考研数学一(解答题)模拟试卷70(题后含答案及解析)

考研数学一（解答题）模拟试卷70 (题后含答案及解析)

题型有：1.

1． 数列{xn}通项

正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续

2． 设A为n阶矩阵，α1为AX＝0的一个非零解，向量组α2，…，αs满足Ai-1αi＝α1(i＝2，3，…，s)．证明α1，α2，…，αs线性无关．

正确答案：设c1α1＋c2α2＋…＋csαs＝0(1)，要推出系数ci都为0． 条件说明Aiαi＝Aα1＝0 (i＝1，2，3，…，s)． 用As-1乘(1)的两边，得csα1＝0，则cs＝0． 再用As-2乘(1)的两边，得cs-1α1＝0，则cs-1＝0． 这样可逐个得到每个系数都为0． 涉及知识点：向量组的线性关系与秩

3． 假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g’’(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：(Ⅰ)在开区间(a，b)内g(x)≠0；(Ⅱ)在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使

正确答案：(Ⅰ)利用反证法。假设存在c∈(a，b)，使得g(c)=0，则对g(x)在[a，c]和[c，b]上分别应用罗尔定理，可知存在ξ1∈(a，c)和ξ2∈(c，b)，使得g’(ξ1)=g’(ξ2)=0成立。 再对g’(x)在区间[ξ1，ξ2]上应用罗尔定理，可知存在ξ1∈(ξ1，ξ2)，使得g’’(ξ3)=0成立，这与题设条件g’’(x)≠0矛盾，因此在开区间(a，b)内，g(x)≠0。 (Ⅱ)构造函数F(x)=f(x)g’(x)-g(x)f’(x)，由题设条件得函数F(x)在区间[a，b]上是连续的，在区间(a，b)上是可导的，且满足F(a)=F(b)=0。根据罗尔定理可知，存在点ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0。即 f(ξ)g’’(ξ)-f’’(ξ)g(ξ)=0， 因此可得 涉及知识点：高等数学

4． 写出一个以χ＝为通解的齐次线性方程组．

正确答案：把已知的通解改写为 设c1＝χ3，c2＝χ4，则有 所求方程组有2个自由未知数χ3，χ4，且对应的同解方程组为 即它以题中所给的χ为通解． 涉及知识点：线性方程组

5． 设其中f和g具有一阶连续偏导数，且gz(x，y，z)≠0，求

正确答案：本题确定两个因变量，三个自变量。由第一个方程来看，u是因变量，x，y，t是自变量，由第二个方程来看，z是因变量。因此确定x，y，t为自变量，u，z为因变量。于是将方程组对x求偏导数得同理，将方程组对y求偏导数可得 涉及知识点：高等数学

6．

正确答案： 涉及知识点：高等数学

7． 求．

正确答案：由A(x一4)(x一3)2+B(x一2)(x一3)2+C(x一2)(x一3)(x一4)＋D(x一2)(x一4)=1得，C=0，D=－1， 涉及知识点：高等数学

8． φ(x)=∫sinxcos2xln(1+t2)dt，求φ’(x)．

正确答案：φ’(x)=一2ln(1+cos22x)sin2x—ln(1+sin2x)cosx． 涉及知识点：高等数学

9． 用线性代数中的克拉默法则，对三元一次方程组求解．

正确答案：如记α1={a11，a21，a31}，α2={a12，a22，a32}，α3={a13，a23，a33}，β={b1，b2，b3}，则方程组可改写成x1α1+x2α2+x3α3=β．因为α2×α3与α2、α3都垂直，用α2×α3对上式的两边作点积，有x1(α1，α2，α3)=(β，α2，α3)．当(α1，α2，α3)≠0时，x1=类似地 这就是线性代数中的克拉默法则． 涉及知识点：向量代数和空间解析几何

10． 求经过直线L：且与椭球面S：x2+2y2+3z2=21相切的切平面方程．

正确答案：设切点为M(x0，y0，z0)，于是s在点M处的法向量n=(2x0，4y0，6z0)，切平面方程为 2x0(x－x0)+4y0(y－y0)+6z0(z－z0)=0．再利用S的方程化简得 x0x+2y0y+3z0z=21．在L上任取两点，例如点代入上式得6x0+6y0+z0=21，4x0+4y0+z0=21．再由S的方程z02+2y02+3z02=21，联立解得切点(3，0，2)与(1，2，2)，故得切平面方程为z+2z=7和x+4y+6z=21． 涉及知识点：向量代数与空间解析几何

11． 已知齐次线性方程组=有非零解，且矩阵是正定矩阵．(1)求a的值；(2)求当XTX=2时，XTAX的最大值，其中X=(x1，x2，x3)T∈R3．

正确答案：(1)由方程组的系数行列式△=a(a+1)(a一3)=0，a的取值范围为：0，一1，3，再由矩阵A正定，得a=3；(2)可求得A的最大特征值为10，设对应的单位特征向量为ξ(即Aξ=10ξ，且ξTξ=1)．对二次型XTAX，存在正交变换X=PY，使XTAX=λ1y12+λ2y22+λ3有四个线性无关的特征向量，求A的特征值与特征向量，并求A2010．

正确答案：因为A为上三角矩阵，所以A的特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝

λ4＝一1．因为A有四个线性无关的特征向量，即A可以对角化，所以有 涉及知识点：线性代数部分

13． 求曲面积分I=x2dydz+y2dzdx+z2dxdy，其中S是长方体Ω：0≤x≤a，0≤y≤b，0≤z≤C的表面外侧．

正确答案：直接用高斯公式I=(x+y+z)dxdydz．化三重积分为累次积分：记

长方体分别在yz平面，zx平面与xy平面上的投影区域为Dyz，Dzx，Dxy，则 涉及知识点：多元函数积分学中的基本公式及其应用

14． 设二维随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)|0≤y≤1，y≤x≤y+1}内服从均匀分布，求边缘密度函数，并判断X，Y的性．

正确答案：依题意，由于f(x，y)≠fX(x)fY(y)，所以X与Y不． 涉及知识点：概率论与数理统计

15． 设A是m×n阶矩阵，若ATA=O，证明：A=O．

正确答案：因为r(A)=r(ATA)，而ATA=O，所以r(A)=0，于是A=O． 涉及知识点：线性代数

16． 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且f＋’(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)＜0．

正确答案： 涉及知识点：高等数学

17． 求方程y(4)一y”=0的一个特解，使其在x→0时与x3为等价无穷小．

正确答案：y=一6x+3ex一3e-x涉及知识点：高等数学

将n个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五入”舍去小数位后化为整数．试利用中心极限定理估计：

18． 试当n=1500时求舍位误差之和的绝对值大于15的概率；

正确答案：设Xi是“第i个数据的舍位误差”，由条件可以认为Xi且都在区间[-0．5，0．5]上服从均匀分布，从而EXi=0，DXi=1／12．记Sn=X1+X2+…+Xn为n个数据的舍位误差之和，则ESn=0，DSn=n／12．根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时Sn近似服从N(0，n／12)．记Ф(x)为N(0，1)的分布函数．由于近似服从标准正态分布，且n=1500，可见 涉及知识点：概率论与数理统计

19． 估计数据个数n满足何条件时，以不小于90％的概率，使舍位误差之和的绝对值小于10的数据个数n．

正确答案：数据个数n应满足条件：于是，当n＞721时，才能使误差之和

的绝对值小于10的概率不小于90％． 涉及知识点：概率论与数理统计

20． 某公司全年需购某商品1000台，每台购进价为4000元，分若干批进货，每批进货台数相同，一批商品售完后马上进下一批货，每进一次 需要消耗费用2000元。商品均匀投放市场(即平均年库存量为批量的一半)，该商品每年每台库存费为进货价格的4％。试将公司全年在该商品上的投资总额表示为每批进货量的函数。

正确答案：解 设该商品的投资总额为у元，每批进货量为x台． 涉及知识点：综合