新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明[1]2

三角形“四心”向量形式的充要条件应用

在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：

一． 知识点总结 1）O是ABC的重心OAOBOC0;

若O是ABC的重心，则uuuruuuruuuruuur1PG(PAPBPC)G为ABC的重心. 3SBOCSAOCSAOB1SABC3故OAOBOC0;

2）O是ABC的垂心OAOBOBOCOCOA;

tanB：tanC 若O是ABC(非直角三角形)的垂心，则SBOC：SAOC：SAOBtanA：故tanAOAtanBOBtanCOC0

3）O是ABC的外心|OA||OB||OC|(或OAOBOC)

若O是ABC的外心

sinAOC：sinAOBsin2A:sin2B:sin2C 则SBOC：SAOC：SAOBsinBOC：222故sin2AOAsin2BOBsin2COC0

4）O是内心ABC的充要条件是

OA(AB|AB|ACAC)OB(BA|BA|BC|BC|)OC(CA|CA|CB|CB|)0

引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3，则刚才O是

ABC内心的充要条件可以写成：OA(e1e3)OB(e1e2)OC(e2e3)0 O是ABC内心的充要条件也可以是aOAbOBcOC0 若O是ABC的内心，则SBOC：SAOC：SAOBa：b：c

故 aOAbOBcOC0或sinAOAsinBOBsinCOC0; uuuruuuruuuruuuruuuruuurr|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心;

uuuruuurACABuuruuur)(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线向量(u|AB||AC|所在直线)；

二． 范例

(一)．将平面向量与三角形内心结合考查

例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足

A e1B P e2C OPOA(ABABACAC)，0,则P点的轨迹一定通过ABC的（ ）

（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心

解析：因为ABABuuuruuuruuur是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为e1和e2， 又

OPOAAP，则原式可化为AP(e1e2)，由菱形的基本性质知AP平分BAC，那么在ABC中，AP平分BAC，则知选B.

点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先ABAB是什么没见过！想想，一个非零向

量除以它的模不就是单位向量 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。

(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”

例2． H是△ABC所在平面内任一点，HAHBHBHCHCHA点H是△ABC的垂心. 由HAHBHBHCHB(HCHA)0HBAC0HBAC,

同理HCAB，HABC.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略））

例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若PAPBPBPCPCPA，则P是△ABC的（D ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析:由PAPBPBPC得PAPBPBPC0.

即PB(PAPC)0,即PBCA0 则PBCA,同理PABC,PCAB 所以P为ABC的垂心. 故选D.

点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。

变式：若H为△ABC所在平面内一点，且HABCHBCAHCAB 则点H是△ABC的垂心

证明: HAHBCABC

(HAHB)•BA(CACB)•BA 得(HAHBCACB)•BA0

H B 图6 2222222222A 即(HCHC)•BA0

ABHC

C 同理ACHB，BCHA 故H是△ABC的垂心

(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”

例4． G是△ABC所在平面内一点，GAGBGC=0点G是△ABC的重心. 证明 作图如右，图中GBGCGE

连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.

将GBGCGE代入GAGBGC=0，

得GAEG=0GAGE2GD，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心PG(PAPBPC). 证明 PGPAAGPBBGPCCG3PG(AGBGCG)(PAPBPC) ∵G是△ABC的重心

∴GAGBGC=0AGBGCG=0，即3PGPAPBPC

1A13OC由此可得PG(PAPBPC).（反之亦然（证略）） EB3uuuruuuruuurrD例6若O 为ABC内一点，OAOBOC0 ，则O 是ABC 的（ ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

ruuuruuuruuuruuuruuurruuu解析：由OAOBOC0得OBOCOA，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则uuuruuuruuuruuur1uuurOBOCOD，由平行四边形性质知OEOD，OA2OE，同理可证其它两边上的这个性质，

2所以是重心，选D。

点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三

2角形中线的内分点，所分这比为。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形

1的对角线互相平分及三角形重心性质等相 关知识巧妙结合。

uuuruuuruuur变式：已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点．则ADBECF0．

证明：

3ADGA2 3BEGB2CF3GC23ADBECF(GAGBGC)

2

GAGBGC0

uuuruuuruuur ADBECF0．．

变式引申：如图4，平行四边形ABCD的中心为O，P为该平面上任意一点，

uuur1uuuruuuruuuruuur则PO(PAPBPCPD)．

4uuur1uuuruuuruuur1uuuruuur 证明：QPO(PAPC)，PO(PBPD)，

22uuur1uuuruuuruuuruuur PO(PAPBPCPD)．

4点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则， 证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）

uuuruuuruuuruuur若P与O重合，则上式变OAOBOCOD0．

(四)．将平面向量与三角形外心结合考查

uuuruuuruuur例7若O 为ABC内一点，OAOBOC，则O 是ABC 的（ ）

A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

解析：由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。故O 是ABC 的外心，选B。 点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查

例8．已知向量OP1，OP2，OP3满足条件OP1+OP2+OP3=0，|OP1|=|OP2|=|OP3|=1， 求证 △P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）

证明 由已知OP1+OP2=-OP3，两边平方得OP1·OP2=， 同理 OP2·OP3=OP3·OP1=，

∴|P1P2|=|P2P3|=|P3P1|=3，从而△P1P2P3是正三角形.

反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|. 即O是△ABC所在平面内一点， OP1+OP1|=|OP2+OP3=0且|OP2|=|OP3|点O是正△P1P2P3的中心.

例9．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。

【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：

xxx2y2xyD（1,0)、E(1,)、F(2,2)

22222y C(x2,y2) x1x1x2y2（,y3)、H(x2,y4),G(,) 由题设可设Q233uuuuruuurxxyF H AH(x2,y4)，QF(21,2y3) E 222uuurG BC(x2x1,y2) uuuuruuurQ x QAHBCuuuuruuurA D B(x1,0) AH•BCx2(x2x1)y2y40

1212x2(x2x1)y2uuuruuuurQQFACuuuruuuurxxyQF•ACx2(21)y2(2y3)0

222x(xx1)y2y3222y22y4uuuurx2xx13x2(x2x1)y2QH(x21,y4y3)（2,)

222y22uuurxx1x1y22xx1y2x2(x2x1)y2QG(2,y3)（2,)323632y22uuuuruuur即QH=3QG，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2

【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。

2x2x13x2(x2x1)y212xx13x2(x2x1)y2

,)(2,)66y26322y22ur1uuu =QH3 (例10．若O、H分别是△ABC的外心和垂心. 求证 OHOAOBOC.

证明 若△ABC的垂心为H，外心为O，如图. 连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.

∴ADAB，CDBC.又垂心为H，AHBC，CHAB， ∴AH∥CD，CH∥AD，

∴四边形AHCD为平行四边形，

∴AHDCDOOC，故OHOAAHOAOBOC. 着名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：

（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；

（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题. 例11． 设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.

求证 OGOH

证明 按重心定理 G是△ABC的重心OG(OAOBOC) 按垂心定理 OHOAOBOC 由此可得 OGOH.

三、与三角形的“四心”有关的高考连接题及其应用

例1：（2003年全国高考题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足

131313OPOA(ABABACAC)，0,，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）

A F E C T B （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上如图设AEABAB,AFACAC都是单位向量

易知四边形AETF是菱形 故选答案B

例2：（2005年北京市东城区高三模拟题）O为△ABC所在平面内一点，如果OAOBOBOCOCOA，则O必为△ABC的（ ）

（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心

事实上OAOBOBOC(OAOC)OB0CAOB0OB⊥CA 故选答案D

例3：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足

OABCOBCAOCAB，则点O是三角形ABC的（ ）

（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心

222222事实上由条件可推出OAOBOBOCOCOA 故选答案D

例4：设O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点， 动点P满足OPOA(ABABcosBACACcosC)，0,，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）

（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上(ABABcosBACACcosC)•BC(BCBC)0 故选答案D

例5：2005年全国（I）卷第15题“ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，

uuuruuuruuuruuurOHm(OAOBOC)，则实数m=________”

先解决该题：

uuuruuur作直经BD，连DA，DC,有OBOD，DAAB，

DCBC，

AHBC，CHAB，故CH//DA，AH//DC

uuuruuur故AHCD是平行四边形，进而AHDC，又

uuuruuuruuuruuuruuurDCOCODOCOB uuuruuuruuuruuuruuur∴OHOAAHOADC uuuruuuruuuruuurOHOAOBOC故，所以m1

评注：外心的向量表示可以完善为：

图3

uuuruuuruuuruuur若O为ABC的外心，H为垂心，则OHOAOBOC。其逆命题也成立。

例6．已知向量OP1，OP1+OP1|=|OP2，OP3满足条件OP2+OP3=0，|OP2|=|OP3|=1， 求证： △P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题） 证明： 由已知OP1+OP1·OP2=-OP3，两边平方得OP2=1， 21 同理 OP2·OP3=OP3·OP1=， ∴|P1P2|=|P2P3P1|=3，从而△P1P2P3是正三角形. 3|=|P2反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有OP1+OP1|=|OP2+OP3=0且|OP2|=|OP3|，即O是△ABC所在平面内一点，

OP1+OP1|=|OP2+OP3=0且|OP2|=|OP3|点O是正△P1P2P3的中心.

四、练习

uuuruuur11uuur1uuur1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足OP=3(2OA+OB+2OC),

2则点P一定为三角形ABC的( B)

边中线的中点 边中线的三等分点(非重心) C.重心 边的中点

uuuruuuruuuur分析：取AB边的中点M，则OAOB2OM，

uuuruuur11uuur1uuuuuuruuuuruuuurr由OP=3(2OA+OB+2OC)可得3OP3OM2MC，

2∴MPMC，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心。

r2uuur2uuur2uuuuuur2uuur2uuur2

2．在同一个平面上有ABC及一点Ｏ满足关系式：OA+BC=OB+CA＝OC＋AB，则Ｏ为△ABC

uuurur2uuu3的(D)

A.外心 B.内心 C．重心 D．垂心

uuuruuuruuurr3．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：PAPBPC0，则P为△ABC的(C)

A.外心 B. 内心 C．重心 D．垂心

4．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：

uuuruuuruuuruuurOPOA(ABAC)，则P的轨迹一定通过△ABC的(C) A.外心 B. 内心 C. 重心 D．垂心

uuuruuuruuuruuuruuuruuur5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且满足：PA•PCPA•PBPB•PC0，则P点为三角形的 (D)

A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

uuuruuuruuur6．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：aPAbPBc•PC0，则P点为三角形的(B)

A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

uuur2uuur2uuuruuur7．在三角形ABC中，动点P满足：CACB2AB•CP，则P点一定通过△ABC的(B )

A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurABABACAC1r)·BC=0且uuur=,则△ABC为(D) r+uuur·uuu8.非零向量AB与AC满足(uuu|AC|2|AB||AC||AB|A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D．等边三角形

uuuruuuruuurABACruuur)·BC=0，即角A的平分线垂直于BC， 解析：非零向量与满足(uuu|AB||AC|uuuruuurABAC1ruuur=，∠A=，所以△ABC为等边三角形. ∴AB=AC，又cosAuuu3|AB||AC|2

uuuuruuuruuuruuur9.△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OHm(OAOBOC)，则实数m= 1

uuuruuuruuuruuuruuuruuur10.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OAOBOBOCOCOA，则点O是△ABC的(B)

(A)三个内角的角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (C)三条中线的交点 (D)三条高的交点

11.如图1，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，A uuuvuuuvuuuuvuuuvAC两边分别交于M，N两点，且AMxAB，ANyAC，则3。

证 点G是△ABC的重心，知GAGBGC0，得

uuuvuuuvuuuvrB

1x1yM G 图1

N

C

uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvruuuv1uuuvuuuvAG(ABAG)(ACAG)0，有AG(ABAC)。

3又M，N，G三点共线(A不在直线MN上)，

uuuvuuuuvuuuv于是存在λ，μ，使得AGAMAN(且1)，

1uuuvuuuvuuuv1uuuvuuuv11有AGxAByAC=(ABAC)，得1，于是得3。 xy3xy3