04-05学年第一学期期末考试试卷
试卷代码：03043 C卷 课时：48
课程名称：线性代数 适用对象：挂牌班
一、填空题(每小题3分，共15分)
1. 三阶行列式中项a32a21a13的符号为______。
2. A为4阶方阵,A∗为A的伴随矩阵，A=2，A∗=_____。 3. 设方阵B−2I可逆,矩阵方程XB=2X+C的解为X=______。
⎧x1+x2=−a1⎪x+x=a⎪32
4.若线性方程组⎨2有解，则常数a1,a2,a3,a4应满足条件
+=−xxa43⎪3
⎪⎩x4+x1=a4
__________。
5. 若A3=A,则A的特征值为 。 二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1.设A为m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是( ) 。
(A) A的列向量线性无关 (B) A的列向量线性相关 (C) A的行向量线性无关 (D) A的行向量线性相关
2. 设 A、B为同阶可逆方阵，A+B（ ）。
(A) 无意义 (B) 有意义，但不可逆 (C) 有意义，不一定可逆 (D) 有意义，可逆 3. 设两个向量组等价，则下列说法正确的是（ ）。
(A)两个向量组向量个数相同 （B）有相同的秩 (C)两个向量组有相同的线性相关性 (D)以上说法都不对
B是A经过有限次初等变换后所得到的矩阵，则有（ ）。 ４. 设 A为n阶方阵， (A) A=B (B) A≠B
(C) 若A=0，则必有B=0 (D) 若A>0，则必有B>0 5. 若矩阵四阶方阵A特征值分别为2，−3（二重）和4，则|A|=（ ）。 (A)24 (B)−24 (C)72 (D)−72
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三、（12分）
⎛100⎞
⎜⎟
已知A=⎜−120⎟，计算A−1,ATA,(4I−A)T(4I−A)。
⎜143⎟⎝⎠
四、（12分）
k为何值时，向量β=(1k
−k)能由
α1=(1−k11),α2=(11+k1),α3=(11k)惟一线性表示。
五、（12分）
⎛112⎞
⎟⎜
设A=⎜224⎟，求三阶方阵B，使得AB=0，且R(B)=1。
⎜336⎟
⎠⎝
六、（12分）
⎛10−1⎞
⎟⎜
用正交矩阵将实对称矩阵A对角化。A=⎜010⎟
⎜−101⎟
⎠⎝
七、（12分）
设AX=B为三元非齐次线性方程组，它的三个解向量α1,α2,α3满足
α1+α2=(3,1,−1),α1+α3=(2,0,−2)，且系数矩阵A的秩R(A)=2，
T
T
求AX=B的通解。
八、（每小题5分，共10分）证明题
1. 设A是n阶矩阵(n≥2),求证:|A*|=|A|n−1。
2. 设X1,X2为齐次线性方程组AX=0的基础解系，证明： X1+X2,2X1−X2也是该齐次线性方程组AX=0的基础解系。
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