优质课 精品教案 (省一等奖)《一元二次方程的根与系数关系》公开课教案

教学时间 教学媒体 教 学 目 标 多媒体 课题 一元二次方程的根与系数关系 课型 新授 根与系数关系. 知识 根与系数关系解决实际问题. 技能 3.提高学生综合运用根底知识分析解决较复杂问题的能力. 过程 学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明. 方法 情感 培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学态度 生勇于探索的精神. 一元二次方程的根与系数关系 对根与系数关系的理解和推导 教学重点 教学难点 教学过程设计

教学程序及教学内容 一、复习引入 导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？ 二、探究新知 2分析：将〔x- x1〕〔x-x2〕=0化为一般形式x-( x1 +x2)x+ x1 x2=02与x+px+ q=0比照,易知p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，那么一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积. 求以下方程的两根x1 、x2. 的和与积. 2222x+3x+2=0； x+2x-3=0; x-6x+5=0; x-6x-15=0 23. 方程2x-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？ 分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，假设不成立，新的结论是什么？ 2ax+bx+c=0〔a≠0〕中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？ 分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1 、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元师生行为 教师出示问题，引出课题学生初步了解本课所要研究的问题 学生通过去括号、合并得到一般形式的一元二次方程，教师适时点拨，分析总结得到结论. 学生单独完成 稳固上诉知识 教师出示探究问题，学生通过特殊例子入手，再通过一般形式推导证明，教师引导学生根据求根公式进行探究、交流，尝试发现结论 设计意图 创设问题情境，激发学生好奇心，求知欲 通过思考问题，让学生知道二次项系数为1的一元二次方程的根与系数关系，为后面继续研究做铺垫 让学生通过探究问题，体会从特殊到一般的认知过程，体会数学结论确实定性 二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系. 求以下方程的两根x1 、x2. 的和与积. 222213x+7x+2=0；3x+7x-2=0; 3x-7x+2=0；3x-7x-2=0； 学生独立解决，并○交流 25x-1=4x2；5x2-1=4x2+x ○ 1一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1，3，那么○ b= ,c= . 2关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1，那么另一个根○先观察，尝试选用是 ,k的值是 . 3假设关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根互为相反数，适宜方法解题，之○后交流，比较解法 那么p= ; 假设两个根互为倒数，那么q= . 分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另 一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的 两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时，假设方程 的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方 学生尝试归纳，师程的一次项系数和常数项. 生总结 4两个根均为负数的一元二次方程是( ) ○ 2222x-13x-5=0 C.7x+15x-8=0 5.两根异号，且正根的绝对值较大的方程是〔 〕 ○ 2222x+5x-4=0 Cx+35x-6=0 26○.假设关于x的一元二次方程2x-3x+m=0,当m 时方程有两 个正根；当m 时方程有两个负根；当m 时方程有一个正 根一个负根，且正根的绝对值较大. 分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，确定方 6中还需考虑m的值还得受根的判别式的 程各项系数的符号，○限制. 三、课堂训练 学生独立完成，教师巡回检查，师生 集体订正 2.补充练习： 2x1 ，x2是方程3x-2x-4=0的两根，利用根与系数的关系求以下 11222212x2x1x1x2 ○3x1x2； ○4各式的值：○； ○ x1x2 5x2x1 x1x22；○x1x2 四、小结归纳 学生归纳，总结阐本节课应掌握： 述，体会，反思.1. 韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系 并做出笔记. 2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0； 3.韦达定理的应用常见题型： 1不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根； ○2方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值； ○3由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值； ○4判断两个根的符号；○5不解方程求含有方程的两根的式子的○值. 五、作业设 计 必做：P17：7 加深对韦达定理的理解，培养学生的应用意识和能力 通过学生亲自解题的感受与经验，感受数学的严谨性和数学结论确实定性. 进一步加强对所学知识的理解和掌握 通过归纳，进一步理解韦达定理及其应用 加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系. 选做：补充作业：一元二次方程x+3x+1=0的两个根是、，求2的值. 教 学 反 思 [教学反思]

学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。在今后的教学中，我会不断的钻研探索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。

本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折叠后的形状。教学时，我让每个学生带长方体或正方体的纸盒，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状。由于剪的方法不同，展开图的形状也可能是不同的。学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，就要求适当进行指导。通过动手操作，动脑思考，集体交流，不仅提高了学生的空间思维能力，而且在情感上每位学生都获得了成功的体验，建立自信心。

24.1 圆 (第3课时)

教学内容

1．圆周角的概念．

2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．

推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．

教学目标

1．了解圆周角的概念．

2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．

3．理解圆周角定理的推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．

4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．

设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决

一些实际问题． 重难点、关键

1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键：探究圆周角的定理的存在． 教学过程 一、复习引入

〔学生活动〕请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？

2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评：〔1〕我们把顶点在圆心的角叫圆心角．

〔2〕在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．

刚刚讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题． 二、探索新知

问题：如下列图的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，•设球员们只能在EF所在的⊙O其它位置射门，如下列图的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

现在通过圆周角的概念和度量的方法答复下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？

〔学生分组讨论〕提问二、三位同学代表发言． 老师点评：

1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．

2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．

下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且

它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．〞 〔1〕设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如下列图 ∵∠AOC是△ABO的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB

∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=

AOBCADOBC1∠AOC 2〔2〕如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么∠ABC=

12∠AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．

老师点评：连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．

〔3〕如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，那么∠ABC=

12∠AOC吗？请同学们独立完成证明． 老师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，

而∠ABC=∠ABD-∠CBO=

111∠AOD-∠COD=∠AOC 222 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，

因此，同弧上的圆周角是相等的． 从〔1〕、〔2〕、〔3〕，我们可以总结归纳出圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：

半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．

例1．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？

分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，•只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可． 解：BD=CD

理由是：如图24-30，连接AD ∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB=90°即AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD

三、稳固练习

1．教材P92 思考题． 2．教材P93 练习． 四、应用拓展

例2．如图，△ABC内接于⊙O，∠A、∠B、∠C的对边分别设为a，b，c，⊙O半径为

abc===2R． sinAsinBsinCabcabc 分析：要证明===2R，只要证明=2R，=2R，=2R，

sinAsinBsinCsinAsinBsinCabc即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十清楚显要在直角三

2R2R2RR，求证：

角形中进行．

证明：连接CO并延长交⊙O于D，连接DB ∵CD是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D

BCa，即2R= DCsinAbc 同理可证：=2R，=2R

sinBsinCabc ∴===2R

sinAsinBsinC 在Rt△DBC中，sinD=

五、归纳小结〔学生归纳，老师点评〕 本节课应掌握： 1．圆周角的概念；

2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；

3．半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题． 六、布置作业

1．教材P95 综合运用9、10、 [教学反思]

学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。在今后的教学中，我会不断的钻研探索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。

本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折叠后的形状。教学时，我让每个学生带长方体或正方体的纸盒，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状。由于剪的方法不同，展开图的形状也可能是不同的。学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，就要求适当进行指导。通过动手操作，动脑思考，集体交流，不仅提高了学生的空间思维能力，而且在情感上每位学生都获得了成功的体验，建立自信心。