几何变换——捆绑旋转(于新华)

几何变换——捆绑旋转

【例题】如图，AB4，O为AB的中点，O的半径是1，点P是O上一动点，以PB为直角边的等腰直角PBC（点P，B，C按逆时针方向排列），则线段AC长的取值范围是_________

CO'CPAOBOPB

宏观分析，整体思考：

为什么AC有“最值”之说？点C在运动．点C为什么在运动？因为点P在运动．点B是如何运动？点P在一个圆上运动．点P的运动带动点C的运动．“如影随形”，“点动成线”．那么如何研究点C的运动规律呢？联想研究函数图像变换，要研究线，只要研究点，“局部与整体具有一致性”．

（1）你将点C理解成由点P绕点B顺时针旋转45且同时伸长2倍得到；

（2）将点P与O“捆绑”视作整体，即点P在作上述运动的时候，想想O因为“捆绑”而随之运动，O的运动结果是什么呢？“蜗牛背房子”，“牵一发而动全身”． （3）点O绕点B也顺时针旋转45且同时伸长2得到定点O；

（4）记住：旋转位似，相似必定成对出现．在前面的基础上，你会发现图形OPB∽OCB,于是你又得到OC2OP2,即动点C到定点O的距离为定值2．也可以在对“位似”进一步理解的基础上，直接理解成O放大2倍得到O； （5）于是，动点C在以定点O为圆心，半径为2的圆上运动．

（6）在前面的基础上，再考虑AC长的取值范围就是小意思（常规题）啦． （悟：种瓜得瓜，种豆得豆）

一、自主学习

1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，CD⊥AB于D，P是CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰直角△PBE，连接DE，求DE的最小值．

C

P

BAD

E

2．如图，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连结AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求求OC的最大值与最小值． Cy

B

OAx

3．如图，AB是⊙的直径，点C在AB的延长线上，AB＝BC＝10，P是⊙O上一动点，连接PC，以PC为边作△PCD，使∠PDC＝90°，tan∠DPC＝

3，P，C，D三点为逆时针顺4序．连接OD，则线段OD长的最小值是________．

D

P

ACOB

4．如图，平面直角坐标系中，A（－2，6），B（－5，2），M（0，5），点P是线段AB上一个动点，PM⊥MN，且∠PNM＝30°，当点P从点A运动到点B，点N也随之运动，点N在运动中经过的路径长是 （ ）

A．62 B．53 C．45 D．8

BNOPAMyx

5．RtABC中，ACB90，A30，AC6，D是AB上一个动点，以DC为斜边作等腰直角DCE，使点E和点A位于CD的两侧；点D从点A到点B的运动过程中： （1）DCE周长的最小值； （2）求点E的移动路程．

ACDEB

0、B0，3，过点B作直线//x轴，点Pa，3是直线上的6．在平面直角坐标系中，A2，动点，以AP为边在AP右侧作等腰RtAPQ，APQRt，直线AQ交y轴于点C． （1）当a1时，则点Q的坐标为__________；

（2）当点P在直线上运动时，点Q也随之运动．当a________时，AQBQ的值最小，为__________．

yQBPOAxC

二、当堂检测

1.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，D是AB上一个动点，以DC为斜边作等腰直角△DCE，使∠CED＝90°，点E和点A位于CD的两侧，连接BE，求BE的最小值． C ABD E

2.如图，点O在线段AB上，OA＝1，OB＝2．以点O为圆心，OA长为半径的圆为⊙O．在⊙O上取动点P，以PB为边作△PBC，使∠PBC＝90°，tan∠PCB＝

1，P，B，C三点为2逆时针顺序．连结AC，求AC长的取值范围． C

P

ABO

3.如图，A（－3，0），B（0，3），C（－1，4），P，C，M逆时针顺序，动点P在线段AB上，∠C＝90°，∠CPM＝30°，则点M的运动路径长为_________．

MyCBPAOx

4．（2013•湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线yx于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 ．

备选例题

1.如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3．△DEF是△ABC的内接等边三角形，且BD＝3，求BE的长．

BDFCE2A

2.已知抛物线y＝x－3x－

7的顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左4侧）．设线段BD的垂直平分线为l，抛物线关于直线l的对称曲线交x轴于点M、N，求点M、N的坐标．

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