辽宁省重点高中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题含答案

高一年级数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合M{x|x0},N{x|(x1)(x3)0}，则MN（ ） A．(1,3) B．(1,) C．(0,3) D．[0,3) 2.倾斜角为60，在y轴上的截距为1的直线方程是（ ）

A．3xy10 B．3xy10 C．3x3y10 D．3x3y10 3.函数f(x)axbx8满足条件f(1)f(3)，则f(2)的值（ ） A．5 B．6 C．8 D．与a,b值有关

4.正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积（ ） A．32 B．48 C. 64 D．232 35.直线3x3y4与圆xy4的位置关系是（ ）

A．相交 B．相切 C.相离 D．位置关系不确定 6.下列命题中真命题的个数为（ ）

①平行于同一平面的两直线平形；②平行于同一平面的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两直线平行；④垂直于同一平面的两平面垂直； A．0个 B．1个 C. 2个 D．3个

7.一个容器装有细沙acm，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出，tmin后剩余的细沙量为322yaebt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（ ）min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.

A．8 B．16 C. 24 D．32 8.如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A．5 B．1315 C. 7 D． 229.已知三点A(1,3),B(4,2),C(1,7)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为（ ） A．10 B．46 C. 5 D．5 10.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC,PA3,AB4,AC5，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）

A．17 B．25 C. 34 D．50 11.已知函数f(x)(xR)是奇函数且当x(0,)时是减函数，若f(1)0，则函数yf(x2|x|)的零点共有（ ）

A．4个 B．5个 C. 6个 D．7个

12.已知正方形ABCD的边长为2，若将正方形ABCD沿对角线BD折叠为三棱锥ABCD，则在折叠过程中，不能出现（ ）

A．BDAC B．平面ABD平面CBD C. VACBD第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.若直线2xmy2m40与直线mx2ym20平行，则实数m ． 14.已知幂函数y(m2m2)x为 ．

2215.已知圆C:(x1)(y3)1和两点A(0,m),B(0,m)(m0)，若圆C上存在点P，使得22 D．ABCD 32m24m的图象关于原点对称且与x轴、y轴均无交点，则整数m的值APB90，则实数m的取值范围为 ．

16.已知函数f(x)|loga|x1||(a0,a1)，若x1x2x3x4，且f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)，则1111 ． x1x2x3x4三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

2x17. 已知三个集合A{xR|log3(x5x9)1},B{xR|2241}, C{xR|x2axa2190}.

（1）求AB；

（2）已知AC∅，BC∅，求实数a的取值范围.

18. 如图，四棱锥PABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是ABC60的棱形，M为PC的中点.

（1）求证：PCAD； （2）求VDMAC.

19. 设函数f(x)(2k1)aa（1）求k的值； （2）若f(1)xx（a0且a1）是定义域为R的奇函数.

5，不等式f(3xt)f(2x1)0对x[1,1]恒成立，求实数t的最小值. 620. 已知两个定点A(4,0),B(1,0)，动点P满足|PA|2|PB|.设动点P的轨迹为曲线E，直线l:ykx4.

（1）求曲线E的轨迹方程；

（2）若l与曲线E交于不同的C,D两点，且COD90（O为坐标原点），求直线l的斜率； （3）若k1,Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM,QN，切点为M,N，探究：直线MN2是否过定点.

21. 在四棱锥PABCD中，底面ABCD为棱形，PADPAB,AC交BD于O.

（1）求证：平面PAC平面PBD；

（2）延长BC至G，使BCCG，连结PG,DG.试在棱PA上确定一点E，使PG//平面BDE，并求此时AE的值. EP22. 设函数f(x)loga(x3a)（a0且a1），当点P(x,y)是函数yf(x)图象上的点时，点Q(x2a,y)是函数yf(x)图象上的点.

（1）写出函数yf(x)的解析式；

（2）把yf(x)的图象向左平移a个单位得到yh(x)的图象，函数F(x)[ah(x)2]2ah(x)，是否存在实数m,n(mn)，使函数F(x)的定义域为(m,n)，值域为(m,n).如果存在，求出m,n的值；如果不存在，说明理由；

（3）若当x[a2,a3]时，恒有|f(x)g(x)|1，试确定a的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5:BACAB 6-10:CBCDC 11、12：DD 二、填空题

13. 2 14. 1 15. [1,3] 16. 2 三、解答题

17.解：（1）A{xR|x5x93}{2,3}.

2B{xR|x240}{2,2} AB{2} （2）AC∅，BC∅，

2C,2C,3C C{xR|x2axa2190} a22a1502a2a150 a23a1003a5即5a3解得3a2. a5或a2所以实数a的取值范围是[3,2).

18.解：（1）取AD中点O连接OP,OC,AC， 依题意可知PAD,ACD均为正三角形，

OCAD,OPAD 又OCOPO,OC平面POC,OP平面POC AD平面POC 又PC平面POC PCAD （2）由（1）可知OPAD，又平面PAD平面ABCD 平面PAD平面ABCDAD,OP平面PAD PO平面ABCD 即OP为三棱锥PACD的高

又PAD是边长为2的正三角形，PO3 由VPACD1SACDPO 33223,VPADC1 4又ADC又M为PC的中点

11VDMACVMADCVPADC.

2219.解：（1）f(x)是定义在R上的奇函数，

f(x)f(x)对于任意的实数x恒成立，

即(2k2)(aa)0对于任意的实数x恒成立，

xxk1.

（2）由（1）知f(x)aaxx，因为f(1)515，所以a， 6a6解得a232x3x或a（舍去），故f(x)()() 3232任取x1,x2且x1x2，则23232233f(x1)f(x2)()x1()x1[()x2()x2][()x1()x2][()x1()x2] 32323322由指数函数的单调性知，()1()2,()1()2 23x23x32x32xf(x1)f(x2) 故函数f(x)是R上的减函数

f(3xt)f(2x1)0，由函数f(x)为奇函数且单调递减，知f(3xt)f(2x1),3xt2x1，

即tx1在[1,1]上恒成立 则t2，即实数t的最小值是2. 20.解：（1）设点P坐标为(x,y) 由|PA|2|PB|，得：(x4)y2(x1)y 整理得：曲线的E轨迹方程为xy4 （2）依题意d222222|4|1k22 k7 （3）由题意可知：O,Q,M,N四点共圆且在以OQ为直径的圆上，设Q(t,1t4)， 2其方程为x(xt)y(y21tt4)0，即：x2txy2(4)y0 222又M,N在曲线E:xy4上，

tlMNtx(4)y40 2y1yx0x即(x)t4(y1)0，由得22，

2y10y1直线MN过定点(,1).

21.解：（1）PADPAB,ADAB 12PADPAB，得PBPD，

O为BD中点，POBD，

底面ABCD为菱形，ACBD,ACPOO,BD平面PAC，

平面PAC平面PBD. BD平面PBD，（2）连接AG交BD于M，在PAG中，过M作ME//PG交PA于E，连接ED和EB，

PG平面BDE,ME平面BDE,PG//平面BDE AD//BG,BG2AD,ADM~BGMAMAD1， GMBG2PG//ME,EAMA1AE1，即. EPMG2EP222.（1）解：设点Q的坐标为(x,y)，

则xx2a,yy，即xx2a,yy.

点P(x,y)在函数yloga(x3a)图象上，

yloga(x2a3a)，即yloga1 xag(x)loga1 xa2（2）F(x)x2x(x0)，

F(x)(,1],(m,n)(,1]，故n1 F(m)mF(x)在(m,n)上单调递增，，即m、n为F(x)x的两相异的非负的实数

F(n)n2即x2xx，解得m0,n1 （3）函数f(x)g(x)loga(x3a)loga1 xa由题意x[a2,a3]，则(a2)3a2a20， 又a0，且a1,0a1 |f(x)g(x)||loga(x3a)loga1||loga(x24ax3a2)| xa|f(x)g(x)|11loga(x24ax3a2)1，

又r(x)x4ax3a对称轴为x2a 220a1a22a，则r(x)x24ax3a2在[a2,a3]上为增函数，

函数u(x)loga(x24ax3a2)在[a2,a3]上为减函数，

从而[u(x)]maxu(a2)loga(44a).[u(x)]minu(a3)loga(96a) loga(96a)1又0a1，则 log(44a)1a0a

957. 12