北京石景山区2019高三上学期年末考试-数学(文)

北京石景山区2019高三上学期年末考试-数学（文）

高三数学（文）

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项．

1．设集合U1,2,3,4，A1,2,B2,4,则（CUA）B（ ）

A． 1,2

B． 2，3,4

C．3,4

D．1,2,3,4

2. 若复数Zi, Z3i,则

Z212（ ）

Z1A． 13i

B．2i

C．13i

D．3i

3．AC为平行四边形ABCD的一条对角线，

A．(2,4)

B．(3,7)

AB(2,4),AC(1,3),则AD（ ）

C．(1,1)

D．(1,1)

4．以下函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)上单调递减的函数是（ ）

A．ylnx

B．yx2

C．ycosx

D．y2|x|

A．若m//,n,mn，则 B．若m//,n,mn，则// C．若m//,n,m//n，则⊥ D．若m//,n,m//n，则//

开始 6．执行右面的框图，若输出结果为3， 则可输入的实数x值的个数为（ ）

A．1 C．3

B．2 D．4

输入x x>2 否 是 y=x2-1输出y y=log2x

7．某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥的体积是（ ）

A．8

B．4 2 D．2 4 2 1 3 3C．2

正（主）视图 33 侧（左）视图

8. 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为即

俯视图 k，

k5nknZ，k0,1,2,3,4．给出如下四个结论：

① 20133；

② 22；

③ Z0∪1∪2∪3∪4；

④ 整数a,b属于同一“类”的充要条件是“”．

ab0其中，正确结论的个数为（ ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 不等式x25x60的解集为 .

10．直线x+y0被圆x2+4x+y20截得的弦长为 ．

11．已知不等式组

yx，yx，xa表示的平面区域S的面积为4，则a ；

若点P(x,y)S，则z2xy 的最大值为 . 12． 在等比数列{a}中，

n，则公比q= ；1a1=,a4=-42 ．

a1+a2+a3+L+an=13．在ABC中，若14. 给出定义：若

a2,B60,b7，则c ．

11 (其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记 m< xm+2211；

(,]22①y=f(x)的定义域是R，值域是

②点(k,0)是y=f(x)的图像的对称中心，其中kZ； ③函数y=f(x)的最小正周期为1； ④ 函数y=f(x)在

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）

已知函数

13上是增函数．

(,]22sin2x(sinxcosx)．

f(x)cosx（Ⅰ）求f(x)的定义域及最小正周期；

（Ⅱ）求f(x)在区间上的最大值和最小值．

，64

16．（本小题共14分）

如图1，在RtABC中，C90，BC3，AC6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE//BC，将ADE沿DE折起到ADE的位置，使ADCD，如图2．

11（Ⅰ）求证： BC//平面ADE；

1（Ⅱ）求证： BC平面ADC；

1（Ⅲ） 当D点在何处时，AB的长度最小，并求出最小值．

1

17．（本小题共13分）

图1 E B E

A D C A1 D C

B 图2

一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1､2､3､4．现从盒子中随机抽取卡片．

（Ⅰ）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；

（Ⅱ）若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到

数字3的概率．

18．（本小题共13分）

已知函数f(x)=lnxax+1,aR是常数．

（Ⅰ）求函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线l的方程； （Ⅱ）证明函数y=f(x)(x1)的图象在直线l的下方； （Ⅲ）若函数y=f(x)有零点，求实数a的取值范围．

19．（本小题共14分）

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

长轴长为45，直线l:y=x+m3，

2交椭圆于不同的两点A、B． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m的取值范围；

（Ⅲ）若直线l不经过椭圆上的点M(4,1)，求证：直线MA、MB的斜率互为相反数．

20．（本小题共13分）

定义：如果数列{a}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a}为“三

nn角形”数列．对于“三角形”数列{a}，如果函数yf(x)使得bf(a)仍为一个“三

nnn角形”数列，则称yf(x)是数列{a}的“保三角形函数”(nN*)． n（Ⅰ）已知{a}是首项为2，公差为1的等差数列，若f(x)kx(k1)是数列{a}的

nn“保三角形函数”，求k的取值范围；

（Ⅱ）已知数列{c}的首项为2013，且满足4S3S8052，Sn是数列{cn}的前n项和，nn+1n证明{c}是“三角形”数列； n（Ⅲ）若g(x)lgx是（Ⅱ）中数列{c}的“保三角形函数”，问数列{c}最多有多少项?

nn(解题中可用以下数据 :lg20.301,

lg30.477,lg20133.304)

石景山区2018—2018学年第一学期期末考试

高三数学（文）参考答案

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．

题号 1 2 3 4 5 答案 B A D D C

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

题号 答案 9 10 11 2；6 12 6 C

7 B

8 C

13 3 14 ①③ 2,3 22 -2；2n-11 -2(9题、11题

第一空2分,第二空3分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分） （Ⅰ）因为cosx0，所以

xk+2,kZ.

所以函数f(x)的定义域为

{x｜xk+2,kZ} ……………2分

sin2（xsinxcosx）f(x)cosx 2２sinxsixn+cx2xsinx+sin2os=2sinx(2-)14 T ……………7分 （Ⅱ）因为，所以7 ……………9分

x-2x-641244当时，f(x)的最大值为2； ……………11分 时，即

x2x-444当时，f(x)的最小值为-2+1. ………13分 时，即

x2x--84216．（本小题共14分） （Ⅰ）证明：

 ……………5分

DE//BC,DE面A1DE,BC面A1DE

BC//面A1DE …………………………4分

（Ⅱ）证明： 在△ABC中，C90,DE//BC,ADDE

A1DDE.又A1DCD,CDDED,A1D面BCDE.

由BC面BCDE,ADBC.

1BCCD,CDBCC,BC面A1DC. …………………………9分

（Ⅲ）设

DCx则A1D6x

11由（Ⅱ）知，△ACB，△ADC均为直角三角形．

2A1B=ACBC2A1D2DC2BC2 1A1Bx232(6x)22x212x45 ………………12分

当x=3时,AB 的最小值是33．

1即当D为AC中点时, AB的长度最小,最小值为33．…………………14分

117．（本小题共13分）

（Ⅰ）设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数

字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)． 其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)， 所以

1． …………………6分

P(A)2（Ⅱ）设B表示事件“至少一次抽到3”，

第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有： (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)

(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．

事件B包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)， 共7个基本结果． 所以所求事件的概率为

7． …………………13分

P(B)16

18.（本小题共13分）

（Ⅰ）

…………………2分 1f(x)=axf(1)=a+1，kl=f(1)=1a，所以切线 l 的方程为

yf(1)=kl(x1)，即y=(1a)x． …………………4分

（Ⅱ）令F(x)=f(x)(1-a)x=lnxx+1，x>0，则

11F(x)=1=(1x)， 解F(x)=0得x=1.xxx (0 , 1) 1 (1 , ) F(x) F(x)  ↗ 0 最大值  ↘ F(1)<0，所以x>0且x1，F(x)<0，f(x)<(1a)x，

即函数y=f(x)(x1)的图像在直线 l 的下方． …………………9分 （Ⅲ）y=f(x)有零点，即f(x)=lnxax+1=0有解，

lnx+1 .

a=x令

lnx+1，lnx+11(lnx+1)lnx， g(x)=g(x)=()==22xxxx 解g(x)=0得x=1. …………………11分

则g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减， 当x=1时，g(x)的最大值为g(1)=1，

所以a1. …………………13分

19．（本小题共14分）

（Ⅰ）由题意知, 2a45，又因为3，解得a=25,b=5,c=15 e2故椭圆方程为x2． …………………4分 y21205并整理得5x28mx4m2200， y21205（Ⅱ）将yxm代入x2解得5m5． …………………7分 =(8m)2-20(4m2-20)>0，（Ⅲ）设直线MA,MB的斜率分别为k和k，只要证明kk0．

1212设A(x,y)，B(x,y)，

1122则

8m4m220． …………………9分 x1x2,x1x255y11y21(y11)(x24)(y21)(x14)x14x24(x14)(x24)

k1k2分子(x1m1)(x24)(x2m1)(x14)2x1x2(m5)(x1x2)8(m1)2(4m220)8m(m5)8(m1)055所以直线MA、MB的斜率互为相反数． …………………14分20．（本小题共13分）

（Ⅰ）显然an1,aaa对任意正整数都成立，即{a}是三角形数列．

nnn1n2n因为k1，显然有f(a)f(a)f(a)nn1n2由f(a)f(a)f(a)得knkn1kn2

nn1n2解得

，

1-515.

f(x)kx是数列{an}的保三角形函数. …………………3分

（Ⅱ）由4sn13sn8052，得4sn3sn18052，

两式相减得4cn13cn0，所以

3cn20134n1 …………………5分

经检验，此通项公式满足4s显然ccc,

nn1n2因为

n13sn8052.

cn1cn2, 3n3n1213n12013（）+2013(）2013（）cn44164所以{c}是三角形数列. …………………8分

n（Ⅲ）

3g(cn)lg[20134nn1,3

]=lg2013+(n-1)lg4所以g(c）是单调递减函数. 由题意知，

3lg2013+(n-1)lg>04①且lgcn1lgcnlgcn2②,

由①得

，解得n27.4, 3（n-1）lg>-lg20134，解得n26.4. 3nlg>-lg20134n由②得

即数列{b}最多有26项. …………………13分 【注：若有其它解法，请酌情给分．】