一元二次

方程ax2bxm0有两个不相等的实数根，则整

数m的最小值为 ( ) A．3 B．2 C．1 D．2

（第2题图） （第4题图）

5．二次函数yax2bxca0的顶点为p，其图

象与x轴有两个交点Am,0，B1,0，交y轴于点C0,3am6a，以下说法：①m3；②当

APB120时，a36；③当APB120时，6．若二次函数yxm2m1的图象的顶点在第一象限，则m的取值范围是__ ____． 7．若点P坐标为2m,14m2m4，点P随着m的变化在某一个函数图象上运动，则该函数的表达式为

___ _．

8．当p取任意实数时，抛物线y2x2px4p1都经过一个定点，则该点的坐标为______．

9．已知二次函数ym1x2m2x1的图象与

x轴于A、B两点，与y轴交于点C，并且△ABC的

面积为2，则m的值为______．

10．已知点O为坐标原点，抛物线

y   x 2  2 mx  m 2  2 的顶点为 P，与x轴的两个交点为A，B，其中点B在点A的右侧，若△OPB为等腰直角三角形，则m的值为______． 11．如图，以M1,0为圆心的eM交x轴于A、B两点（其中A在B的左侧），交y轴于C、D两点，

且CD46． （1）求A、B两点的坐标；

（2）已知P为y轴负半轴上一动点，Q为eM上一

动点，当PQ与eM相切时，若△MPQ恰好为

等腰直角三角形，试求过点A、O、Q三点的抛

物线yax2bxc的函数表达式．

12．如图，以原点O为圆心、3为半径的圆与x轴分别交于A、B两点（点B在点A的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与eO分别交于C、D两点（点C在点D的上方），直线AC、DB交于点E，若AC:CE1:2． （1）求点P的坐标；

（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．

13．已知：如图，一次函数ykx1的图像经过点

A35,mm0，与y轴交于点B．点C在线

段AB上，且BC2AC．过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若ACCD． （1）求这个一次函数的表达式；

（2）已知以开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线

经过点A，它的顶点为P．若过点P且垂直于

AP的直线与x轴的交点为Q45求这5,0，

条抛物线的函数表达式．

14．正方形ABCD，A0,4，B1,4，C1,5，

D0,5，抛物线yx2mx2m4（m为常

数），顶点为M． （1）抛物线经过定点坐标是__ ____，顶点M的坐标（用m的代数式表示）是___ ___；

（2）若抛物线yx2mx2m4（m为常数）

与正方形ABCD的边有交点，求m的取值范围；

（3）若ABM45时，求m的值．

15．如图，抛物线C21:y3x23x的顶点为A，与x轴的正半轴交于点B．

（1）将抛物线C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的解析式；

（2）将抛物线C1上的点x,y变为

kx,kyk1，变换后得到的抛物线记作

C2，抛物线C2的顶点为C，点P在抛物线C2上，满足S△PACS△ABC，且ACP90．

①当k1时，求k的值；

②当k1时，请你直接写出k的值，不必说

明理由．