导数在函数的单调性,极值中的应用

导数在函数的单调性、极值中的应用

一、知识梳理

1．函数的单调性与导数

在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：

如果f_′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；

如果f_′(x)<0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递减；

如果f_′(x)＝0，那么 f(x)在这个区间内为常数．

问题探究1：若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f ′(x)>0吗？f ′(x)>0是否是 f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？

提示：函数 f(x)在(a，b)内单调递增，则f ′(x)≥0，f ′(x)>0是 f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．

2．函数的极值与导数

(1)函数的极小值

函数 y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f_′(x)<0，右侧f_′(x)>0，则点a叫做函数 y＝f(x)的极小

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值点，f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．

(2)函数的极大值

函数 y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近，左侧f_′(x)>0，右侧f_′(x)<0，则点b叫做函数 y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大值．

极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

问题探究2：若f ′(x0)＝0，则x0一定是f(x)的极值点吗？

提示：不一定．可导函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而不是充分条件，如函数f(x)＝x3，在x＝0时，有f ′(x)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．

二、自主检测

1．函数y＝x－lnx的单调减区间是( )

A．(－∞，1) B．(0,1)

C．(1，＋∞) D．(0,2)

2．函数f(x)＝x3－3x2＋3x的极值点的个数是( )

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A．0 B．1

C．2 D．3

3．函数 f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )

A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)

C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)

4．(2012年山东诸城高三月考)已知函数 y＝f(x)，其导函数 y＝f ′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( )

A．在(－∞，0)上为减函数

B．在x＝0处取极小值

C．在(4，＋∞)上为减函数

D．在x＝2处取极大值

5．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝( )

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A．2 B．3

C．4 D．5

6．(1)函数f(x)在x＝x0处可导，则“f ′(x0)＝0”是“x0是函数f(x)极值点”的________条件．

(2)函数f(x)在(a，b)上可导，则“f ′(x)>0”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的________条件．

(3)函数f(x)在(a，b)上可导，则“f ′(x)≥0”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的________条件．

三、考向指导

考点1 求函数的单调区间

1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法

(1)确定函数 f(x)的定义域；

(2)求 f ′(x)，令f ′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根；

(3)把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间；

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(4)确定f ′(x)在各个开区间内的符号，根据f ′(x)的符号判定函数 f(x)在每个相应小开区间内的增减性．

2．证明可导函数 f(x)在(a，b)内的单调性的步骤

(1)求 f ′(x)．

(2)确认 f ′(x)在(a，b)内的符号．

(3)作出结论： f ′(x)>0时， f(x)为增函数； f ′(x)<0时， f(x)为减函数．

例1 (2010年全国)已知函数 f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.

(1)设a＝2，求 f(x)的单调区间；

(2)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．

课堂过手练习：

设函数 f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求：

(1)a的值；

(2)函数 y＝f(x)的单调区间．

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考点2 由函数的单调性求参数的取值范围

已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数 f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是 f ′(x)≥0(或 f ′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且 f ′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数 f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有 f ′(x0)＝0，甚至可以在无穷多个点处 f ′(x0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间．

例2 已知函数f(x)＝x3－ax－1，在实数集R上y＝f(x)单调递增，求实数a的取值范围．

课堂过手练习：

已知f(x)＝ex－ax－1.

(1)求f(x)的单调增区间；

(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；

(3)是否存在a，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

考点3 求已知函数的极值

运用导数求可导函数 y＝f(x)极值的步骤：

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(1)先求函数的定义域，再求函数 y＝f(x)的导数 f ′(x)；

(2)求方程 f ′(x)＝0的根；

(3)检查 f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值．如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值．

例3 设f(x)＝，其中a为正实数．

1＋ax2

ex

4

(1)当a＝时，求f(x)的极值点；

3

(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．

课堂过手练习：

函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．

考点4 利用极值求参数

已知函数解析式，可利用导数及极值的定义求出其极大值与极小值；反过来，如果已知某函数的极值点或极值，也可利用导数及极值的必要条件建立参数方程或方程组，从而解出参数，求出函数解析式．

例4 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．

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(1)试确定常数a和b的值；

(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．

课堂过手练习：

设函数f(x)＝(x－a)2lnx，a∈R.

若x＝e为y＝f(x)的极值点，求实数a.

易错点 求参数取值时出现

典例：

已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求a的取值范围．

(1)当函数在某个区间内恒有f ′(x)＝0，则f(x)为常数，函数不具有单调性．∴f (x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件．在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，在学习过程中注意思维的严密性．

(2)函数极值是一个局部性概念，函数的极值可以有多个，并且极大值与极小值的大小关系不确定．要强化用导数处理单调性、极值、最值、方程的根及不等式的证明等数学问题的意识．

(3)如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．

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纠错课堂练习：

已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1处取极值－2.

(1)试用c表示a，b；

(2)求f(x)的单调递减区间．

1．与函数的单调性有关的问题

(1)利用导数求函数的单调区间，可通过f ′(x)>0或f ′(x)<0来进行，至于区间的端点是否包含，取决于函数在端点处是否有意义，若有意义，则端点包含与不包含均可；若无意义，则必不能包含端点．

(2)若函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)，则在(a，b)上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，若该不等式中含有参数，我们可利用上述结论求参数的范围，它蕴涵了恒成立思想．利用上述方法求得参数的范围后，要注意检验该参数的端点值能否使f ′(x)＝0恒成立．若能，则去掉该端点值；否则，即为所求．

2．与函数的极值有关的问题

(1)求函数的极值点，可通过f ′(x)＝0来求得，但同时还要注意检验在其两侧附近的导函数值是否异号．

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(2)若函数f(x)在x＝x0处有极值，则一定有f ′(x0)＝0，我们可利用上述结论求参数的值．

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