“实践与综合应用”及其教材设计

实践与综合应用”及其教材设计

210013 江苏教育学院数学系 章飞[1][1]

关键词：实践与综合应用；选材原则；

摘要：本文分析了新一轮基础教育课程改革中数学学科“实践与综合应用”学习模块的教育价值、可行性、阶段性，提出了素材选择的一些原则和教材编制的一些具体策略。

为了进一步深化素质教育,我国近年来启动了新一轮基础教育课程改革,以培养更具创新精神和实践能力的新一代公民。为此《基础教育课程改革纲要（试行）》在规划新的课程体系时，规定“从小学到高中设置综合实践活动等作为必修课程”[1]，并指出综合实践活动与各学科领域形成一个有机整体，二者既有其相对独立性，又存在紧密的联系，在某些情况下，综合实践活动也可和某些学科教学打通进行，同时，各学科课程中亦应注重培养学生的实践和综合应用能力。为此《义务教育数学课程标准》中增加了“实践与综合应用”这一全新的内容，并将它和“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”并列为数学学习内容的四个领域。理解和把握这一领域，对数学课程的发展和数学教学的改革无疑是非常重要的。

1 “实践与综合应用”的教育价值与阶段性

1.1 “实践与综合应用”的教育价值

传统的数学课程中，代数、几何都是按照各自的学科体系，以直线式的结构发展，相互之间的联系不够，并且过于注重几何、代数各个分支内容的逻辑体系，而忽视与学生现

实生活的联系，从而导致学生数学理解的单一化倾向，缺乏数学应用的实践经验，数学应用能力低下，更别谈其综合应用。“这在一定程度上，造成我们的学生强于基础、弱于应用，强于答卷、弱于动手，强于考试、弱于创造的局面”[2]。为此，课程标准调整了数学学科的结构，在“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”这些知识性的领域之外，设置了“实践与综合应用”这一数学学习领域。具体地，《课程标准》指出：“实践和综合应用”将帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的，具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”内容的理解，体会各部分内容之间的联系[3]。

1.2 “实践与综合应用”的阶段性

毫无疑问，“实践与综合应用”需要学生对数学知识具有较为深刻的理解和一定的综合应用能力，是数学教育的较高要求，因而在课程设计和教学实施时，要注意“实践与综合应用”的阶段性，力争切合学生的生活实际和认识实际，保证“实践与综合应用”的可行性。具体地，《标准》对各个学段的“实践与综合应用”作了如下要求：第一学段，学生通过实践活动，初步获得一些数学活动的经验，了解数学在日常生活中的简单应用，初步学会与他人合作交流，获得积极的数学学习情感；第二学段，学生将通过数学活动了解数学与生活的广泛联系，学会运用所学的知识和方法解决简单的实际问题，加深对所学知识的理解，获得运用数学解决问题的思考方法，并能与他人进行合作交流；第三阶段，学生将探讨一些具有挑战性的研究课题，发展应用数学知识解决问题的意识和能力，同时进一步加深对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系。

也就是说，第一学段考虑到学生的综合思维能力还比较低，综合应用的成份较少，而是强调与学生生活经验的联系，强调具体化的实践活动，并通过实践活动了解数学的应用，例如“某班要去当地三个景点游览，时间为某天8：00-16：00。请你设计一个游览计划，

包括时间安排、费用、路线等。”学生在解决这个问题的过程中，势必要从事了解相关信息，借助数、图形、统计图表表述有关信息，利用简单的数学知识进行有关费用、时间等的计算，合作设计游览计划并进行交流等活动。通过这个问题的解决，学生可以提高收集、整理信息的能力，体会数学的简单应用，并增强与他人合作的意识。

第二阶段，对学生应用的要求提高了，在继续保持实践活动的基础上，加入了综合应用。四川省仪陇县新政小学的何绪铜老师曾经要求他的学生自我制作一个该镇的方位图，并绘出各自上学的线路。在学生完成该作业时，首先，必须具有一定的空间概念，能绘制出简单的平面图形。而为了所绘制图形的准确，需要选择适当的比例，利用代数运算算出图上各个道路的长度等，而各街道或建筑物实际长度的测量和估算，又用到统计的相关知识和估算的方法，因此，本题应是“综合应用”的一个典型案例。实践证明，该问题是学生学力所能及的。这样的“实践与综合应用”，学生是比较感兴趣的。该班一位平时数学仅考十多分的学生，却愿意花了几个小时的时间去画方位图，这就是一个明证。此外，在问题的综合应用过程中，无疑也增强了学生的审美意识，增进了学生热爱家乡的朴素情感。一些同学在绘图时，能运用数学知识，选择一些标志性的建筑物或景点作参照点，对于这些参照点，有些同学还能够适当的图形符号表示，实质上，这就渗透着数学的符号化思想。

第三阶段，随着学生生活经验的丰富和认知水平的提高，在前两个基础上加入了一个研究过程，侧重于在实践基础上的“课题学习”，让学生通过一些具有挑战性的研究课题，获得初步的研究经验，发展一定的研究能力。如对于课题“用一张长方形的纸制作一个尽可能大的无盖长方体纸盒”[4]，学生势必逐步研究下列问题：如何折叠方可制作一个无盖的长方体？长方体的体积如何表示，什么情况下该长方体的体积较大等，这一过程实际上就是一个简单的数学研究过程，通过该问题的解决，学生必可获得一定的研究经验。 应该说，这样的阶段性定位是比较恰当的，在现在的课程改革实验中，“实践与综合应用”已经得到了广大实

验教师和学生的广泛欢迎。

2 “实践与综合应用”的形式

“实践与综合应用”的开展形式是多样化的，如数学调查、数学制作与设计、数学实验、问题解决、数学探究、数学主题阅读等。

数学调查是指选择某个具有现实意义的主题，要求学生通过一定的调查活动，收集有关数据并对收集的数据进行数学处理，从而作出相应的推断，用以指导实践的活动形式。如“开展统计活动，调查社会上垃圾袋的丢弃情况，并撰写调查报告进行交流”、“调查学生对袜子款式、颜色、质地等的喜好情况，向有关厂家提供一份研究报告和建议”等。

而数学制作就是利用所学的数学知识制作某种规定要求的作品，当然这个作品可以是某个实物模型，也可以是某个图形甚至某种方案，例如“制作七巧板”就是一个数学制作活动；而相对而言，数学设计的要求的规范性要弱一些，因而更具开放性，例如 “利用七巧板设计一些美丽图案或者某个故事情节”、“研究七巧板的原理，自己设计一个五巧板、九巧板等，并利用它们拼摆成一些美丽的图案”等。

数学实验是指为了获得某些数学知识，形成或检验某个数学猜想，解决某类数学问题，学生运用有关工具（如纸张、剪刀、模型、测量工具、作图工具以及计算机等），在数学思维活动的参与下进行的一种以学生人人参与的实际操作为特征的数学验证或探究活动[5]。例如，“通过计算机的模拟实验，估计50人中有2人生日相同的概率”。

问题解决则指，面对一个原始的实际问题，通过将其数学化为一个数学问题，然后逐步进行数学处理从而获得问题的数学解决，最终再在实际问题情境中加以检验鉴别的过程。

例如“在不同的天气条件和工具下，探索估测学校操场上旗杆的高度的方法”，“设计符合某些实际条件的抛物线型拱桥”，“用一张正方形的纸怎样才能制成一个无盖的长方体？怎样才能使制成的无盖长方体的容积尽可能大？”等，都是要求学生借助数学知识解决一个原始的实际问题，从中获得数学应用的实际体验和数学问题解决的能力。

数学探究主要指在学习某个数学知识时，围绕某个数学问题进行自主探究、学习的过程[5]。它往往包括这样几个过程：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，并给出解释或证明。它和上面所说的问题解决的区别在于，问题解决面向的主要是课外的实际问题，而数学探究面向的主要是课内的数学问题。因而，在教学上，两者的侧重点也有所不同，数学探究更为关注数学问题内部关系的挖掘和数学问题相互之间的转化，更为关注学生数学研究、数学学习的策略和方法的养成。

而数学主题阅读是指就一个确定的数学内容或主题，由教师或学生自己选择一些相关的数学文献，学生自主地进行阅读学习，以达到一定的阅读目标的过程[5]。数学主题阅读，可以有效地培养学生自学能力和收集、加工、整理、利用信息的能力。随着技术条件的成熟和学生年龄的增长，数学主题阅读将成为学生“实践与综合应用”的一个重要方式。

以上介绍了“实践与综合应用”的几种形式，事实上，要对此进行逻辑的分类是比较困难的，某个“实践与综合应用”活动同时兼具几种形式的特点，或者说在某个课题学习活动中同时进行了几种形式的活动的现象是正常的，对他们进行严格的区分反而是不现实的。同时，现阶段，我国义务教育阶段开展“实践与综合应用”活动，尚处于一个实验摸索阶段，相信随着广大教师“实践与综合应用”教学实践的不断深入，一定会创造出更多的“实践与综合应用”的新形式和新途径。

此外，“实践与综合应用”活动开展的时空具有一定的灵活性，可以以课内外、教室

内外相结合的形式进行。这些活动可以通过课堂学习方式完成，也可以通过作业形式，要求学生经过一段时间实践去完成。特别是一些较大的调查活动和初中的课题研究活动，可以让学生组成合作小组，在课后完成，然后到课堂上进行班组汇报、总结。

当然，在具体教学实施中还应该根据各个学段学生的特点有选择的设计。

3 “实践与综合应用”的教材编制

3.1 教材中设计“实践与综合应用”的必要性

课程标准中明确提出了加强数学的应用教学，倡导自主探索、合作交流的学习方式，倡导在教师的指导下开展“数学知识的再创造”学习活动，培养学生的研究能力。现行实验教材的编写和日常教学的开展中已较好的体现了这一点，在“数与代数”“空间与图形”“概率与统计”等知识教学中，也已经注重了学生的实践和综合应用能力的培养、注重了学生研究性学习方式的养成。因此，有人认为没有必要开展单独的“实践与综合应用”，可以在相应内容的教学中开展一定的实践性活动，增强其实践性即可。为此，有必要进一步比较“实践与综合应用”和其他知识学习的功能。下面以初中阶段“课题学习”为例加以说明。

固然，在日常教学中，已经注重了学生研究性学习方式的养成，但“课题学习”更具深刻性。具体地，“课题学习”具有如下特点：

（1）课题学习的目标并非新知识的习得，而是旧知识的综合应用，教学中更为关注学生在问题解决中的亲身体验，因而目标更具过程性。

（2）课题学习解决的是未经加工的原始问题，因而背景更具现实性、问题更具挑战性。

（3）课题学习问题的解决，需要综合应用“数与代数”“空间与图形”“概率与统计”等多种知识，因而内容更具综合性。

（4）有时课题学习只是给出了一个原始的问题，并未规定解决问题的手段，甚至只是规定了一个大的方向，问题本身的提出和解决都由学生自己选择。例如“吸烟和被动吸烟都有害健康，你所在地区大约有多少人吸烟，有多少人被动吸烟，吸烟对人有哪些危害，吸烟浪费多少物质资源……选择某个感兴趣的主题开展调查，并撰写实验报告，在全班交流”。在这一问题中，调查主题及方式都由学生自己选择。因而学生的学习更具自主性、选择性，学习结论更具开放性。

因此，在教材中编制一定的“实践与综合应用”课题，展开专题研究，有利于提高学生的实践与综合应用能力、转变学生的学习方式、促进学生的合作交流。特别是现阶段广大师生的实践与综合应用的经验相对缺乏、意识比较薄弱的情况下，在教材中设计一定的“实践与综合应用”课题，显得尤为必要。

3.2 “实践与综合应用”素材的选取

开展“实践与综合应用”活动，必然以某个素材为载体。那么，“实践与综合应用”的素材如何选择呢？笔者认为，实践性和综合性无疑应是“实践与综合应用”题材选择的两个最为重要的原则。

“实践与综合应用”的一个重要目标，是让学生体会数学与现实世界的联系，树立正确的数学观[2]。因此，选择“实践与综合应用”题材时务必遵循实践性原则。通过切合学

生生活实际和认知实际的现实问题，加强数学学习与学生生活的联系，激发学生的学习兴趣，培养学生学习的主动性和数学应用的意识，同时，也有助于学生对数学知识本体的掌握。此外，具有现实背景的“实践与综合应用”题材，更容易体现课程的人文精神和德育价值。如“调查学生一天丢弃的纸团的个数或家庭丢弃的垃圾袋个数”，可增强学生的环保意识；“调查家庭、学校或城市的用水量、水龙头漏水量等”可加强国情教育。

加强数学各部分内容间的联系，发展学生的综合应用能力，是这一部分学习活动的另一个重要目标[2]。这里的“综合应用”可以是数学各部分知识与表达方式之间的综合。例如对于前述课题学习“用一张长方形的纸制作一个尽可能大的无盖长方体纸盒”，它本身是一个几何背景问题，在如何折叠方可制成一个无盖的长方体的过程中，学生势必应用到许多“空间与图形”的知识；而在长方体体积的表示过程中，又要综合运用“数与代数”和“空间与图形”的知识；初中生尚不具备求三次函数极值的严格数学方法，因此，学生还难以数学地回答“什么情况下，长方体的体积较大”这一问题，只能通过一些具体情形的比较从而获得问题的解决，在这一过程中，又会运用到一定的统计知识，因此，可以说该例是加强“数与代数”“空间与图形”“概率与统计”知识联系和综合应用的一个较好案例。当然，这里的综合应用也可以是数学学科知识与其他学科知识的综合。如“平面图形重心的确定”、“抛物线拱桥的设计”等则可加强数学与物理的联系；而“C60的球状结构分析”也可以作为高中阶段加强数学与化学学科知识联系的一个案例。

当然，在体现题材的实践性和综合性的基础上，素材选择时还应关注问题的数学性，力图在问题的解决过程中发展学生的数学思维。特别是，在初中阶段，学生已经具备了初步的抽象思维的能力，进行一定的数学拓展已经成为可能。

案例：猜想、证明与拓广[6]

本案例依次提出下列问题：

任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积地2倍？你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出什么新的问题吗？

任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？

任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半呢？

在这些问题的解决过程中，学生必将经历猜想、尝试、证明、拓广等过程，从而增强学生问题意识和自主性，使学生获得一定的探索和发现的体验。

此外，在素材选取时，还应关注问题解决方式的多样化和问题结论的开放性。

上面分析了“实践与综合应用”素材的选取原则，那么这些素材又由谁来选取呢？应该说，在现阶段，一线教师和学生对于“实践与综合应用”尚处于实验探索阶段，对于其素材的选取还缺乏一定的把握能力，因此由课程编制人员通过多方研讨确定一些“实践与综合应用”的主题以供一线教师和学生选用，是十分必要的。但应该明确，我国幅员辽阔，地区、学校、学生之间的差异性较大，因而课程编制人员所提供的素材很难符合所有学生的认知实际。为此，一方面，教材编制时也可就同类题材编制多个“实践与综合应用”，以供学生或老师根据学生的认知实际和生活实际自主选用；另一方面，随着教材实验的进一步推广，教师和学生“实践与综合应用”活动经验的不断丰富，应逐步由一线教师和学生根据学生自己的生活实际和认知状况选取有关“实践与综合应用”的素材。在这样的素

材选取过程，实际上也无形中增强了学生运用数学知识解决实际问题的一种主动意识，发展了学生发现问题和探究问题的能力。

3.3 “实践与综合应用”的教材呈现

由于“实践与综合应用”具有多样的形式，因此，在教材编制时应根据其具体形式确定具体的编写体例。但不管怎样，教材体例应尽量体现学生学习的自主性、选择性，增大问题设置的梯度，真正地让学生经历自主的问题解决和研究过程。

当然，对于刚开始实验的学生，其实践与综合应用能力相对较低，可以先增加问题的“台阶”，减少问题的梯度，待其有了一定的“实践与综合应用”的解决经验之后，再逐步增加问题的梯度，最后，甚至可以只给予学生一个现实情境，让学生自主地提出问题和解决问题。当然，由于现阶段教师“实践与综合应用”的经验和能力尚显缺乏，因此，在相应教师参考用书中给出问题的各种解决方案或教学的一些建议，给教师教学提供一些参考仍是十分必要的，但这仅仅是参考，具体的教学仍应以学生的认知状况和课堂反映为生长点。

总之，作为一个新生事物，“实践与综合应用”尚有待于广大教师和教材编制人员的进一步探索和实践。

参考文献：

[1].基础教育课程改革纲要（试行）。

[2].数学课程标准解读.北京师范大学出版社，2002.

[3].数学课程标准（实验稿）.北京师范大学出版社，2001.

[4].义务教育课程标准实验教科书.数学七（上）. 北京师范大学出版社，2002.

[5].张思明等 数学课题学习的实践与探索. 高等教育出版社，2003.

[6].义务教育国家课程标准实验教科书（新世纪版）九（上）.北京师范大学出版社，2003.