11.静电场习题思考题

习题

11-1.直角三角形ABC的A点上，有电荷q11.810C，B点上有电荷

9q24.8109C，试求C点的电场强度(设BC0.04m,解：q1在C点产生的场强 E1AC0.03m).

q1 240AC q2在C点产生的场强 E2 C点的合场强 E

q2

40BC22E12E23.24104Vm 方向如图

11-2. 用细的塑料棒弯成半径为50cm的圆环，两端间空隙为2cm，电量为3.1210C的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向. 解： 棒长 l2rd3.12m

电荷线密度 9ql1.0109Cm1

若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭

合线圈产生电场再减去d0.02m长的带电棒在该点产生的场强。由于dr，该小段可看成点电荷 qd2.01011C

92.01011圆心处场强 E09.0100.72Vm1 2240r(0.5)q方向由缝隙指向圆心处

11-3. 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强．

解：设O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴 半无限长导线A在O点的场强 E1(ij)

40R半无限长导线B在O点的场强 E2(ij)

40RAB圆弧在O点的场强 E3(ij)

40R(ij)

40R 总场强 EE1E2E3

11-4. 带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为0sin，式中0为一常数，如图所示．试求环心O为半径R与x轴所成的夹角，处的电场强度． 解：dE0sinddl 240R40RdExdEcos 考虑到对称性 Ex0 dEydEsin

EydEsin

00sin2d0 方向沿y轴负向

40R80R11-5. 一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心O处的电场强

度．

解：把球面分割成许多球带，球带所带电荷 dq2rdl dExdq40(xr)222322rxdl40(xr)2232

xRcos rRsin dlRd

 E20

01sin2di 24011-6. 图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为．求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x变化的图线，即Ex图线(设原点

在带电平板的平面上，Ox轴垂直于平板)．

解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面S1为高斯面

S1E•dS2ES q2xS

xd (x) 02dd (x)

220 E同理可得板外一点场强的大小 E 55

11-7. 设电荷体密度沿x轴方向按余弦规律0cosx分布在整个空间，式中0为恒量．求空间的场强分布．

解：过坐标x处作与x轴垂直的两平面S，用与x轴平行的侧面将之封闭，构成高斯

面。根据高斯定理有

E•dS10dS0xx0cosxdx20Ssinx0

E

0sinx 011-8. 在点电荷q的电场中，取一半径为R的圆形平面(如图所示)，平面到

q的距离为d. 试计算通过该平面的E的通量.

解：通过圆平面的电通量与通过与A为圆心、AB为半径、圆的平面

为周界的球冠面的电通量相同。 球冠面的面积 S2rH 其中 r通过该球冠面的电通量 d2R2

q2rHqH 而 Hr(1cos) 04r220rdRd22 所以 qq(1cos)(12020)

11-9. 一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为r的一个小球体，球心为O，两球心间距离OOd，如图所示. 求:

(1) 在球形空腔内，球心O处的电场强度E0.

(2) 在球体内P点处的电场强度E.设O、O、P三点在同一直径上，且OPd.

解：（1）利用补偿法，以O为圆心，过O点作一个半径为d的高斯 面。根据高斯定理有

d 方向从O指向O 300 （2）过P点以O为圆心，作一个半径为d的高斯面。根据高斯定理有

4d3d3E•dSE PP300

d3E0•dS43 E011 56

过P点以O为圆心，作一个半径为2d的高斯面。根据高斯定理有

r3E

P2•dS4302 EP21r3 120d2r3EEPEP(d2) 方向为径向

304d111-10. 如图所示，一锥顶角为的圆台，上下底面半径分别为R1和R2，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为，求顶点O的电势．(以无穷远处为电势零点)

解：以顶点为原点，沿轴线方向为x轴，在侧面上取面元 dSRddxcos2 Rxtan2 rxcos2

dU140dSr1402tantan2tan22ddx

R2tand UR4020dx1(R2R1)

20

11-11. 图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为，球壳内表面半径为R1，外表面半径为R2．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势．

解：E10 rR1

E2(r3R13)40r24343(r3R13) R1rR2 230r3(R2R13) rR2

30r2 E3 U 3(R2R13)40r2R2R1R2R1E2•drE3•dr

R233(RR)(r3R13)21drdr

R30r230r22 

2(R2R12) 20 57

11-12. 电荷以相同的面密度分布在半径为r110cm和r220cm的两个同心球面上．设无限远处电势为零，球心处的电势为U0300V． (1) 求电荷面密度

(2) 若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？

12212（08.8510CNm）

解： （1） E10 rr1

r12 E2 r1rr2 20r(r12r22) E3 rr2

0r2 U0  E0r11•drE2•drE3•dr

r1r22r2r2r122(rr)r1212drdr

r0r20r2(r1r2) 08.85101230092  8.8510Cm3r1r230100U0 （2）设外球面上放电后电荷密度'，则有 'U0(r1'r2)/00 'r1/r2g 外球面上应变为带负电，共应放掉电荷q'

q'4r22(')4r22(r1/r2g)

4r2(r1r2)

4r2(r1r2)0U0/(r1r2)

40r2U043.148.8510123000.26.67109C

11-13. 如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q．沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为，长度为l，细线左端离球心距离为r0．设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)．

解：以O点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为x轴

球面在轴线上任一点的场强 Eq 24πε0xFr0lr0qλqlλdx

4πε0r0(r0l)4πε0x2方向沿X正方向。

dWdqEdx

W

r0lr0λdxxr0lqqλdxln 24πε0r04πε0x 58

11-14. 一电偶极子的电矩为p，放在场强为E的匀强电场中，p与E之间夹角为，如图所示．若将此偶极子绕通过其中心且垂直于p、E平面的轴转180，外力需作功多少？

解：MpE MpEsin

WMd

11-15. 两根相同的均匀带电细棒，长为l，电荷线密度为，沿同一条直线放置．两细棒间最近距离也为l，如图所示．假设棒上的电荷是不能自由移动的，试求两棒间的静电相互作用力．

解：以棒的一端为坐标原点，棒长为x轴方向

dFdqE FpEsind2pEcos

3l2lλdrλdx

04πε(rx)20lλ2 4πε03l2l(11)dr rlrλ24 ln

4πε03方向沿X轴正向；左棒受力：F'F

11-16. 如图所示，一个半径为R的均匀带电圆板，其电荷面密度为(＞0)今有一质量为m，电荷为q的粒子(q＞0)沿圆板轴线(x轴)方向向圆板运动，已知在距圆心O（也是x轴原点）为b的位置上时，粒子的速度为v0，求粒子击中圆板时的速度(设圆板带电的均匀性始终不变)． 解：Ex(1)

2220RxqxdvFqE(1)mv

2220dxRxv0qxmvdv(1)dx vb2022Rx1212qmvmv0(xR2x2) 222002vv0q(RbR2b2) m0

思考题

11-1. 两个点电荷分别带电q和2q，相距l，试问将第三个点电荷放在何处它所受合力为零?

答：

qQ2qQ xl(21) 即离点电荷q的距离为l(21) 224πε0x4πε0(lx)11-2. 下列几个说法中哪一个是正确的？

（A）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向。 （B）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同。

（C）场强方向可由EF/q定出，其中q为试验电荷的电量，q可正、可负，F为试验电荷所受的电场力。

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（D）以上说法都不正确。 答： C

11-3. 真空中一半径为R的的均匀带电球面,总电量为q (q＜0).今在球面面上挖去非常小的一块面积S (连同电荷)，且假设不影响原来的电荷分布，则挖去S后球心处的电场强度大小和方向.

q

4πε0R2σΔS E 方向指向小面积元

4πε0R2答：σ

11-4. 三个点电荷q1、q2和q3在一直线上，相距均为2R，以q1与q2的中心O作一半径为2R的球面，A为球面与直线的一个交点，如图。求： (1) 通过该球面的电通量

(2) A点的场强EA. 解：

EdS；

EdSq1q2 ε0 EA

q3q1q2 2224πε0(3R)4πε0R4πε0R11-5. 有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a/2处，有一电荷为q的

正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为多少？

11-6. 对静电场高斯定理的理解，下列四种说法中正确的是

(A) 如果通过高斯面的电通量不为零，则高斯面内必有净电荷 (B) 如果通过高斯面的电通量为零，则高斯面内必无电荷 (C) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度必处处为零 (D) 如果高斯面上电场强度处处不为零，则高斯面内必有电荷 答：A

111-7. 由真空中静电场的高斯定理EdSS0q可知

(A) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零 (B) 闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定都不为零 (C) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定都为零 (D) 闭合面内无电荷时，闭合面上各点场强一定为零 答：C

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11-8. 图示为一具有球对称性分布的静电场的E~r关系曲线．请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的． (A) 半径为R的均匀带电球面． (B) 半径为R的均匀带电球体． (C) 半径为R、电荷体密度Ar (A为常数）的非均匀带电球体． (D) 半径为R、电荷体密度A/r (A为常数)的非均匀带电球体． 答： D

11-9. 如图，在点电荷q的电场中，选取以q为中心、R为半径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离为r的P'点的电势为 (A)

11 rRq11q(C) (D) 

40Rr40rRqq (B)

4040r答：B

11-10. 密立根油滴实验，是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡而测量电荷的，其电

场由两块带电平行板产生．实验中，半径为r、带有两个电子电荷的油滴保持静止时，其所在电场的两块极板的电势差为U12．当电势差增加到4U12时，半径为2r的油滴保持静止，则该油滴所带的电荷为多少？

U124qρπr3g d34U124qρπ(2r)3g d3 q2q4e

解：

11-11. 设无穷远处电势为零，则半径为R的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为(图中的U0和b皆为常量)：

答： C

11-12. 无限长均匀带电直线的电势零点能取在无穷远吗？ 答：不能