高三数学二轮复习 第3讲 二次函数及基本函数 苏教版-苏教版高三全册数学试题

第3讲 二次函数、基本初等函数及函数的应用

自主学习导引

真题感悟

1x1．函数y＝a－(a＞0，且a≠1)的图象可能是

a

解析 利用指数函数的图象与性质解答．

11x当a＞1时，y＝a－为增函数，且在y轴上的截距为0＜1－＜1，排除A，B.

aa11x当0＜a＜1时，y＝a－为减函数，且在y轴上的截距为1－＜0，故选D.

aa答案D

2．函数f(x)＝xcos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为 A．2 B．3 C．4 D．5

解析 分别判断y＝x和y＝cos 2x的零点．

y＝x在[0,2π]上的零点为x＝0，y＝cos 2x在[0,2π]上的零点x＝，

在区间[0,2π]上的零点个数为5. 答案D

π3π5π7π

，，，所以f(x)

4444

考题分析

对于基本初等函数，高考主要考查其图象与性质，题目较容易；基本初等函数的应用、函数与方程是近几年高考的热点，考查内容一般为函数的实际应用题、函数零点个数的判定或根据零点的个数求参数的X围．题型一般为选择题或填空题，难度中等．

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高频考点突破 考点一：二次函数

【例1】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．

word (1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；

(2)某某数a的取值X围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数． [审题导引](1)把二次函数式配方并求其最值； (2)利用对称轴与区间的位置关系求a的取值X围．

[规X解答] (1)当a＝－1时，

f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，

∴x＝1时，f(x)取得最小值1；

x＝－5时，f(x)取得最大值37.

(2)函数f(x)＝(x＋a)＋2－a的图象的对称轴为直线x＝－a， ∵y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数， ∴－a≤－5或－a≥5.

故a的取值X围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．

【规律总结】

二次函数最值的求法

求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴． 【变式训练】

1．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值X围是 A．(－1,1) B．(－2,2)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析 由方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，可得判别式Δ＝m2－4＞0，解得m＞2，或m＜－2，故选C. 答案C

2

2．设二次函数f(x)＝ax＋bx＋c，如果f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则f(x1＋x2)＝

2

bb4ac－bA．－ B．－ C．c D.

2aa4a2

2

解析∵f(x1)＝f(x2)，

∴f(x)的对称轴为x0＝－＝2a2

bx1＋x2

2

，

bbb得f(x1＋x2)＝f－＝a·2＋b·－＋c＝c. aaa

答案C

考点二：指数函数、对数函数及幂函数

【例2】(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0，a≠1)的图象如图所示，则a、b满足的关系是

word

A．0＜a－1＜b－1＜1 C．0＜b－1＜a＜1

B．0＜b＜a－1＜1 D．0＜a－1＜b＜1

(2)已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N＋)的图象与x轴、y轴无交点且关于原点对称，则m＝________. [审题导引](1)利用对数函数的图象特征及指数函数的相关性质解决； (2)令m2－2m－3＜0解不等式，结合函数的奇偶性求得m，但要注意m∈N＋. [规X解答](1)由图知函数f(x)的零点x0＞0， 即f(x0)＝loga(2x0＋b－1)＝0，得2x0＋b－1＝1， ∴b＝2－2x0.

∵x0＞0，∴2x0＞1，∴b＜1.

由图知f(0)＝loga(20＋b－1)＞－1，且a＞1， ∴logab＞－1，即b＞a－1，故0＜a－1＜b＜1.

(2)∵幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N＋)的图象与x轴、y轴无交点， ∴m2－2m－3＝(m－3)(m＋1)＜0，即－1＜m＜3. 又m∈N＋，∴m＝1或m＝2，

当m＝1时，y＝m－4是偶函数，当m＝2时满足题意．

[答案](1)D(2)2 【规律总结】

利用幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质求参数的X围(值)

(1)幂、指、对函数的参数一般与其单调性有关，故解题时要特别关注函数的单调性；

(2)在涉及函数的图象时，需注意应用函数图象与坐标轴的交点、对称性或函数图象的变换求解． [易错提示](1)涉及对数函数与幂函数时，需注意其定义域； (2)在幂函数的有关计算中，要注意参数值的验证．

1lnx－1,lnx3．若x∈(e1)，a＝lnx，b＝，c＝e，则

2

A．c＞b＞aB．b＞a＞c

word

C．a＞b＞cD．b＞c＞a 解析∵x∈(e

－1,

1)，y＝lnx为(0，＋∞)上的增函数，

1x∴a＝lnx∈(－1,0)，因为y＝为R上的减函数，且lnx∈(－1,0)，

21lnx101－1故b＝∈，，即b∈(1,2)； 222

因为c＝e＝x∈(e,1)， 故b＞1＞c＞0＞a，所以b＞c＞a. 答案D

4．已知函数f(x)＝x2，给出下列命题：

①若x＞1，则f(x)＞1；②若0＜x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＞x2－x1；③若0＜x1＜x2，则x2f(x1)＜x1f(x2)；④若0＜x1＜x2，则

1lnx－1

fx1＋fx2

2

＜f

x1＋x2.

2

其中，所有正确命题的序号是________． 解析 若x＞1，则f(x)＝x＞1，故①正确； 令x2＝4，x1＝1，知②③都不正确；

∵f(x)＝x2是上凸函数，根据其图象可知④正确． 答案①④

考点三：函数的零点

x＋3， x≤1，

【例3】(1)已知f(x)＝2

－x＋2x＋3，x＞1，

1

则函数g(x)＝f(x)－e的零点个数为

xA．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知函数f(x)＝

x－1， x＞0，2－|x|＋1，x≤0，

若关于x的方程f(x)＋2x－k＝0有且只有两个不同的实根，则

实数k的取值X围为________．

[审题导引](1)利用函数f(x)的图象与y＝ex的图象交点的个数来求解g(x)零点的个数； (2)利用数形结合法求解．

[规X解答](1)函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数，即为函数f(x)与y＝ex的图象交点的个数，如图所示，作出函数f(x)与y＝ex的图象，由图象，可知两个函数图象有两个交点， ∴函数g(x)＝f(x)－ex有两个零点，故选B.

word

(2)易知f(x)＝

x－1， x＞0，2x＋1，x≤0，

把方程f(x)＋2x－k＝0化为f(x)＝－2x＋k，在同一坐标系内作

出函数y＝f(x)与y＝－2x＋k的图象，由图知－1＜k≤2.

[答案](1)B(2)－1＜k≤2

【规律总结】

1．涉及函数的零点问题的常见类型

函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：①数值的确定；②所在区间的确定；③个数的确定．解决这类问题的常用方法有解方程，根据区间端点函数值的符号数形结合，尤其是那些方程两边对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解． 2．确定函数零点的常用方法

(1)解方程判定法：若方程易解时应用此法． (2)利用零点的存在性定理．

(3)利用数形结合法，尤其是当方程两端对应的函数类型不同时如绝对值、分式、指数、对数以及三角函数等方程多以数形结合法求解． 【变式训练】

5．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是

A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)

11

解析 由题意可知f(－2)＝－6＜0，f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，f(1)＞0，f(2)＞0，f(－1)f(0)

42＜0，因此函数f(x)在区间(－1,0)上一定有零点．

答案B

6．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)的定义域及值域均为[－a，a](常数a＞0)，其图象如图所示，则方程f[g(x)]＝0根的个数为

A．2

B．3

C．5

D．6

解析 由f(x)的图象可知方程f(x)＝0有三个根，分别设为x1，x2，x3， ∵f[g(x)]＝0，∴g(x)＝x1，g(x)＝x2或g(x)＝x3， ∵－a＜x1＜a，g(x)∈[－a，a]，

word

∴由g(x)的图象可知y＝x1与y＝g(x)的图象有两个交点， 即方程g(x)＝x1有两个根，

同理g(x)＝x2，g(x)＝x3各有两个根， 所以方程f[g(x)]＝0有6个根． 答案D

考点四：函数的实际应用

【例4】 如图，需在一X纸上印上两幅大小完全相同，面积都是32 cm2的照片．排版设计为纸上左右留空各3 cm，上下留空各2.5 cm，图间留空为1 cm.照此设计，则这X纸的最小面积是________cm2.

[审题导引] 设照片的长为x cm，则这X纸的面积可用x来表示，即可求得其最小值．

32

[规X解答] 设照片的长为x cm，则宽为cm，

x32所以纸的面积y＝(x＋6)2×＋6



x

32＝2(x＋6)＋3(x＞0)，

xx

y＝23x＋

≥62





192x＋＋6 ＋18＝6



x



x×＋6＝6(16＋6)＝132 cm，当且仅当x＝，即x＝8时等号成立．

xx



2

[答案]132

【规律总结】

应用函数知识解应用题的步骤

(1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键，转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类．

(2)用相关的函数知识进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解． (3)把计算获得的结果带回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答． 【变式训练】

7．已知正方形ABCD的边长为22，将△ABC沿对角线AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到如图所示的三棱锥B－ACD.若O为AC边的中点，M、N分别为线段DC、BO上的动点(不包括端点)，且BN＝CM.设BN＝x，则三棱锥N－AMC的体积y＝f(x)的函数图象大致是

word

解析∵AB＝22，

1

∴AC＝4，BO＝AC＝2，ON＝2－x.

2

S△AMC＝S△ADC－S△ADM

1

＝4－·22·(22－x)＝2x，

2易知BO⊥平面ADC.

12

∴VN－AMC＝f(x)＝×2x·(2－x)＝x(2－x)．

33故选B. 答案B

名师押题高考

【押题1】设0＜a＜1，函数f(x)＝loga(a2x－2ax－2)，则使f(x)＜0的x的取值X围是 A．(－∞，0)

B．(0，＋∞)

D．(loga3，＋∞)

C．(－∞，loga3)

解析 因为0＜a＜1，所以y＝logax为(0，＋∞)上的减函数， 因为f(x)＜0，即loga(a2x－2ax－2)＜0， 则a2x－2ax－2＞1，

设t＝ax，则t＞0，不等式变为t2－2t－3＞0， 即(t＋1)(t－3)＞0，解得t＞3或t＜－1(舍去)． 由ax＞3，解得x＜loga3，故选C.

答案C

[押题依据] 高考对指数函数与对数函数的考查一般集中在函数的单调性与图象上，本题考查了指数函数、对数函数的单调性，不等式的解法以及换元的数学思想、综合性较强．体现了灵活性与能力性，故押此题．

2， x＞m，

【押题2】已知函数f(x)＝2

x＋4x＋2 x≤m，

的图象与直线y＝x恰有三个公共点，则实数mword

的取值X围是

A．(－∞，－1] B．[－1,2) C．[－1,2] D．[2，＋∞)

解析 在同一坐标系内作出直线y＝x与函数y＝x2＋4x＋2的图象， ∵直线y＝x与y＝f(x)有三个交点， 故y＝x与y＝x2＋4x＋2有两个交点． 与y＝2有一个交点，∴－1≤m＜2.

答案B

[押题依据] 本题考查了函数零点个数的判断方法以及参数的求法，同时突出了对数形结合的数学思想方法的考查．难度中等、题目典型，故押此题