2013年高考文科数学重庆卷试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(重庆卷)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013重庆，文1)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则

A．{1,3,4} B．{3,4} C．{3} D．{4}

2

2．(2013重庆，文2)命题“对任意x∈R，都有x≥0”的否定为( )．

A．存在x0∈R，使得x02＜0 B．对任意x∈R，都有x2＜0 C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．不存在x∈R，使得x2＜0 3．(2013重庆，文3)函数yU(A∪B)＝( )．

1的定义域是( )．

log2x2A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)

22

4．(2013重庆，文4)设P是圆(x－3)＋(y＋1)＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )．

A．6 B．4 C．3 D．2

5．(2013重庆，文5)执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是( )．

A．3 B．4 C．5 D．6

6．(2013重庆，文6)下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为( ).

1 8 9

2 1 2 2 7 9 3 0 0 3

A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6

22

7．(2013重庆，文7)关于x的不等式x－2ax－8a＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )．

571515A．2 B．2 C．4 D．2

8．(2013重庆，文8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )．

A．180 B．200 C．220 D．240

3

9．(2013重庆，文9)已知函数f(x)＝ax＋bsin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg 2))＝( )．

2013 重庆文科数学 第1页

A．－5 B．－1 C．3 D．4

10．(2013重庆，文10)设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )．

232323232，2，3，3，33A． B． C． D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．

11．(2013重庆，文11)设复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝__________. 12．(2013重庆，文12)若2，a，b，c,9成等差数列，则c－a＝__________. 13．(2013重庆，文13)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为__________．

14．(2013重庆，文14)在OA为边，OB为对角线的矩形中，OA＝(－3,1)，OB＝(－2，k)，则实数

2

k＝__________.

15．(2013重庆，文15)设0≤α≤π，不等式8x－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为__________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．(2013重庆，文16)(本小题满分13分，(1)小问7分，(2)小问6分．)设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N＋.

(1)求{an}的通项公式及前n项和Sn；

(2)已知{bn}是等差数列，Tn为其前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.

17．(2013重庆，文17)(本小题满分13分，(1)小问9分，(2)、(3)小问各2分．)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得

xi110i80，

yi110i20，xiyi184，xi2720.

i11010i1(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a； (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

附：线性回归方程y＝bx＋a中，bxynxyiii1nn，aybx，

xi12inx2a. ybx其中x，y为样本平均值．线性回归方程也可写为2013 重庆文科数学 第2页

18．(2013重庆，文18)(本小题满分13分，(1)小问4分，(2)小问9分．)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝b＋c＋3bc. (1)求A；

2

2

2

(2)设a3，S为△ABC的面积，求S＋3cos Bcos C的最大值，并指出此时B的值．

19．(2013重庆，文19)(本小题满分12分，(1)小问5分，(2)小问7分．)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA23，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝

π. 3(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积．

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20．(2013重庆，文20)(本小题满分12分，(1)小问5分，(2)小问7分．)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．

(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；

(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

21．(2013重庆，文21)(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e2，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4. 2(1)求该椭圆的标准方程；

(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP′Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．

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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(重庆卷)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：D

解析：∵A∪B＝{1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}，U＝{1,2,3,4}，

∴U(A∪B)＝{4}，故选D． 2． 答案：A

解析：由全称命题p：x∈D，p(x)的否定为p：x0∈D，p(x0)，知选A． 3． 答案：C 解析：由题知解得x20,

log2x20,x2,x2,即

x21,x3.所以该函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选C． 4． 答案：B

22

解析：∵由圆(x－3)＋(y＋1)＝4知，圆心的坐标为(3，－1)，半径r＝2， ∴圆心到直线x＝－3的距离d＝|3－(－3)|＝6. ∴|PQ|min＝d－r＝6－2＝4，故选B． 5． 答案：C

2

解析：∵k＝1，s＝1＋(1－1)＝1； k＝2，s＝1＋(2－1)2＝2； k＝3，s＝2＋(3－1)2＝6； k＝4，s＝6＋(4－1)2＝15； k＝5，s＝15＋(5－1)2＝31＞15. ∴k＝5.故选C． 6． 答案：B

解析：∵数据总个数n＝10，

又∵落在区间[22,30)内的数据个数为4， ∴所求的频率为

40.4. 107． 答案：A

22

解析：∵由x－2ax－8a＜0(a＞0)，得(x－4a)(x＋2a)＜0，即－2a＜x＜4a，∴x1＝－2a，x2＝4a. ∵x2－x1＝4a－(－2a)＝6a＝15， ∴a155.故选A． 628．

答案：D解析：由三视图知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱，

如图所示，S上＝2×10＝20， S下＝8×10＝80，

S前＝S后＝10×5＝50，

S左＝S右＝

1(2＋8)×4＝20， 22013 重庆文科数学 第5页

所以S表＝S上＋S下＋S前＋S后＋S左＋S右＝240， 故选D． 9． 答案：C

解析：∵log2101， lg2－1

∴lg(log210)＝lg(lg 2)＝－lg(lg 2)．

3

令g(x)＝ax＋bsin x，易知g(x)为奇函数．

∵f(lg(log210))＝f(－lg(lg 2))＝g(－lg(lg 2))＋4＝5，∴g(－lg(lg 2))＝1.∴g(lg(lg 2))＝－1. ∴f(lg(lg 2))＝g(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. 故选C． 10． 答案：A

x2y2解析：不妨令双曲线的方程为221(a＞0，b＞0)，由|A1B1|＝|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，

abB2关于x轴对称，如图．

又∵满足条件的直线只有一对， ∴tan 30°＜

3bb≤tan 60°，即3. 3aa1b2∴23. 3a1c2a242

3∵b＝c－a，∴，即＜e≤4. 23a32323，2.故选A． ∴＜e≤2，即e∈332

2

2

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11．答案：5 解析：∵z＝1＋2i，∴|z|125. 12．答案：

227 292772. 5142解析：设公差为d，则c－a＝2d＝213．答案：

2 342. 63解析：甲、乙、丙三人随机站在一排有：

甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种．

若甲、乙两人相邻而站则有甲乙丙、丙甲乙、乙甲丙、丙乙甲，共4种，故所求的概率为14．答案：4

解析：∵OA＝(－3,1)，OB＝(－2，k)，

∴AB＝OB－OA＝(－2，k)－(－3,1)＝(1，k－1)． 又OA，AB为矩形相邻两边所对应的向量， OAOA∴⊥AB，即·AB＝－3×1＋1×(k－1)＝－4＋k＝0，

即k＝4.

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15．答案：0,,π

66222

解析：不等式8x－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则有Δ＝(8sin α)－4×8cos 2α＝64sinα－32cos 2α≤0，

2222

即2sinα－cos 2α＝2sinα－(1－2sinα)＝4sinα－1≤0. ∴sinα≤∴2

π5π1. 411sin . 22π5π又0≤α≤π，结合下图可知，α∈0,,π.

66

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．

解：(1)由题设知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，

13n1n所以an＝3，Sn＝＝(3－1)．

132n－1

(2)b1＝a2＝3，b3＝1＋3＋9＝13，b3－b1＝10＝2d，

所以公差d＝5， 故T20＝20×3＋

2019×5＝1 010. 217．

解：(1)由题意知

1n801n20n＝10，xxi8，yyi2，

ni110ni110又lxx＝

nxi1iin2inx2＝720－10×82＝80，

lxy＝

xynxy＝184－10×8×2＝24，

i1由此得blxylxx240.3，aybx＝2－0.3×8＝－0.4， 80故所求回归方程为y＝0.3x－0.4.

(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3＞0)，故x与y之间是正相关． (3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 18．

b2c2a23bc3解：(1)由余弦定理得cos A＝. 2bc2bc25π又因0＜A＜π，所以A.

61(2)由(1)得sin A＝，

2又由正弦定理及a＝3得

S＝

11asinBbcsin A＝··asin C＝3sin Bsin C， 22sinAπAπ时，S＋3cos Bcos C取最大值3. 2122013 重庆文科数学 第7页

因此，S＋3cos Bcos C＝3(sin Bsin C＋cos Bcos C)＝3cos(B－C)． 所以，当B＝C，即B

19．

(1)证明：因BC＝CD，即△BCD为等腰三角形， 又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC．

因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD．

从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直， 所以BD⊥平面PAC．

(2)解：三棱锥P－BCD的底面BCD的面积S△BCD＝由PA⊥底面ABCD，得

112πBC·CD·sin∠BCD＝×2×2×sin＝3. 223VP－BCD＝·S△BCD·PA＝3232.

13131PA， 811111故VF－BCD＝·S△BCD·PA＝323，

3838417所以VP－BDF＝VP－BCD－VF－BCD＝2.

44由PF＝7FC，得三棱锥F－BCD的高为

20．

2

解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr元，所以蓄水池的

2

总成本为(200πrh＋160πr)元．

2

又据题意200πrh＋160πr＝12 000π，

12

(300－4r)， 5rπ23

从而V(r)＝πrh＝(300r－4r)．

5因r＞0，又由h＞0可得r53，

所以h＝

故函数V(r)的定义域为(0,53)．

π3

(300r－4r)， 5π2

故V′(r)＝(300－12r)．

5(2)因V(r)＝

令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上为增函数； 当r∈(5,53)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5,53)上为减函数． 由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8. 即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大． 21．

c22242

1解：(1)由题意知点A(－c,2)在椭圆上，则.从而e＋＝1. 222abbb2242216. 由e得b8，从而a2221e1ex2y21. 故该椭圆的标准方程为

168(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)． 又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则

222

|QM|＝(x－x0)＋y

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x2＝x－2x0x＋x0＋81

16122

＝(x－2x0)－x0＋8(x∈[－4,4])． 22

2

设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取最小值，

22

又因x1∈(－4,4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，从而x1＝2x0，且|QP|＝8－x0.

2

由对称性知P′(x1，－y1)，故|PP′|＝|2y1|， 所以S＝

1|2y1||x1－x0| 2x121＝281|x0| 216＝24x0x0 22＝2x024. 22当x02时，△PP′Q的面积S取到最大值22. 此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(2，0)，半径|QP|8x02

2

26，

2

2

因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x＋2)＋y＝6，(x－2)＋y＝6.

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