考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编1
(总分78,考试时间90分钟)
1. 选择题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1. 设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则
A. B. C. D.
2. 设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有
A. 一个极小值点和两个极大值点． B. 两个极小值点和一个极大值点． C. 两个极小值点和两个极大值点． D. 三个极小值点和一个极大值点． 3. 设函数f(x)连续，且f\"(0)＞0，则存在δ＞0，使得 A. f(x)在(0，δ)内单调增加． B. f(x)在(一δ，0)内单调减少．
C. 对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)． D. 对任意的x∈(一δ，0)有f(x)＞f(0)． 4. 设函数f(x)=，则f(x)在(一∞，+∞)内
A. 处处可导 B. 恰有一个不可导点 C. 恰有两个不可导点 D. 至少有三个不可导点
5. 设函数y=f(x)具有二阶导数，且f\"(x)＞0，f\"(x)＞0，△x为自变量x在x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则 A. 0＜dy＜△y． B. 0＜△y＜dy． C. △y＜dy＜0． D. dy＜△y＜0．
6. 设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是 A. 若存在，则f(0)=0．
B. 存在，则f(0)=0．
C. 若存在，则f\"(0)存在．
D. 若存在，则f\"(0)存在．
7. 曲线y=+In(1+ex)渐近线的条数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f\"(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)，则下列结论正确的是
A. 若u1＞u2，则{un}必收敛． B. 若u1＞u2，则{un}必发散． C. 若u1＜u2，则{un}必收敛． D. 若u1＜u2，则{un}必发散．
9. 设函数f(x)=｜ln(2+t)dt，则f\"(x)的零点个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10. 曲线y=(x一1)(x一2)2(x一3)3(x一4)4的拐点是 A. (1，0)． B. (2，0)． C. (3，0)． D. (4，0)． 11. 曲线渐近线的条数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 设函数f(x)=(ex一1)(e2x一2)…(enx一n)，其中n为正整数，则f\"(0)= A. (一1)n-1(n—1)!
B. (一1)n(n一1)! C. (一1)n-1n! D. (一1)nn!
13. 下列曲线中有渐近线的是 A. y=x+sinx B. y=x2+sinx C. y=x+sin
D. y=x2+sin
14. 设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上 A. 当f\"(x)≥0时，f(x)≥g(x) B. 当f\"(x)≥0时，f(x)≤g(x) C. 当f\"(x)≥0时，f(x)≥g(x) D. 当f\"(x)≥0时，f(x)≤g(x)
15. 设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其2阶导函数f\"(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 填空题
1. 已知函数y=y(x)由方程ey+6xy+x2一1=0确定，则y\"(0)=_________． 2. 曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为__________ 3. 曲线y=的斜渐近线方程为_________．
4. 曲线sin(xy)+ln(y-x)=x在点(0，1)处的切线方程是__________． 5. 设，则=_________．
6. 设函数y=f(x)由方程y—x=ex(1-y)确定，则=_________．
7. 设(t为参数)，则=__________．
8. 设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f\"(x)=2(x-1)，x∈[0，2]，则f(7)=___________．
3. 解答题
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1. 设函数f(x)在x=0某邻域内有一阶连续导数，且f(0)≠0，f\"(0)≠0，若af(h)+bf(2h)一f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a、b的值． 2. 设e＜a＜b＜e2，证明 In2b—ln2a＞(b一a)．
已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明： 3. 存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1一ξ；
4. 存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f\"(η)f\"(ζ)=1． 5. 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f\"(ξ)=g\"(ξ)．
6. 证明拉格朗日中值定理。若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)一f(a)=f(ξ)(b一a)．
7. 证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且limf\"(x)=A，则f+\"(0)存在，且f+\"(0)=A．
8. 求函数f(x)=的单调区间与极值．
9. 求方程karctanx—x=0不同实根的个数，其中k为参数． 10. 证明：．
设奇函数f(x)在[一1，1]上具有2阶导数，且f(1)=1．证明： 11. 存在ξ∈(0，1)，使得f\"(ξ)=1；
12. 存在η∈(一1，1)，使得f\"(η)+f\"(η)=1．
13. 设函数y=f(x)由方程y3+xy2+x2y+6=0确定，求f(x)的极值．
14. 设函数u(x)，u(x)可导，利用导数定义证明[u(x)v(x)]\"=u\"(x)v(x)+u(x)v\"(x)；
15. 设函数u1(x)，u2(x)，…，un(x)可导，f(x)=u1(x)u2(x)…un(x)，写出f(x)的求导公式．
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