《微观经济学：原理与模型》及其证明方法

第三篇 企业经济行为

第八章 生产函数

第五节 生产函数与技术进步

===================== ===================== 附：一般生产函数的一般性质

在经济学中经常涉及到要用一个函数来描述厂商的生产过程，我们把这个函数叫做生产函数。

它的性质在经济学中经常用到，这里给出一个简单介绍。

假设厂商的产出Y由厂商投入资本存量K(t)和劳动力L(t)来生产，这个过程由函数Y(t)F(K(t),L(t))给出。假设函数F(,):RRR是二阶连续可微的，并且满足：

1

A1．F(0,L(t)0,F(K(t),0)0，即没有资本投入或者没有劳动力投入都不可能生产出产品。这也是人们通常讲的“没有免费的午餐!”

A2．函数F(,)对于变量是非降的，即投入品越多，产出越多。由生产函数的可微性，假设A2可以表示为

F(K,L)F(K,L)0,0 KL

A3．生产函数是常数规模回报的，即对任意的0，有

F(K(t),L(t))F(K(t),L(t))

假设A3告诉我们，如果把所有的投入同时提高倍，总的产出也会相应地提高倍。在生产函数的连续可微性假设下，由假设A3可以得到下面的Euler方程：

F(K(t),L(t))F(K,L)F(K,L)KL KL Euler方程告诉：在完全竞争的假设下，具有常数规模回报的厂商的所有收益被资本回报和工资所瓜分，因此它的极大化利润为零。

A4．生产函数对变量是拟凹的，即对任意的生产可行性计划

(K1,L1),(K2,L2)和任意的[0,1]有

F(K1(t)(1)K2(t),L1(t)(1)L2(t))min{F(K1,L1),F(K2,L2)}

条件A4等价于厂商的要素需求集是凸集合，但它在应用中较难，因此通常用更强的条件来代替：

2

A4．生产函数对变量是严格凹的，即对任意的不同的生产可行性计划

(K1,L1),(K2,L2)和任意的(0,1)，有

F(K1(t)(1)K2(t),L1(t)(1)L2(t))F(K1,L1)(1)F(K2,L2)

在生产函数的可微性下，严格凹性等价于生产函数的Hessian矩阵是负定的。同时也可以得到

2F(K,L)0,K22F(K,L)0 L2 因此，在生产函数的严格凹性下，资本存量和劳动力的边际生产率都是递减的。

A5．生产函数满足Inada条件，即

KK0limFK(K,L)0,limFL(K,L)0KL0limFK(K,L),limFL(K,L)

假设A5表明当资本存量水平或者劳动力水平充分大时，它们的边际生产率充分小；反之，当它们的水平充分小时，它们的边际生产率充分大。

例如：对任意的0，0，考虑生产函数：

F(K,L)(aK(1a)L)1

可以验证上面函数满足条件A1~A3，A4和A5。我们通常所讲的Cobb-Douglas生产函数

Y(t)A(t)K(t)L(t)

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就满足上述所有的假设。其中,为非负常数，满足0,1。 ===================== =====================

一、常用生产函数

在企业现实生产中，生产函数大多是非线性的。

为简单起见，通常假设生产函数为线性或可以线性化的生产函数(1inear producdon function)，并据此来分析有关生产函数的性质。 (一)线性齐次生产函数

线性齐次生产函数具有如下性质： 1．规模报酬不变。

规模报酬不变是线性齐次生产函数的首要性质。 根据式(8．13)和式(8．16)，由于Er1，则

f(L,K)rf(L,K)q (8．17) 式(8．17)表示投入L,K变动倍，产量也相应变动倍，呈线性变动。

2．要素投入的平均产量和边际产量取决于投入比例，而与投人数量无关。

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从平均产量来看，令，并代入式(8．17)，可得

qLKKK f,f1, (8．18)

LLLLL1L由于

qqL，将式(8．18)代入，可得 KLK

qKLKKLKLKK19)  (8．

LL从边际产量来看，由式(8. 18)有 qLf1,求上式对L的偏导数，可得

qKKKL2LLLL (8．21)

KKKLLLKKL (8．20) LL由式(8．20)对K的偏导数，可得

qK1LLLLKL (8．21)

式(8．18)和式(8．19)，式(8．21)和式(8．22)说明，AP，MP都是

K的函数。 L

3．线性齐次生产函数满足欧拉定理(Euler’s theorem)。

针对线性齐次生产函数，欧拉定理可用式(8．23)来表示。其经济含义是，各种投入的边际产量与投人数量乘积之和，等于总产量。

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q

(二)柯布一道格拉斯生产函数

qqLK (8．23) LK 柯布一道格拉斯生产函数(Cobb-Douglas production function)简称C-D生产函数，其表达式为

qALK (8．24)

其中，A为规模参数(scale parameter)，A0。为劳动的产出弹性(01)；为资本的产出弹性(01)。C-D生产函数具有如下性质：

1．次齐次生产函数。

由于

A(L)(K)ALKALKq (8．25) 对照式(8．16)，可知

r

2．等产量线的斜率为负，并凸向原点。

对式(8．24)微分，可得 dq由于

dq0

qqdLdK(AL1K)dL(ALK1)dK LK 6

故

AL1KdLALK1dK

dKAL1KK 01dLALKL(,,L,K0) (8．26)

上式表示：C-D生产函数等产量线的斜率，即劳动对资本的边际技术替代率为负。而且

d2KdLdKdLKLdLLLdL2L2 1dKdKLK0,,L,K0,0L2dLdLdKdLLKdLdL上式表明：C-D生产函数等产量线斜率的变化率为正，故等产量线凸向原点。

3．规模报酬状况取决于大于、小于还是等于1。若1，则为线性齐次生产函数。

因1，式(8．24)可表达为

1qALK

A(L)(K)1AL1K1ALK1ALK1q (8．27)

(三)不变替代弹性生产函数

不变替代弹性生产函数(constant elasticity of substitution production function)简称CES生产函数，是包括线性生产函数、投

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入产出生产函数、C-D生产函数在内的一簇具有不变替代弹性的生产函数。

它的一般形式是

qA[L(1)K] (8．28) 其中，A为规模参数，A0；为产出弹性，01；为替代参数，替代弹性

E10，故1。 11

根据替代参数，可以推导替代弹性，从而确定生产函数的性质： 1、若1，E的线性生产函数

qA[L(1)K]

1，CES生产函数蜕化为具有完全替代弹性12、若，E产出生产函数

10，CES生产函数变成完全无替代弹性的投入1 qmin,3、若0，EC-D生产函数

LK ab11，CES生产函数变成为具有单一替代弹性的11qALK

显然，C-D生产函数是CES生产函数的特例，即具有单一替代弹

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性的CES生产函数，而CES生产函数是C-D生产函数的一般化，即替代弹性虽为常数，但不一定是单一替代弹性的C-D生产函数。

上述各种不同替代弹性生产函数的等产量线可以表示为图8．10。

KE0 E1 E O L

图8.10 不同替代弹性的等产量线

二、技术进步及其测定

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(一)技术进步的概念

技术进步(technical progress)的概念来自经济用生产函数对经济增长的研究。

在考虑技术进步时，通常把生产函数定义为

qA(t)f(L,K) (8．29) 其中，L和K分别代表劳动和资本的投入，q代表产量。A代表技术进步因子，为时间t的函数。人们将劳动和资本投入以外影响产出的一切因素，笼统地称为技术进步。

为了解释技术进步的性质，经济学采取各种统计方法对其进行剖析，分解出一系列解释变量。尽管如此，技术进步仍然带有某种神秘色彩，受到各种术语含义不同的困扰。这里，我们从广义上将技术进步定义为：能够使一定数量的投入组合，产出更多产品的所有因素共同作用的过程。

一般来说，广义的技术进步主要体现在以下几方面：知识创新，装备改进，工艺变革，劳动素质，管理水平，环境，等等。

(二)技术进步的类型

一般来说，任何意义上的技术进步，都意味着生产函数的变动。

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按照边际技术替代率的变化，可将技术进步分为三种类型： 1．资本使用型技术进步

在一定的资本、劳动比例下，技术进步的结果使资本边际产量的变化率大于劳动边际产量的变化率，即劳动对资本的边际技术替代率递减，称为资本使用型(capital using)技术进步，又称劳动节约型(1abor saving)技术进步。即

dMPKdMPL MPKMPL

2．劳动使用型技术进步

在一定的资本、劳动比例下，技术进步的结果使资本边际产量的变化率小于劳动边际产量的变化率，即劳动对资本的边际技术替代率递增，称为劳动使用型(1abor using)技术进步，又称资本节约型(capital saving)技术进步。即

dMPKdMPL MPKMPL

3．中性技术进步

在一定的资本、劳动比例下，技术进步的结果使资本边际产量的变化率等于劳动边际产量的变化率，即劳动对资本的边际技术替代率不变，称为中性(neutral)技术进步。即

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dMPKdMPL MPKMPL

上述不同类型的技术进步，可以通过等产量线向原点移动的不同方式来反映。

在图8．11中，假设所有产量水平相同，但q2，q3，q4的技术水平都高于q1。等产量线向原点移动的不同轨迹，反映技术进步的类型不同。在价格因素不变的条件下，q1q2属于中性技术进步，q1q3属于资本使用型技术进步，q1q4则属于劳动使用型技术进步。

Kq1 q3 q2 O q4 L

图8.11 技术进步的类型

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(三)技术进步的测定 1．综要素生产率

如何测定技术进步的作用，是一直困扰着经济学界的难题，至今尚未取得共识。在实际工作中，目前影响较大的是美国索洛(R．Solow)在1957年发表的《技术进步与总生产函数》。①

以Y表示产出，生产函数的一般形式为

qALK (8．30)

两边取自然对数并微分，可得

dYdAdf(L,K) YAf(L,K)因为

df(L,K)ffdLdK LK所以

ffLKdYdAdLKdKL YAf(L,K)Lf(L,K)K式中，左端为经济增长率，右端第一项为广义技术进步贡献率，第二项为劳动贡献率(劳动产出弹性与其增长率之积)，第三项为资本贡献率(资本产出弹性与其增长率之积)。

即

①

Robert Solow: Technical change and the aggregate production function, Review of Economics and Statistics,

1957

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dYdAdLdKELEK YALK

dAdYdLdKELEK (8．31) AYLK在实际测算中，由于难以直接估计各项投入的产出弹性，通常假设它们等于各自在总产出中所占的比例，而且规模报酬不变。

据此，利用有关统计数据，便可测算出式(8．31)中的技术进步率。索洛利用美国1909—1949年的有关数据，得到式(8．31)中的各项数值为

dY2.75% YdL每年劳动增长率1.00%

LdK1.75% 每年资本增长率K每年经济增长率

劳动的产出弹性EL0.65 资本的产出弹性EK0.35 技术进步率

dA1.50% A这就表明，在这个时期中，美国经济增长的55％1.50来自技术进步。2.75但是，由于这个技术进步中也包括自然因素、制度因素、因素、国际因素等，所以人们通常称之为综合要素生产率。

2．体现型技术进步率

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李子奈、鲁传一在索洛、英特列里格托(Intriligator)、菲尔普斯(Phelps)、纳尔逊(Neleon)等人研究的基础上，提出一个包括资本、劳动体现型技术创新和非体现型管理创新的生产函数模型①： 其中：

dY为经济增长率 YdA为管理创新率 AdYdAdKdLEKdaELdb (8．32) YAKLEK,EL为资本、劳动产出弹性

dKdL,为资本、劳动增长率 KL，分别为由于资本质量提高而使资本使用效率年提高速度，由于

劳动者平均受教育水平提高而使劳动生产率年提高速度

da，db分别为资本平均使用寿命的变化，劳动者平均工作年龄的变

化

由式(8．32)可知：体现资本、劳动等要素质量提高的技术创新，已从广义技术进步中分离出来，从经济增长率中扣除这些有载体的技术创新的贡献，便是无载体的管理创新的贡献。

资本体现型技术创新的贡献＝EKEKda (8．33) 劳动体现型技术创新的贡献＝ELELdb (8．34)

①

李子奈，鲁传一．管理创新在经济增长中贡献的定量分析．清华大学学报(哲学社会科学版)2002年，第2期

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技术创新对经济增长的贡献率＝管理创新对经济增长的贡献率

(EKEKda)(ELELdb) (8．35)

dY/YdKdLEKdadbdAKL (8．36) 1AdY/Y

根据我国1978—1998年的有关数据，模型研究得出以下结论： 国民生产总值年平均增长速度资本投入年平均增长速度

dY9.71% YdK8.78% KdL劳动投入年平均增长速度2.82%

L资本的产出弹性EK0.515 劳动的产出弹性EL0.485 广义技术进步率

dA3.82% AdKdY46.59% KYdLdY14.05% 劳动投入对经济增长贡献率ELLYdAdY39.36% 广义技术进步对经济增长贡献率

AYdAdY11.90% 技术创新对经济增长贡献率等

AYdAdY27.46% 管理创新对经济增长贡献率等

AY资本投入对经济增长贡献率EK

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