微分及其应用

◎何圣姿　（抚州幼儿师范高等专科学校，江西　抚州　３４４０００）

　线的纵坐标的改变量，它是函数值改变量的最佳线性逼近，容是微积分　【摘要】，“微积分包含微分学及积分学高等数学”与“数学分析”课程讨论的主要内，微分与积分为互是一个描述函数变化程度的量．

逆运算，微分学主要包括导数与微分，学生在学习过程中很（三）两者之间的联系

难理解微分的意义及应用，对其意义及应用进行深度解析，函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ处的微分为ｄｙ＝ｆ′（ｘ）ｄｘ，所以函数ｙ＝可为学习微分及其应用提供指导．

【关键词】导数；微分；不定积分；应用

ｆ（ｘ）在ｘ处的导数为ｆ′（ｘ）＝

ｄｙ

，因此，导数也称为微商．数ｙ＝ｆ（ｘ）在点ｘｄｘ

函０处可微与可导是等价的，利用两者间的关微分是微积分的基础内容，其意义与运算对进一步理系式很容易由导数的运算法则及求导公式推出微分的运算解导数的概念、不定积分的计算、进行近似计算及误差分析法则及微分公式．

等方面具有重要的作用，下面对其意义及应用进行深度二、微分与不定积分解析．

（一）一阶微分形式不变性

一、导数与微分（一）导数

设函数ｚ＝ｆ（ｙ），ｙ＝ｇ（ｘ）都可微，∵

ｄｆ′（ｙ）ｇ′（ｘ）ｄｘ，又∵ｄｙ＝ｇ′ｄｚｘ＝ｄｚ·ｄｙ＝（ｘ）ｄｄｙｘ，∴ｄｄｘ

设函数ｙ＝ｆ（ｘ）在点ｘ０的某邻域内有定义，自变量的改

ｆ′（ｙ）ｇ′（ｘ），∴ｄｚ＝ｚ＝ｆ′（ｙ）ｄｙ（无论ｙ是自变量还是中间变量，该式都成立）．

变量Δｘ＝ｘ－ｘ０，函数值的改变量Δｙ＝ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０），若Δｌｉｍｘ→０ΔΔｙ

ｘ＝（二）不定积分

ｌｉｍ

ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ若Ｆ′（ｘ）＝ｆ（ｘ），则称Ｆ（ｘ）＋Ｃ（∀Ｃ∈Ｒ）为函数ｆ（ｘ）的ｘ→ｘ０

ｘ－ｘ０

）

０

存在，则称函数ｙ＝ｆ（ｘ）在点ｘ０处可导，此极

不定积分，记为ｆ（ｘ）ｄｘ．由定义可知不定积分是导数运算限称为ｆ（ｘ）在ｘ０的导数．记作ｆ′（ｘ０），ｙ′ｘ＝ｘ０，

ｄｙ

或

的逆运算，所以通过逆用求导公式表能得出不定积分表∫

ｘ＝ｘ．

ｄｆ（ｄｘ０

（三）微分与不定积分的关系

ｄｘ

ｘ）ｘ＝ｘ

．其实质是函数值变化量与自变量变化量比的极

若Ｆ′（ｘ）＝ｆ（ｘ），则有ｄＦ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｄｘ，那么限，几何意义是曲线０

ｙ＝ｆ（ｘ）在点（ｘ∫

ｄＦ（ｘ）＝

率，它描述了函数ｙ＝ｆ（ｘ）在点ｘ０，ｆ（ｘ０））处的切线的斜＋Ｃ；∵（函数ｙ＝０处的瞬时变化率，是一个描述函数变化快慢的量．ｆ（ｘ）在定义域上任意可导∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）点ｘ处的导数称为函数ｙ＝ｆ（ｘ）的导函数，记作ｆ′（ｘ）或ｙ′．

ｄ∫ｆ（ｘ）ｄｘ）′＝（Ｆ（ｘ）＋Ｃ）′＝ｆ（ｘ），∴（二）微分

算，∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）ｄｘ．也就是说微分与不定积分为互逆运

两者放一起时可以抵消，但是注意它们的先后顺序，若设函数ｙ＝ｆ（ｘ）在点ｘ不定积分号在前，则相互抵消后在末尾还需添上任意常０的某邻域内有定义，自变量的改

数Ｃ．

变量Δｘ＝ｘ－ｘο（Δｘ），Ａ为常数０，若函数值的改变量，则称函数ｙ＝ｆ（ｘ）Δ在点ｙ＝ｆ（ｘｘ）－ｆ（ｘ０）＝ＡΔｘ＋在求简单函数的不定积分时可以直接利用不定积分表．但当被积函数的形式不是基本初等函数的导数的形式称为ｆ（ｘ）在ｘ０的微分．记作ｄｙ

ｘ＝ｘ０

或ｄｆ（ｘ０处可微，而ＡΔｘ

０时，这种方法就失效了，这时需要利用函数的一阶微分形式函数ｙ＝ｆ（ｘ）在点ｘ）．

不变性，将被积表达式化繁为简，直到简化到能直接利用不在点ｘ０处可微的充要条件是函数ｙ＝ｆ（ｘ）

０处可导，且ｆ′（ｘ定积分表中的公式进行计算为止，具体方法如下：

变量改变量的积．函数ｙ０）＝＝ｆ（Ａｘ，）因此在定义域内任意可微点，微分的实质是导数与自ｘ处若ｙ＝ｇ（ｘ），Ｆ′（ｙ）＝ｆ（ｙ），利用函数的一阶微分形式不的微分称为函数ｙ＝ｆ（ｘ）的微分，记作ｄｙ或ｄｆ（ｘ）．当函数为ｙ＝ｘ时，ｄｙ＝ｄｘ＝（ｘ）′Δｘ＝Δｘ，即当将自变量ｘ看成是函数变性可知ｄＦ（ｙ）＝Ｆ′（ｙ）ｄｙ，两边同时不定积分得

时，自变量的微分ｄｘ就是自变量的改变量Δｘ，因此约定ｄ∫ｄＦ（ｙ）＝ｄｘｙ＝＝Δｆ′ｘ．于是，函数的微分就是导数与自变量微分的积，即＋∫Ｆ′（ｙ）ｄｙ，即Ｆ（ｙ）Ｃ＝微分的几何意义是曲线（ｘ）ｄｘ．

ｙ＝ｆ（ｘ）在点（ｘ０，ｆ（ｘ０））处的切

ｙ）ｄｙ＝∫ｆ（ｙ）ｄｙ，亦即∫ｆ（Ｆ（ｙ）＋Ｃ，

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.com.cn. All Rights Reserved.　　故ｆ［ｇ（ｘ）］ｄｇ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ）］ｇ′（ｘ）ｄｘ＝Ｆ［ｇ（ｘ）］＋Ｃ，这就是不定积分的变量替换法之一．例１　计算ｘ解　１）２＋Ｃ．

３

　　ＧＡＯＪＩＡＯＳＨＩＹＥ　　　　　高教视野　１１∫

∫ｘ

１

ｘ＋１ｄｘ＝

２

２

∫

∫

（１．０５－１）．０．９７．

∴ｆ（０．９７，１．０５）≈ｆ（１，１）＋ｆ′ｘ（１，１）（０．９７－１）＋ｆ′ｙ（１，１）∴０．９７１．０５≈１１＋１×（０．９７－１）＋０×（１．０５－１）＝１－０．０３＝（二）微分在估计误差中的应用

设函数ｙ＝ｆ（ｘ），若ｘ有误差，则ｙ也将有误差，利用微

ｘ２＋１ｄｘ．

∫

１２

ｘ＋１ｄ（ｘ＋１）＝（ｘ＋

３

２

２

分可以通过ｘ的误差来估算ｙ的误差．

例４　实测球的直径ｘ为２０ｃｍ，已知ｘ的绝对误差Δｘ＝０．０５ｃｍ，试估算体积Ｖ的绝对误差ΔＶ．解　∵直径为ｘ的球的体积Ｖ＝∴ｄＶ＝∴

１２

πｘｄｘ．２１３πｘ，６

三、微分的应用

（一）微分在近似计算上的应用

若函数ｙ＝ｆ（ｘ）在点ｘ０处可微，则Δｙ＝ｄｙ＋ο（Δｘ），当ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）≈ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０），ｆ（ｘ）≈ｆ（ｘ０）＋ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０），

所以，当ｘ０是函数ｙ＝ｆ（ｘ）的特殊值或ｆ（ｘ０）的值很容例２　计算

３Δｘ→０时，Δｙ≈ｄｙ，即

又∵当Δｘ很小时，ΔＶ≈ｄＶ，

ΔＶ≈ｄＶ＝

１２１１

πｘｄｘ＝πｘ２ｄｘ＝πｘ２Δｘ，２２２

易求出来且Δｘ很小时，我们可以利用微分进行近似计算．

１３１的近似值．

３即ΔＶ≈

１－２

ｘ３，３

解　令ｆ（ｘ）＝ｘ，ｘ０＝１２５，ｘ１＝１３１，则ｆ′（ｘ）＝ｘ１－ｘ０＝６≪１２５，∴Δｙ≈ｄｙ，

当函数为多元函数时，同样可以利用全微分通过自变量的误差来估算函数值的误差．

例５　实测圆柱的高与底直径分别是ｈ与ｄ，已知它们的误差分别是Δｈ与Δｄ，给出圆柱体积Ｖ的误差ΔＶ的近似公式．

解　高为ｘ，底直径为ｙ的圆柱的体积Ｖ（ｘ，ｙ）＝ｙπ

２

１

×３．１４×２０２×０．０５＝３１．４（ｃｍ３）．２

即ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ０）≈ｆ′（ｘ０）（ｘ１－ｘ０），∴ｆ（ｘ１）≈ｆ（ｘ０）＋ｆ′（ｘ０）（ｘ１－ｘ０），即５．０８．

３.com.cn. All Rights Reserved.１３１≈

３∴ｆ（１３１）≈ｆ（１２５）＋ｆ′（１２５）（１３１－１２５），

１２５＋

１

×１２５３

２－３

×６＝５＋

１２×５－２×６＝５＋＝３２５

()

２

ｘ＝

∴Ｖ′ｘ＝

１

πｘｙ２，４

将一元函数的微分推广到多元函数就是全微分，下面

以二元函数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）为例说明全微分在近似计算中的应用．

若函数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）在点（ｘ０，ｙ０）处可微，则Δｚ＝ｄｚ＋ο（ρ），ρ＝当ρ→０时，Δｚ≈ｄｚ，即

（Δｘ）２＋（Δｙ）２，

微分间的近似关系有

取（ｘ０，ｙ０）＝（ｈ，ｄ），Δｘ＝Δｈ，Δｙ＝Δｄ，由全改变量与全ΔＶ≈ｄＶ＝Ｖ′ｘ（ｈ，ｄ）Δｘ＋Ｖ′ｙ（ｈ，ｄ）Δｙ＝

１

πｄ２Δｈ＋４

１２１

πｙ，Ｖ′ｙ＝πｘｙ．４２

ｆ（ｘ，ｙ）－ｆ（ｘ０，ｙ０）≈ｆ′ｘ（ｘ０，ｙ０）（ｘ－ｘ０）＋ｆ′ｙ（ｘ０，ｙ０）（ｙ－ｙ０），ｆ（ｘ，ｙ）≈ｆ（ｘ０，ｙ０）＋ｆ′ｘ（ｘ０，ｙ０）（ｘ－ｘ０）＋ｆ′ｙ（ｘ０，ｙ０）（ｙ－ｙ０），当（ｘ０，ｙ０）是函数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）的特殊值或ｆ（ｘ０，ｙ０）的值

１

πｈｄΔｄ，２

ΔＶ≈

即圆柱体积Ｖ的误差ΔＶ的近似公式为

１１

πｄ２Δｈ＋πｈｄΔｄ．４２

很容易求出来且Δｘ，Δｙ很小时，我们可以利用全微分进行近似计算．

例３　计算０．９７（０．９７，１．０５），

１．０５

四、结　语

本文分析了一元函数微分的意义及其与导数、不定积分之间的关系，并给出一元及多元函数的微分在近似计算和误差分析方面的应用，为理解和应用微分提供参考．

【参考文献】

［１］胡诗国，何敏藩．多元函数微分中的有关反例［Ｊ］．数学学习与研究，２０１９（３）：３５－３６．

［２］盛祥耀．高等数学（上册）：第３版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４：９８－１０２．

［３］刘玉琏．数学分析（上册）：第２版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１２．

的近似值．

ｙ

解　令ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ，（ｘ０，ｙ０）＝（１，１），（ｘ１，ｙ１）＝则ｆ′ｘ（ｘ，ｙ）＝ｙｘ∴Δｚ≈ｄｚ，即

ｙ－１

ｘ１－ｘ０＝－０．０３，ｙ１－ｙ０＝０．０５，

，ｆ′ｙ（ｘ，ｙ）＝ｘｌｎｘ，

ｙ

ｆ（ｘ１，ｙ１）－ｆ（ｘ０，ｙ０）≈ｆ′ｘ（ｘ０，ｙ０）（ｘ１－ｘ０）＋ｆ′ｙ（ｘ０，ｙ０）（ｙ１－ｙ０），（ｙ１－ｙ０），

∴ｆ（ｘ１，ｙ１）≈ｆ（ｘ０，ｙ０）＋ｆ′ｘ（ｘ０，ｙ０）（ｘ１－ｘ０）＋ｆ′ｙ（ｘ０，ｙ０）

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