临翔区第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

临翔区第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 与命题“若x∈A，则y∉A”等价的命题是（ ）

A．若x∉A，则y∉A B．若y∉A，则x∈A C．若x∉A，则y∈A D．若y∈A，则x∉A 2． 过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（ ） A．x﹣2y+7=0

B．2x+y﹣1=0

C．x﹣2y﹣5=0

D．2x+y﹣5=0

3． 如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向次到第次反射点之间的线

点段记为

，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将

，

，将线段

竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）

A

第 1 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

B

C

D

4． 已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（ ） A．2

B．6

C．4

D．2

5． 如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为（ ）

第 2 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

A．20 B．25 C．22.5 D．22.75

6． 特称命题“∃x∈R，使x2+1＜0”的否定可以写成（ ） A．若x∉R，则x2+1≥0

B．∃x∉R，x2+1≥0

C．∀x∈R，x2+1＜0 D．∀x∈R，x2+1≥0 7． sin570°的值是（ ） A．

B．﹣ C．

D．﹣

8． 与﹣463°终边相同的角可以表示为（k∈Z）（ ） A．k360°+463°

B．k360°+103°

C．k360°+257°

D．k360°﹣257°

9． 如果对定义在R上的函数f(x)，对任意mn，均有mf(m)nf(n)mf(n)nf(m)0成立，则称 函数f(x)为“H函数”.给出下列函数： ①

f(x)ln2x5；②f(x)x34x3；③f(x)22x2(sinxcosx)；④

ln|x|,x0．其中函数是“H函数”的个数为（ ） f(x)0,x0A．1 B．2 C．3 D． 4

【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力，对函数的单调性定义能从不同角度来刻画，对于较复杂函数也要有利用导数研究函数单调性的能力，由于是给定信息题，因此本题灵活性强，难度大． 10．459和357的最大公约数（ ）

A．3 B．9 C．17 D．51

11．设f（x）=ex+x﹣4，则函数f（x）的零点所在区间为（ ） A．（﹣1，0）

B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）

+

=1Q两点，（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，若∠F1PQ=60°，

12．F2分别是椭圆设F1，

|PF1|=|PQ|，则椭圆的离心率为（ ） A．

B．

C．

D．

第 3 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

二、填空题

13．设p：实数x满足不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0），q：实数x满足不等式x2﹣x﹣6≤0，已知￢p是￢q的必要非充分条件，则实数a的取值范围是 ． 14．已知数列15．直线l：

的前项和是

, 则数列的通项

__________

（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围

（t为参数）与圆C：

是 ． 16．某辆汽车每次加油都把油箱加满，如表记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 35000 2015年5月1日 12 48 35600 2015年5月15日 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升．

17．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．

18．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】在平面直角坐标系xOy中，直线l与函数

fx2x2a2x0和gx2x3a2x0均相切（其中a为常数），切点分别为Ax1,y1和

Bx2,y2，则x1x2的值为__________． 三、解答题

19．计算： （1）8

+（﹣）0﹣

；

（2）lg25+lg2﹣log29×log32．

20．已知函数f（x）=x﹣1+

（a∈R，e为自然对数的底数）．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；

第 4 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

（Ⅱ）求函数f（x）的极值；

（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．

21．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E． （Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC （Ⅱ）求AD•AE的值．

22．某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图． （Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；

（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|m﹣n|＞10”概率．

第 5 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

23．解不等式|3x﹣1|＜x+2．

1x24．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe．（a∈R，e为自然对数的底数）

（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数f（x）在0,

1

上无零点，求a的最小值； 2

（Ⅲ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围．

第 6 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

临翔区第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：由命题和其逆否命题等价，所以根据原命题写出其逆否命题即可． 与命题“若x∈A，则y∉A”等价的命题是若y∈A，则x∉A． 故选D．

2． 【答案】A ∵过点（﹣1，3） ∴x﹣2y+7=0 故选A． 2y+c=0．

3． 【答案】C

【解析】解：由题意可设所求的直线方程为x﹣2y+c=0 代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7

【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x﹣

【解析】根据题意有：

A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）； A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；

E的坐标为（4，3，12） （1）l1长度计算 所以：l1=|AE|=（2）l2长度计算

将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：

A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；

显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称。 设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（xE2，yE2，24） 根据相识三角形易知： xE2=2xE=2×4=8， yE2=2yE=2×3=6，

=13。

第 7 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

即：E2（8，6，24）

根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内。 4． 【答案】B

2222

【解析】解：∵圆C：x+y﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）+（y﹣1）=4，

表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．

由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1）， 故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）． ∵AC=

∴切线的长|AB|=故选：B．

【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．

5． 【答案】C

【解析】解：根据频率分布直方图，得； ∵0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5， 0.3+0.08×5=0.7＞0.5； ∴中位数应在20～25内， 设中位数为x，则 0.3+（x﹣20）×0.08=0.5， 解得x=22.5；

∴这批产品的中位数是22.5． 故选：C．

【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数的应用问题，是基础题目．

6． 【答案】D

2

【解析】解：∵命题“∃x∈R，使x+1＜0”是特称命题

2

∴否定命题为：∀x∈R，都有x+1≥0．

=2

=

=6．

，CB=R=2，

故选D．

7． 【答案】B

【解析】解：原式=sin（720°﹣150°）=﹣sin150°=﹣．

第 8 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

故选B

【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．

8． 【答案】C

【解析】解：与﹣463°终边相同的角可以表示为：k360°﹣463°，（k∈Z） 即：k360°+257°，（k∈Z） 故选C

【点评】本题考查终边相同的角，是基础题．

9． 【答案】B

第

10．【答案】D

【解析】解：∵459÷357=1…102， 357÷102=3…51， 102÷51=2，

∴459和357的最大公约数是51， 故选：D．

【点评】本题考查辗转相除法，这是一个算法案例，还有一个求最大公约数的方法是更相减损法，这种题目出现的比较少，但是要掌握题目的解法．本题也可以验证得到结果．

11．【答案】C

x

【解析】解：f（x）=e+x﹣4， f（﹣1）=e﹣1﹣1﹣4＜0，

第 9 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

f（0）=e0+0﹣4＜0， f（1）=e1+1﹣4＜0， f（2）=e2+2﹣4＞0， f（3）=e3+3﹣4＞0， ∵f（1）•f（2）＜0，

∴由零点判定定理可知，函数的零点在（1，2）． 故选：C．

12．【答案】 D

【解析】解：设|PF1|=t， ∵|PF1|=|PQ|，∠F1PQ=60°， ∴|PQ|=t，|F1Q|=t，

由△F1PQ为等边三角形，得|F1P|=|F1Q|， 由对称性可知，PQ垂直于x轴， F2为PQ的中点，|PF2|=， ∴|F1F2|=

，即2c=

，

=t，

由椭圆定义：|PF1|+|PF2|=2a，即2a=t

∴椭圆的离心率为：e==故选D．

=．

第 10 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

二、填空题

13．【答案】

．

22

【解析】解：∵x﹣4ax+3a＜0（a＜0）， ∴（x﹣a）（x﹣3a）＜0， 则3a＜x＜a，（a＜0）， 由x﹣x﹣6≤0得﹣2≤x≤3，

2

∵￢p是￢q的必要非充分条件， ∴q是p的必要非充分条件， 即故答案为：

14．【答案】【解析】 当当

时，时，

，

，所以

，即

≤a＜0，

两式相减得：令 答案：

15．【答案】 [4

【解析】解：直线l：化为普通方程是即y=tanα•x+1； 圆C的参数方程

=

，

得

，16] ．

（t为参数），

（θ为参数），

第 11 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

22

化为普通方程是（x﹣2）+（y﹣1）=；

画出图形，如图所示；

∵直线过定点（0，1），

∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16， 最小值是2故答案为：[4

=2×，16]．

=2×

，16]．

=4

∴弦长的取值范围是[4

【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．

16．【答案】 8 升．

【解析】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8．故答案是：8．

17．【答案】

．

【解析】解：由题意可得，2a，2b，2c成等差数列 ∴2b=a+c

222

∴4b=a+2ac+c①

222

∵b=a﹣c②

①②联立可得，5c2+2ac﹣3a2=0 ∵

2

∴5e+2e﹣3=0

∵0＜e＜1 ∴

第 12 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

故答案为：

【点评】本题主要考查了椭圆的性质的应用，解题中要椭圆离心率的取值范围的应用，属于中档试题

18．【答案】

56 27【解析】

三、解答题

19．【答案】 【解析】解：（1）8=2﹣1+1﹣（3﹣e） =e﹣．

（2）lg25+lg2﹣log29×log32 =

+（﹣）0﹣

第 13 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

=

=1﹣2=﹣1．…（6分）

【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数性质及运算法则的合理运用．

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+

，得f′（x）=1﹣

，

又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴， ∴f′（1）=0，即1﹣（Ⅱ）f′（x）=1﹣

=0，解得a=e． ，

①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值； ②当a＞0时，令f′（x）=0，得ex=a，x=lna，

x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0； ∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增， 故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．

综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值． （Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+

，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+

，

则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点， 等价于方程g（x）=0在R上没有实数解． 假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（

）=﹣1+

＜0，

又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解， 与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1． 又k=1时，g（x）=所以k的最大值为1．

21．【答案】

【解析】（1）证明：∵PA为圆O的切线， ∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，

＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，

第 14 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

∴△PAB∽△PCA， ∴

，

∴AB•PC=PA•AC．…

（2）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，

2

∴PA=PB•PC，

∴PC=40，BC=30，

222

又∵∠CAB=90°，∴AC+AB=BC=900，

又由（1）知∴AC=12

，AB=6

， ，

连接EC，则∠CAE=∠EAB， ∴△ACE∽△ADB，∴∴

，

．

【点评】本题考查三角形相似的证明和应用，考查线段乘积的求法，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．

22．【答案】

【解析】解：（I）由直方图知，成绩在[60，80）内的人数为：50×10×（0.18+0.040）=29． 所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人．

（II）由直方图知，成绩在[50，60）内的人数为：50×10×0.004=2， 设成绩为x、y

成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a、b、c， 若m，n∈[50，60）时，只有xy一种情况， 若m，n∈[90，100]时，有ab，bc，ac三种情况， 若m，n分别在[50，60）和[90，100]内时，有 a b c x xa xb xc y ya yb yc 共有6种情况，所以基本事件总数为10种， 第 15 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

事件“|m﹣n|＞10”所包含的基本事件个数有6种 ∴

．

，所以有：

×组距=

【点评】在频率分布直方图中，每一个小矩形都是等宽的，即等于组距，高是频率；即可把所求范围内的频率求出，进而求该范围的人数．

23．【答案】

【解析】解：∵|3x﹣1|＜x+2， ∴解得﹣

， ．

∴原不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．

24．【答案】（1） f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；（2） 函数f（x）在0,无零点，则a的最小值为2﹣4ln2；（3）a的范围是,21 上23. e1【解析】试题分析：（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中求出f′（x），令f′（x）＞0求出x的范围即为函数的增区间，令f′（x）＜0求出x的范围即为函数的减区间； （Ⅱ）f（x）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，

11）上无零点，只需要对x∈（0，）时f（x）＞220恒成立，列出不等式解出a大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a的最小值；

试题解析：

（1）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，则f′（x）=1﹣由f′（x）＞0，得x＞2； 由f′（x）＜0，得0＜x＜2．

故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；

第 16 页，共 18 页

，

精选高中模拟试卷

（2）因为f（x）＜0在区间故要使函数只要对任意的

上恒成立不可能，

上无零点，

，f（x）＞0恒成立，即对恒成立．

令再令则

从而，l（x）＞0，于是l（x）在故要使

，则

，

，故m（x）在

上为增函数，所以

，

上为减函数，于是

，

，

恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），

综上，若函数f（x）在0,1 上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2； 2（3）g′（x）=e1﹣x﹣xe1﹣x=（1﹣x）e1﹣x，

当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增； 当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减． 又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e1﹣e＞0， 所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]． 当a=2时，不合题意；

当a≠2时，f′（x）=当x=

时，f′（x）=0．

，即

，x∈（0，e]

由题意得，f（x）在（0，e]上不单调，故①

此时，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下： x （0，） （，e] 第 17 页，共 18 页

精选高中模拟试卷

f′（x） f（x） ﹣ ↘ 0 最小值 + ↗ 又因为，当x→0时，2﹣a＞0，f（x）→+∞，

，

所以，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2）， 使得f（xi）=g（x0）成立，当且仅当a满足下列条件：

即

令h（a）=则h

，

，令h′（a）=0，得a=0或a=2，

故当a∈（﹣∞，0）时，h′（a）＞0，函数h（a）单调递增； 当

所以，对任意即②对任意由③式解得：

时，h′（a）＜0，函数h（a）单调递减．

，有h（a）≤h（0）=0， 恒成立． ．④

综合①④可知，当a的范围是,23 时，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的e1xi（i=1，2），使f（xi）=g（x0）成立．

第 18 页，共 18 页