02-03学年第二学期期末考试试卷
试卷代码：03644C卷 课时：64
课程名称：线性代数（工） 适用对象：选课班
一、 单选题（3×5=15）
1.若A,B为n阶方阵,满足等式AB=0,则必有_______.
A.A=0或B=0 B.A+B=0 C.A=0或B=0 D.A−B=0
22
+3x3,当t=_____时,其秩为2. 2.实二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x1x2+tx2
A.0 B. 1 C. −1 D.2
⎛1−35−21⎞
⎜⎟
3.已知矩阵A=⎜−21−31−4⎟,则AX=0的自由未知量个数为_____
⎜−1−79−4−5⎟⎝⎠
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
4.若n阶满秩矩阵A的各列元素之和为a(≠0),则(2A2)−1有一特征值为_____ 1111
A.a2 B. −a2 C. a−2 D. −a−2 2222
a11
a12a22
a32
a13
a11
a123a325a22
a13
3a33,则D1=___. 5a23
5.设D=a21
a31a23=M≠0,D1=3a31
5a21a33
A.M B. .−M C. −15M D.15M
二、 填空题（3×5=15）
1.设四元非齐次线性方程的系数矩阵的秩为3,已知X1,X2X3是它的三个解向量,且X1=(2,3,4,5)T,X2+X3=(1,2,3,4)T,则方程组的通解为_______.
2.设η1,η2,η3为AX=0的基础解系,则λ=____,λη1−η2,η2−η3,η3−η1也是
AX=0的基础解系.
22
−4x3+2x1x2+2x1x3的矩阵为_______. 3.二次型f=−2x12−6x2
4.n阶方阵A可对角化的充分条件为_______.
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⎛1−2−4⎞⎛5⎜⎟⎜
5.已知A=⎜−2x−2⎟与Λ=⎜
⎜−4−21⎟⎜⎝⎠⎝⎞
⎟y⎟相似,则x,y的取值为_______. −4⎟⎠
三、 先化简,再计算（1×6=6）
⎛100⎞
⎜⎟
已知A*⋅B⋅A=2BA−8E,A=⎜0−20⎟,求B.
⎜001⎟⎝⎠
四、 （1×10=10）
⎛0
⎜1⎜0
已知:A=⎜
53⎜⎜0⎝
02001000
0⎞⎟0⎟−1
,求A,并求A的所有代数余子式的和.. ⎟0⎟4⎟⎠
五、 （1×12=12）
求下列非齐次线性方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系
⎧
⎪x1−x2−x3+x4=0⎪
⎨x1−x2+x3−3x4=1
⎪1⎪x1−x2−2x3+3x4=−
2⎩
六、 （1×15=15）
已知向量组α1=(1,0,2,1)T,α2=(1,2,0,1)T,α3=(2,1,3,0)T,
α4=(2,5,−1,4)T,α5=(1,−1,3,−1)T
(1) 求向量组α1,α2,α3,α4,α5的秩 (2)求一个极大无关组 (3)用极大无关组表示其余向量
七、 （1×15=15）
⎛220⎞
⎜⎟
设A=⎜82a⎟相似于对角矩阵Λ,试确定a的值,并求可逆矩阵P,使
⎜006⎟⎝⎠
P−1AP=Λ.
八、 证明题（6×2=12）
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1. 求证:R(AB)≤min(R(A),R(B)).
2. 设α是n维列向量且αTα=1,如果A=E−ααT,
求证:(1)A2=A
(2)A的列向量组线性相关.
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