江西财经大学线性代数试题061107336592

05-06学年第二学期期末考试试卷

试卷代码：034C卷 课程名称：线性代数（工）

课时：

适用对象：选课班

一、单项选择题（3′×4=12′）

1．已知α1=(a,1,1)，α2=(1,a,−1)，α3=(1,−1,a)线性相关，则a为 A．a2 B．a-1 C．a=2或a-1 D．a≠2且a≠-1 2．n维向量组α1,α2,L,αs线性无关的充要条件是 A．α1,α2,L,αs均不是零向量

B．α1,α2,L,αs中任意两个向量的分量不成比例 C．向量α1,α2,L,αs的个数s≤n（维数）

D．某向量β可以由α1,α2,L,αs线性表示，且表示式唯一

3．下列说法正确的命题个数有

n阶方阵A可逆的充要条件是，相应的齐次线性方程组AX＝0仅有零解

A可逆的充要条件是，它的所有的特征值均不为零 n阶方阵===

n阶方阵A可逆的充要条件是，它的伴随矩阵A*可逆

n阶方阵A可逆的充要条件是，A经过初等行变换所得行阶梯形矩阵中含有n个非零行向量

A．1 B．2 C．3 D．4

4．实二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+tx22+3x32，当t= 时，其秩为2

A． 0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（3′×5=15′）

1．已知α＝(1,2,3)，则行列式|α⋅αT|＝ 。

2．已知：向量组α1=(a,3,1)，α2=(2,b,3)，α3=(1,2,1)，α4=(2,3,1)的秩为2，则a、b的取值为

。

3．设矩阵A的一个特征值为2，|A-1|=1则A*的一个特征值为

4⎛0A⎞-1

4．已知A、B为可逆矩阵，D＝⎜⎜BC⎟⎟，则D＝ 。

⎝⎠

。

5．设A、B均为m×n矩阵，且R(A)=r1，R(B)=r2，R(A+B)=r3，则r1，r2，r3的关系为

。

三、计算题（8′×2=16′） 1．先化简，再计算

⎛200⎞

⎟三阶矩阵B满足A-1BA=2A+BA，求矩阵B-1。 已知A=⎜023⎜⎟

⎜012⎟⎝⎠

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⎛2⎞⎜⎟⎜3⎟

2．设四元非齐次线性方程组AX=B的R（A）=3。X1，X2，X3均为它的解向量且X1=⎜⎟，

4⎜⎟⎜5⎟⎝⎠

⎛1⎞⎜⎟⎜2⎟

X2+X3=⎜⎟求其通解。

3⎜⎟⎜4⎟⎝⎠四、计算题（15′×3=45′）

1．已知向量组A：α1＝(1,0,2,1)T，α2=(1,2,0,1)T，α3=(2,1,3,0)T，α4＝(2,5,-1,4)T，α5＝

(1,-1,3,-1)T，求A的一个极大无关组，并用极大无关组表示其余向量。

x1+x2=5⎧

⎪

2．求方程组⎨2x1+x2+x3+2x4=1的一个解及导出组的基础解系。

⎪5x+3x+2x+2x=3

234⎩13．已知三阶矩阵A的特征值为2，4（二重）其对应的特征向量为α1=(0,

1−1T

,)，22

α2=(1,0,0)T，α3=(0,

11T

,)，求矩阵A。 22

五、证明题（6′×2=12′）

1．设λ1，λ2是实对称矩阵A的两个特征值，α1,α2是对应的特征向量，且λ1≠λ2，求证：α1与α2正交。

⎛a1⎞⎛b1⎞⎛c1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟

2．设α=⎜a2⎟，β=⎜b2⎟，γ=⎜c2⎟（ai2+bi2≠0 i=1,2,3）。

⎜a⎟⎜b⎟⎜c⎟⎝3⎠⎝3⎠⎝3⎠已知l1:a1x+b1y+c1=0

l2:a2x+b2y+c2=0 l3:a3x+b3y+c3=0

三直线l1，l2，l3相交于一点

求证：α、β线性无关，α、β、γ线性相关，反之亦然。

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