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储油罐的变位识别与罐容表标定全国数学建模 2010

来源：好走旅游网

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

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我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： A甲2421 所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

日期： 2010 年 9 月 12 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

储油罐的变位识别与罐容表标定

摘要：

卧式储油罐作为主要的储油设备被加油站广泛应用，由于地基变形等原因，油罐会发生纵向倾斜偏移或者横向偏转，使得罐容表失真。因此，罐容表的准确标定显得尤为重要，直接关系到加油站的库存管理和进销控制的精确性。对此我们进行了深入分析，通过建立如下数学模型，来对罐容表进行重新标定，以提高对油罐内实际油量的准确把握。

对于问题一：首先建立小储油罐无变位时最大剩余油体体积的计算公式。用Excel、spss等软件分析附表1-1中的数据，给出无变位时罐体自身导致的误差0h= Vmaxh- V实h,画出0h及h之间的散点图和一元回归拟合曲线，给出表达式，并用附表1-2中的数据检验拟合离差。

将小储油罐纵向变位时的液面油高h转化为等效的无变位时（平行于罐底的）油高H及α之间的关系,利用公式（1）计算出VmaxH，VmaxH=

V表h+0H+1h,,其中1h，为变位误差。分析1h，与h的关系图，

拟合出关系式,反应出罐体变位后对罐容表的影响，V标h=V表+1h，,为标定值后α固定后罐容表标定值随h变化的关系式。计算出油位高度间隔为1cm时罐容表的标定值。

对于问题二：利用体积计算公式V2maxh深入分析出发生横向、纵向变位

1后油高与等效的无变位时的实际油高之间的h1的变换hh2h3（其中h3为

变位后油表显示油高），利用α、β及h3表示出h1= h1(h3,,)。分析附表2中的数据,给出变位误差与液高的散点图及二次拟合表达式,由变位后的液高h3计算出等效变位前的液高h1，构造目标函数min=h1ifh3i,a,b，利用最小二

i1n2乘法和非线性规划方法估计变位参数α、β。然后利用变位参数建立标定值

22= V并给出油位高度间隔为10cmh标表h+2h，，与h的变化关系式，

的标定值。

最后，对于模型进行检验，并给出模型的优缺点。

关键词：非线性规划、最小二乘估计、一元非线性回归、spss、lingo、MATLAB。

1 问题重述（略）

2假设

① 罐体形变引起的误差不作考虑； ② 罐体有无变位时均考虑由罐体材料、厚度、探针等非位变引起的油量误差； ③ 大罐横向变位时以探针与柱体焦点为旋转中心，忽略探针在油罐上端瓶颈处的旋转； ④ 设油位探针为一条直线，忽略探针宽度及油浮子厚度引起的误差； ⑤ 设油浮子与油位探针之间没有摩擦，油浮可无延迟的随油面浮动。

3符号说明

Vmaxh：油高h对应的无变位时最大储油量； V表h：油高h对应油容表显示的储油量； V实h：油高h对应实际储油量； V标h：油高h对应油容表拟标定储油量； VVVV

2max2h：大油罐无变位时油高h对应的最大储油量；

表2h：大油罐变位时油表显示储油量；

实2h：大油罐变位时油表实际储油量；

h：大油罐变位时标定储油量；

标0h：固有误差；

1h,：小油罐纵向变位误差； 2h,,：大油罐变位误差。

4问题一分析、模型建立及检验

将小储油罐纵向变位时的液面油高h转化为等效的无变位时（平行于罐底的）油高H及α之间的关系,利用公式（1）计算出VmaxH，VmaxH=

V表h+0H+1h,,其中1h，为变位误差。分析1h，与h的关系图，

1.1 小椭圆形储油罐无变位情况

1.11建立小椭圆形储油罐无变位剩余油料体积计算公式

用CAD画出油面高度为h的切面与截面的图形：

图1 小油罐截面

VLS截

S截h006006002y600dy（mm）

2h022600y600dy （ml）（1） 0600（1）为V与h的无变位关系式

1.12 无变位时油容表与储油量误差计算 V22450

由（1）式代入计算附表1—1中油高下的储油量V储与表1—1中油容表显示

储油量V表比较（部分数值如下）

表1

油高h(mm) 实际储油量（L） 159.02 253.66 336.44 413.32 510.97 618.09 678. 727.03 826.95 1193.49 322.88 633.35 943.80 12.29 1668.24 2133.95 2396.61 2604.88 3020.67 4107.36 612 912 1212 1612 2062 2315.83 2517.06 2918.83 3968.91 油表显示312 油量（L）显然与V储与V表之间有差值。我们认为此差值0（h）是除变位、形变因素外罐体自身的误差。

下面分析误差值0（h）随油高h变化的散点图如下：

图20（h）随油高h变化的散点图

利用SPSS，一元二次非线性回归拟合曲线如下：

图3一元二次非线性回归拟合曲线

关系式0（h）=-0.1673*h^2+15.6761*h-17.9375 (2)

1.2 小储油罐纵向变位时油容表误差分析 1.21 纵向变位时油料实际容积的计算方法

分析：将纵向变位的情形转化为等效的无变位情形。即找出与变位时油高等效的平行于罐底的液面高度H（无变位实际油高）之间的关系。

图形如下：

图4小油罐纵向偏移

注：矩形OPMV为切面图；EN为变位后的水平液面；SU为便诶后液面高度；

OE为页面顶端据罐底的距离；PN为液面底端带罐底的距离；NQ为液

面EN的延长线；OU=400mm；UP=2050mm。令SU=h 计算得出：OE=h+400tanα; PN=h-2050tanα。

图5小油罐液位横截面（OC=h+400tanα;OD=h-2050tanα）

利用变位后油料体积与等效无变位油料体积相等，将坐标系旋转，即以罐底所在直线为Z轴以左端横截面为XOY面，建立直角坐标系如下图所示：

图6椭直圆筒立体图

h400tan0022600y600dy24502h2050tan6000600H022450=26002y600dy2450

0600

h400tan6002y600dy2利用H给出差值0H及H对应的最大储油量VmaxH约化出h与H的关系式：H=-0.0293h^2+1.1241h-0.8153（dm）

V储H=V表0H1H， 其中：1H，是纵向变位引起的油容

表误差

11V表V表1H， 其中： V表是油容表拟标定储油量

1H，与油表高h的关系图、关系式

图71H，与油表高h的关系图

1H，=0.2337*h^3-8.7268*h^2+75.7569*h-158.9722 (3)

h与H的关系图（体现纵向对油高的影响）如下所示：

图8 h与H的关系图

V表与h的关系图、关系式如下所示：

图9 V表与h的关系图

V=-4.23*h^2+482.3370*h-913.72

V表与h的关系图、关系式： V表=V表111h

图1 0V表与h的关系图

注：V表=-2.2635*h^3+45.2106*h^2+120.6666-116.8681 油位高度间隔为1cm（0.1dm）时的有容表标定值的部分数据如下：

h(dm) 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 111414.83 1455.65 1496.65 1537.83 标定1333.79 1374.20 值（L）

h(dm) 5.6 5.7 5.8 5.9 6.0 6.1 1662.25 1455.65 1703.97 1787.71 标定1579.16 1620. 值（L） 2.1 模型Ⅱ 模型建立及求解：罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。

2.1.1 附表2中的数据分析

首先利用Excle分析出“显示出油量”与“实际出油量”、“出油量差值”与“显示液高”的数据表，见附件 V2实=V2表2h3，，=V2maxh10h1 （2）

其中2h，，为变位引起的油量显示误差

给出2h，，与h的散点图及二次拟合曲线如下图所示：

图11 2h，，与h的散点图

利用公式（2）由显示油高h3利用matlab编程计算储等效无变位油高h1，部分数值如下：

表2 显示油高（dm）实际油高（dm） 26.32 27.08 25.88 26.67 24.65 24.44 16.74 16.40 16.27 16.92 15.26 15.50 2.1.2实际储油罐内油料体积计算公式推导2 公式的推导

卧式圆筒形容器一般由两种几何组成——圆筒部分和封头曲面部分。圆筒部分容器半径为a，总长度（含封头的直边部分）为L；封头部分半径也为a，封头曲面高度为b。容器内装有的液体高度为h。容器内的液体体积为V。 5.1.3圆筒内液体体积与页面高度的函数关系

装有高度h液体的圆筒立体图如图12所示：

图2 装有高度h液体的圆筒示意图

其中dV1=2Ly0haa2h222ahharccos2ahhdh=2L1 22a0hhV1=Lha2ahh2La2arccos1

a2.1.4 封头曲面内液体体积与页面高度的函数关系

椭圆形封头在空间直角坐标小的立体图如图13所示，其在XOY面的投影方程为：

x2+y2=a2

x2y2z221 其标准方程为：2ab 图13椭圆形封头在空间直角坐标系的立体图

则 d V2=

ba2x2y2dxdy aa2y2a2y2bydyV2=aay3axydx= aay2a33222b232 11

6a2.1.5 整个容积内液体体积与液面高度的函数关系

装有液体的容器剖面图如图14所示。整个容器内的液体体积为：

将y=h-a代入上式，得：V2=

bh23ah （3）

图14 装有液体的容器剖面图

V=V12V2

即：

h2V=Lha2ahh2a2arccos1h3ah

a6h2=8000h15003000hh21500^2arccos1h4500h

150062.2 实际储油罐变位（纵向，横向）后的分析及模型建立

通过坐标轴的旋转给出变位前后的油面高度之间的关系。

横向变位（h1h2）以横切面探针所在轴为y轴，以探针与罐体柱体上端交点为变位旋转中心。如下图所示：

图15大油罐横向变位油位高度

注：OA= h2（变位前油高）；BC= h3（变位后油高）。利用解析几何分析得出h2=h3cos+151cos

2.2.2 纵向变位：

以横向变位后的罐体最低点所在水平面为xoy面建立坐标系如下图所示：

图16大油罐纵向倾斜

注：OS为纵向变位前油高h1；RK为纵向变位后的油高h2。利用体积关系将变位后的油高转化为等效的无变位水平油高：h1=（h2+d）a+c。其中a=tanα,c、d为特定常数。

综合分析：h1h3的关系式，则h1(h3b+15-15b+d)*a+c。h1为油表显示的油高h3对应的等效无变位时的水平油高。给出：h3、h1、V储h1的对应值

Vmaxh-V表=0h12h，，

给出2h，，与h的变化图及函数：

图17 2h，，与h的变化图

V标h=V表h1H，随h1的变化图及关系式如下图所示：

图18

模型Ⅱ表的标定：

罐内储油量为V2maxh10h1V表h32h3,,V2标h

2h1中含h3及、关系式：2h3,,=0.01*h3+0.56h312.4

h1048.13 油容表标定：V2标h=2.73h3122.88h2996085给出给出油位高度间隔为10cm的部分罐容表标定值如下：油高（dm）标定值(L) 油高(dm) 标定值(L) 10 18478.37 11 21152.07 12 31.35 13 26679.83 14 29501.13 5 6666.87 6 8766.97 7 11014.55 8 13393.23 9 15886.63 2.3模型Ⅲ：变位参数的确定

2.3.1利用最小二乘估计参数a，b的值

ˆminhfh,a,b ，可用Lstopt编写程序，给出参数a，b 的估ˆ,bfa13i1n2计值。

2.3. 2非线性规划模型

目标函数：min=h1ifh3i,a,b

i1n20a1约束条件：s.t.0b1 用Lingo编程如下： model: sets:

cyg/1..n/:h,z; endsets data:

h=@ole('1','x'); z=@ole('1','y');

enddata

@bnd(0,b,1);

min=@sum(cyg(i):@sqr(z(i)-(h(i)-15)*a*b-(15+d)*a-c)); end

则a=0.1200 b= 0.998 0 5.712 3.626

5模型检验

模型Ⅰ：利用实际油量与标定油量的差值检测模型Ⅰ。建立实际油量与标定油量随油高的变化曲线图。如下所示：

图19

从图形可看出差值较小的拟合率很高。

模型Ⅱ、Ⅲ的检验：利用spss软件分析由模型Ⅲ建立的大油罐变位后标定容量和罐体内实际容量，给出分析结果如下：

表3

模型汇总模型 1 R 1.000a R 方 1.000 调整 R 方标准估计的误差 1.000 11.41118 a. 预测变量: (常量), 实际。

表4 Anovab 模型 1 回归残差总计平方和 2.435E9 121.291 2.435E9 df 1 99 100 均方 2.435E9 130.215 F 1.870E7 Sig. .000a a. 预测变量: (常量), 实际。 b. 因变量: 计算

表5 系数a 非标准化系数模型 1 (常量) 实际 B -5.528 1.000 标准误差 3.145 .000 标准系数试用版 t -1.758 1.000 4324.257 Sig. .082 .000 a. 因变量: 计算由上表可见，此模型可行。

6模型的评价

1模型Ⅰ 优点：

① 除考虑位变及形变的影响因素外，还考虑了自因素的影响，是数据更加精确；

2模型Ⅱ、Ⅲ优缺点分析：优点：

① 将变位转化为等效的无变位情形； ② 考虑了材料的误差，标定时的取值只取决于计算储油值减去材料误差，即油表值与变位误差之和，使之更精确； ③ 利用两种软件处理比较；缺点：

① 由于缺少大油罐无变位时的数据，所以0H计算有误差； ② 横向变为时忽略了标杆在瓶颈部分的旋转。

参考文献：

[1] 蒋启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2005

[2] 苏金明，王永利，MATLAB7.0实用指南，北京：电子工业出版社，2004 [3] 袁新生，邵大宏，郁时炼，Lingo和Excel在数学建模中的应用，北京：科学出版社，2007

[4] 刘龙利卧式圆筒形容器内液体体积的计算公式推导过程 2006 [5] 王郑耀卧式加油罐剩余油料体积的计算 2004

附件1

Local optimal solution found.

Objective value: 1.297147 Extended solver steps: 2 Total solver iterations: 30

Variable Value Reduced Cost B 0.998000 -57.38587 A 0.120000 D 0.000000 C 0.000000 H( 1) 26.32230 H( 2) 26.24300 H( 3) 26.10290 H( 4) 26.06610 H( 5) 25.99590 H( 6) 25.87600 H( 7) 25.82050 H( 8) 25.79570 H( 9) 25.740 H( 10) 25.69460 H( 11) 25.120 H( 12) 25.59830 H( 13) 25.48470 H( 14) 25.39630 H( 15) 25.28010 H( 16) 25.21630 H( 17) 25.10230 H( 18) 25.08170 H( 19) 25.00070 H( 20) 24.90060 H( 21) 24.85730 H( 22) 24.74400 H( 23) 24.770 H( 24) 24.510 H( 25) 24.46770 H( 26) 24.36850 H( 27) 24.31550 H( 28) 24.27320 H( 29) 24.22200 H( 30) 24.14350 H( 31) 17.10100 H( 32) 17.07510

0.000000 3.825725 3.733284 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

H( 33) 16.96610 0.000000 H( 34) 16.91310 0.000000 H( 35) 16.87010 0.000000 H( 36) 16.83870 0.000000 H( 37) 16.78770 0.000000 H( 38) 16.74480 0.000000 H( 39) 16.65960 0.000000 H( 40) 16.63300 0.000000 H( 41) 16.58550 0.000000 H( 42) 16.53730 H( 43) 16.42930 H( 44) 16.380 H( 45) 16.26920 H( 46) 16.180 H( 47) 16.09060 H( 48) 16.05920 H( 49) 15.94130 H( 50) 15.83650 H( 51) 15.81140 H( 52) 15.74480 H( 53) 15.69220 H( ) 15.60920 H( 55) 15.56620 H( 56) 15.48820 H( 57) 15.40790 H( 58) 15.32790 H( 59) 15.26300 H( 60) 15.23950 Z( 1) 27.08398 Z( 2) 27.03869 Z( 3) 26.92900 Z( 4) 26.88031 Z( 5) 26.80557 Z( 6) 26.67498 Z( 7) 26.60775 Z( 8) 26.57859 Z( 9) 26.53338 Z( 10) 26.47024 Z( 11) 26.410 Z( 12) 26.36040 Z( 13) 26.24267 Z( 14) 26.14456 Z( 15) 26.01848 Z( 16) 25.94537 20

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

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Row Slack or Surplus Dual Price 1 1.297147 -1.000000

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储油罐的变位识别与罐容表标定 全国数学建模 2010

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