您的当前位置：首页正文

小学数学六年级下册全册易错题归纳

来源：好走旅游网

小学数学六年级下册全册易错题归纳

一、错例目录

1.负数

1.1正负数的读写………………………………………………………………………**1 1.2在直线上表示正数、0负数………………………………………………………**42. 圆柱和圆锥

2.1圆柱的认识…………………………………………………………………………**62.2.1圆柱的表面积……………………………………………………………………**82.2.2圆柱的表面积…………………………………………………………………**102.2.3圆柱的表面积…………………………………………………………………**122.2.4圆柱的表面积…………………………………………………………………**132.2.5圆柱的表面积…………………………………………………………………**152.2.6圆柱的表面积…………………………………………………………………**162.2.7圆柱的表面积…………………………………………………………………**172.2.8圆柱的表面积…………………………………………………………………**182.3.1圆柱的体积……………………………………………………………………**192.3.2圆柱的体积……………………………………………………………………**202.3.3圆柱的体积……………………………………………………………………**212.3.4圆柱的体积……………………………………………………………………**222.4.1圆锥的体积……………………………………………………………………**232.4.2圆锥的体积……………………………………………………………………**242.4.3圆锥的体积……………………………………………………………………**252.4.4圆锥的体积……………………………………………………………………**263. 比例

3.1比例的基本性质…………………………………………………………………**273.2.1解比例…………………………………………………………………………**283.2.2解比例…………………………………………………………………………**293.3.1成反比例的量…………………………………………………………………**303.3.2成反比例的量…………………………………… …………………… ……**333.3.3成反比例的量…………………………………… …… ……………………**353.4.1比例尺…………………………………………………………………………**363.4.2比例尺…………………………………………………………………………**373.4.3比例尺…………………………………………………………………………**383.4.4比例尺…………………………………………………………………………**39

3.4.5比例尺…………………………………………………………………………**403.5.1用比例解决问题………………………………………………………………**41

3.5.2用比例解决问题…………………………………………………………**423.5.3用比例解决问题…………………………………………………………**433.5.4用比例解决问题…………………………………………………………**443.5.5用比例解决问题…………………………………………………………**453.5.6用比例解决问题…………………………………………………………**463.5.7用比例解决问题…………………………………………………………**473.5.8用比例解决问题…………………………………………………………**484. 整理和复习

4.1.1数的认识…………………………………………………………………**494.1.2数的认识…………………………………………………………………**504.1.3数的认识…………………………………………………………………**514.2.1数的运算…………………………………………………………………**524.2.2数的运算…………………………………………………………………**534.2.3数的运算…………………………………………………………………**544.2.4数的运算…………………………………………………………………**564.2.5数的运算…………………………………………………………………**574.2.6数的运算…………………………………………………………………**584.2.7数的运算…………………………………………………………………**594.2.8数的运算…………………………………………………………………**604.2.9数的运算…………………………………………………………………**614.2.10数的运算………………………………………………… ……………**624.3.1常见的量…………………………………………………………………**634.3.2常见的量…………………………………………………………………**644.3.3常见的量…………………………………………………………………**654.3.4常见的量…………………………………………………………………**674.4.1比和比例…………………………………………………………………**684.4.2比和比例…………………………………………………………………**694.4.3比和比例…………………………………………………………………**704.4.4比和比例…………………………………………………………………**724.4.5比和比例…………………………………………………………………**734.4.6比和比例…………………………………………………………………**744.4.7比和比例…………………………………………………………………**754.5.1图形的认识与测量………………………………………………………**764.5.2图形的认识与测量………………………………………………………**774.5.3图形的认识与测量………………………………………………………**79

4.5.4图形的认识与测量……………………………………………………**814.5.5图形的认识与测量……………………………………………………**834.5.6图形的认识与测量…………………………………………………………**844.5.7图形的认识与测量…………………………………………………………**854.5.8图形的认识与测量…………………………………………………………**874.5.9图形的认识与测量…………………………………………………………**904.5.10图形的认识与测量…………………………………… …………………**914.5.11图形的认识与测量…………………………………………… …………**944.6.1统计与可能性………………………………………………………………**964.6.2统计与可能性………………………………………………………………**994.6图形与变换……………………………………………………………………**1014.7综合应用………………………………………………………………………**103

二、原始错例

六年级下册典型错例

采集样本63

错误率

23．85%

采集者

******

采集学校课时时

单元机

总复习

***

新授课课练习型课

复习课

策略性知识√

√错题来源第一单元

题目出处课堂作业本第3页第1题相关知识负数的意义知识属性陈述性知识教学简述

基本√题

综合型拓展√程序性知识

此题是在学生学习了负数的意义以后的练习

◆典型错题

错题：比较下列各组数的大小：-1和-1.2 0和错解： -1＜-1.2 -0.1＜-0.01◆原因分析

1、对负数概念的建构缺乏深刻地理解，没有从体会引进负数的必要性中理解负数的意义、建立负数的数感。

2、负数这一概念是第一次出现在学生的面前，比较抽象，对于抽象能力差的学生来说，理解起来有一定的难度。

3、没有从真正理解负数的实际含义出发，加上容易受整数大小比较的干扰和影响，在比较负数的大小中往往会出错。 ◆教学建议

1、加强学情分析，积极关注学生已有知识经验，贴近学生的生活实际，在熟悉的生活情境中，充分调动学生的潜能，让学生主动学习，积极参与负数意义的建构，从而提升对负数这一数学概念本质意义的理解。

2、通过实践活动，让学生在观察、分析、推理、估计、想象、整理中主动参与负数意义的建构，让学生在主动获取知识的过程中，思维得到锻炼，情感得到体验，创新能力和实践能力得到培养。◆资源链接

负数的认识

教学内容：

六年级下册第2～4页例1、例2。

2 -0.1和-0.013 教学目标：

1．引导学生在生活情境中初步认识负数，能正确地读、写正数和负数；知道0不是正数也不是负数。

2．使学生初步学会用负数表示一些日常生活中的问题，体验数学与生活的联系。 3．结合负数的历史，对学生进行爱国主义教育；培养学生良好的数学情感。教学重点：初步认识正数和负数以及读法和写法。教学难点：理解0既不是正数，也不是负数。教学过程：

一、游戏导入,提出目标

1、游戏：我们来玩个游戏轻松一下，游戏叫做《我反我反

我反反反》。游戏规则：老师说一句话，请你说出与它相反意思的话。

①向左看（向右看）②向前走200米（向后走200米）③电梯上升8层（下降8层）。(4)李大叔今天挣了500元（亏了500元）(5)知识抢答中，我得了20分（扣了20分）(6)今天温度零上10摄式度（零下10摄式度）……你能举出一些这样的例子吗？2、提出学习目标。二、合作探索,学生展示 1．表示相反意义的量（1）引入实例。

谈话：如果沿着刚才的话题继续“聊”下去的话，就很自然地走进神秘数学王国，我们一起来看几个例子（小黑板出示）。

① 六年(2)班上学期转来3人，本学期转走2人。 ② 放心商店，二月份盈利3000元，三月份亏损1200元。 ③ 与标准体重比，小明重了 3千克,小华轻了 1千克。

指出：这些相反的词语和具体的数量结合起来，就成了一组组“相反意义的量”。（补充板书：相反意义的量。）（2）学生尝试

怎样用数学方式来表示这些相反意义的量呢？试着写出表示方法。

（3）学生展示交流 (如:+3 -2 .........) 2．认识正、负数（1）引入正、负数。

谈话：刚才，有同学在3的前面写上“＋”表示转来3人，添上“－”表示转走2人（板书：＋3 －2），这种表示方法和数学上是完全一致的。

介绍：像“－2”这样的数叫负数（板书：负数）；这个数读作：负二。 “－”，在这里有了新的意义和作用，叫“负号”。“＋”是正号。

像“＋3”是一个正数，读作：正六。我们可以在3的前面加上“＋”，也可以省略不写（板书：3）。其实，过去我们认识的很多数都是正数。（2）试一试

请你用正、负数来表示出其它几组相反意义的量。 3．联系实际，加深认识

（1）说一说存折上的数各表示什么？（教学例2。）

（2）联系生活实际举出一组相反意义的量，并用正、负数来表示。 ① 同桌交流。

② 全班交流。根据学生发言板书。

强调：像过去我们熟悉的这些整数、小数、分数等都是正数，也叫正整数、正小数、正分数；在它们的前面添上负号，就成了负整数、负小数、负分数，统称负数。 4．进一步认识“0” （1）看一看、读一读。

谈话：接下来，我们一起来看屏幕：这是去年12月份某天，部分城市的气温情况（小黑板出示）。

哈尔滨：－15 ℃～－3 ℃ 北京：－5 ℃～5 ℃

深圳： 12 ℃～23 ℃ （请把负数读出来）（2）找一找、说一说

我们来看首都北京当天的温度，“－5

℃”读作：“负五摄氏度”或“负五度”，表示零下5度；5 ℃又表示什么？(3）提升认识

请学生观察温度计，说一说有什么发现？

在学生发言的基础上，强调：以0℃为分界点，零上温度都用正数来表示，零下温度都用负数来表示。（或负数都表示零下温度，正数都表示零上温度。）讨论: “0”是正数,还是负数？

在学生发言的基础上,强调：“0”作为正数和负数的分界点，它既不是正数也不是负数。

5．练一练。p8 1 6、自学负数的历史三、练习应用，拓展延伸1、P4 2 p8 3

2．你知道吗：水沸腾时的温度是____。水结冰时的温度是____。地球表面的最低温度是。

3、“净含量:10±0.1kg”表示什么意思？四、归纳总结学生交流收获。

六年级下册典型错例

采集样本31人

错误率

35.48%

采集者题型基本综合√

时机

采集学校课时单元

***课型

新授课练习课

错题来源第一单元负数题目出处学习与评价

√

相关知识负数知识属性陈述性知识

拓展√程序性知识

总复习

复习课

策略性知识

√教学简述学生已经学完第一单元全部内容。◆典型错题（写清错题与错解）

11错题：在数轴上，—在—的（）边。

28 A、左 B、右 C、北 D、无法确定

错解：B。（1）8比2大；（2）—2在—

8右边；（3）负的多，在右边；（4）我没有画图；（5）没看见负号；（6）所以选右边；（7）还以为—

11﹥，281111在—的右边，看倒了，﹥，把左边看成右边了。2828◆原因分析（可以从教师、学生、教材三个维度分析）

学生似乎对于数的大小比较已经胸有成竹，他不愿意去画数轴来比较大小。凭借他多年来正数的大小比较方法，想当然来比较负数的大小。17在画数轴时，把—写成了—，因为根据正数的表示方法，学生很容易把—

8817的位置写成了—。

88教师对于借助数轴来比较负数的大小教学内容把握不到位。教参上的定位是：关于数的大小比较，特别是两个负数的比较，这里还不是抽象的比较，只要能借助数轴来比较就可以了。教师在教学时，要注意数形结合。◆教学建议

1、在教学负数定义时，要从实际出发，让学生充分体会负数是表示相反意义的量。

2、在数轴上标出各个数字的位置，要求右边的数比左边的数大。3、在教学负数大小比较时，要注重数形结合。◆资源链接

人教论坛教学反思：

许多教师认为“负数”这个单元的内容很简单，不需要花过多精力学生就能基本能掌握。可如果深入钻研教材，其实会发现还有不少值得挖掘的内容可以向学生补充介绍。

例3——两个不同层面的拓展：1、在数轴上表示数要求的拓展。

数轴除了可以表示整数，还可以表示小数和分数。教材例3只表示出正、负整数，最后一个自然段要求学生表示出—

1.5。建议此处教师补充要求学生表示出“+1.5”的位置，因为这样便于对比发现两个数离原点的距离相等，只不过分别在0的左右两端，渗透+1.5和—1.5绝对值相等。

同时，还应补充在数轴上表示分数，如—、—

3等，提升学生数形结合能力，为例4的教学打下夯实的基础。2132、渗透负数加减法

教材中所呈现的数轴可以充分加以应用，如可补充提问：在“—

2”位置的同学如果接着向西走1米，将会到达数轴什么位置？如果是向东走1米呢？如果他从“—2”的位置要走到“—4”，应该如何运动？如果他想从“—

2”的位置到达“+3”，又该如何运动？其实，这些问题就是解决—2—1；—2+1；—4—（—2）；3—（—

2）等于几，这样的设计对于学生初中进一步学习代数知识是极为有利的。

例4——薄书读厚、厚书读薄。

薄书读厚——负数大小比较的三种类型（正数和负数、0和负数、负数和负数）例4教材只提出一个大的问题“比较它们的大小”，这些数的大小比较可以分为几类？每类比较又有什么方法，教材则没有明确标明。所以教学中，当学生明确数轴从左到右的顺序就是数从小到大的顺序基础上，我还挖掘了三种不同类型，一一请学生介绍比较方法，将薄书读厚。

将厚书读薄——无论哪种类型，比较方法万变不离其宗。

无论哪种比较方法，最终都可回归到“数轴上左边的数比右边的数小。”即使有学生在比较—8和—6大小时是用“8>6，所以—8<—

6”来阐述其原因，其实也与数轴相关。因为当绝对值越大时，表示离原点的距离越远，那么在数轴上表示的点也就在原点左边越远，数也就越小。所以，抓住精髓就能以不变应万变。

在此，我还补充了—

3和—72比较大小的练习，提升学生灵活应用知识解决实际问题的能力。5六年级下册典型错例

采集样本63

错误率

44．44%

采集者基本题

型综合√拓展

******

采集学校课时时

机单元总复

***√课型

新授课练习课复习

错题来源第二单元

题目出处课堂作业本第4页第3题相关知识圆柱的认识

√知识属性陈述性知识教学简述

程序性知识

习√课

策略性知识

此题是在学生认识了圆柱的基本特征之后的联练习

◆典型错题

错题：下面两个平面图形是圆柱的侧面展开图，选择合适的圆作为它们的底面，请用线连一连。（单位：cm）

6.28 6.28 9.42 12.56

A.直径3cm B.半径2cm C.直径2cm错解：图一选A，图二选B◆原因分析

1、对圆柱的侧面积，底面积概念理解不清。圆柱的侧面积指的是哪一个面？底面积和侧面积有什么关联？？学生不知其然。

2、转化意识薄弱，对公式推导过程理解有困难、不深入，学生对于圆柱的侧面积和底面积公式的由来不知其所以然。

3、受长方形平行四边形面积的公式的干扰，由长方形面积计算公式类比出圆柱面积计算公式。◆教学建议

把研究圆柱侧面积、底面积计算公式的“再创造”机会还给学生，让学生通过观察、想象、操作等探索活动，亲自经历数学活动过程，理解圆柱侧面积、底面积的数学概念，进而在活动中发现圆柱的侧面积、底面积的计算方法。◆资源链接

认识圆柱的特征，掌握圆柱侧面积的计算方法

一、创设问题情境，导入新课。

同学们，直尺如果我们用数学的眼光来观察，它是什么图形？如果绕着直尺的一条边旋转一周，得到的是什么图形？

这是一面长方形的小旗，如果也绕着它的一条边旋转一周，得到的又是什么图形？（圆柱）今天这节课就来认识圆柱。（板书课题：圆柱的认识）。二、初学探究1、整体感知圆柱。

在日常生活中，哪些物体是圆柱体的？如铅笔、罐头盒、茶叶盒。

如果把它们画下来是怎样的呢？（多媒体演示由实物到几何图形的抽象过程）我们所学的圆柱都是直直的，上下粗细相同的直圆柱。 2、研究圆柱的各部分名称

（1）以小组为单位，每人拿一个圆柱，摸一摸它的面，互相交流，有什么发现。

（2）小组汇报：随着学生的回答教师板书

（3）你是怎样知道两个底面相等的？（①观察；②画剪：把两个底面分别画在纸上，然后剪下来比较；③量直径：测量两个底面的直径，再通过计算，判断底面是否相同；④把茶叶盒的两个底面拆下来比较。）

刚才同学们用不同的方法发现圆柱体的两个底面是完全相同的圆。请看电脑是怎样演示的。（多媒体把上下两个圆完全重合）

（4）（出示两个高低不同的圆柱）同学们请看，这两个圆柱高低不同，那么圆柱的高低和和什么有关？圆柱两个底面之间的距离，就叫圆柱的高。师板书：高画在图上连接圆心之间的距离就是圆柱的高。圆柱的高有多少条？（板书：无数条）这无数条高的长度怎么样？（板书：都相等）请看电脑博士怎样演示高有无数条且都相等的。

（5）拓展高。在日常生活中，硬币的高叫什么？（厚）钢管横着放高叫什么？（长）圆柱形水井的高叫什么？（深）三、巩固新知

（1）圆柱的侧面是个曲面，你们想不想知道侧面展开图是什么形状的？（想）请同学们拿出圆柱模型、剪刀、尺子，把圆柱的侧面剪开后再打开，观察它的形状。并完成下发的实验报告单。

（a）把圆柱的侧面展开，得到一个（）形。

（b）长方形的长等于圆柱的（），宽等于圆柱的（）。（c）圆柱的侧面积等于（）乘（）

小组展示实验结果。电脑博士演示侧面展开图可能是长方形、正方形或平行四边形，但侧面积都是底面周长乘高。

如果底面周长没有直接告诉我们怎么办？（先求出圆柱的底面的周长）尝试解决例1：一个圆柱底面的直径是5厘米，高是12厘米，求它的侧面积？四、课堂小节

六年级下册典型错例

采集样本42

错误率

29．5%

采集者

采集学校课时

***

新授课课练习型课

复习课

策略性知识√

错题来源第二单元题目出处课本相关知识圆柱和圆锥知识属性陈述性知识

基本√题

综合型

时

单元机

总复

拓展

习

程序性知识√

√8

本题是在学习了圆柱的表面积知识后的综合性运用，一方面要求学

教学简述生计算表面积时要仔细，另一方面要求学生能根据问题的实际情况加以

综合考虑。◆典型错题

错题：一圆柱形水池，底面半径5米，高4米，沿这个水池的四周及底部抹水泥。如果每千克水泥可涂0.5平方米，共需多少千克水泥？

错解：第一步底面积：3.14×52＝77.5（m2）第二步侧面积：2×5×3.14×4＝125.6（m2）第三步侧底面积：77.5＋125.6＝203.1（m2）第四步共需水泥：203.1÷0.5＝406.2（千克）

正解：第一步底面积：∏×52＝25∏（m2）（应得78.5）

第二步侧面积：2×5×∏×4＝40∏（m2）（应得125.6）第三步侧底面积：25∏＋40∏＝204.1（m2）第四步共需水泥：204.1÷0.5＝408.2（千克）◆原因分析　

一方面，圆柱与圆锥知识，学生在计算中特别易出错，原因是圆周率（取3.14），计算时常是小数运算，像上面第二步算错后，导致下步错。

另一方面，审题不清，审题错误，一未注意题中重点词语，二未注意单位名称。此错误学生在解简单问题时一般不会出现，而在复杂问题时才会出现。对此我曾思考过，也和学生交流过。学生只注意解题思路，而忽略了他们认为不太重要但实际却很重要的地方，一个词语或一个单位名称往往会造成最终结果的错误。对于解题步骤较多的题目，学生注意力往往不易面面俱到。但作为教师，我们可把工作做得细致一些，使这种现象尽量减少。

第三，也可能与学生实际生活能力缺乏有关，没有考虑到在游泳池抹水泥上面的面是没有的，只要涂一个底面加一个侧面，考虑问题欠周到。◆教学建议　

巧计算提高计算正确性

【对策 1】熟记几∏值带圆周率算

由于学生常因小数计算而错，所以我在教学中，让生熟记1－10∏并检查。遇有像几十（百）∏让学生在几∏基础上移小数点，几十（百）几∏的，让学生拆成加法算，学生都感觉速度加快，正确率高了，减少了许多计算错误。

【对策 2】圆锥求体积除以3再算

求圆锥体积要乘三分之一，学生易先算前面的数，再除以3，这样数有时较大，麻烦，不如算式中能除尽3的，要先和3除完后再算，数小就简便。尝试了这样做法，感觉效果不错，使计算快而简便了。如圆锥半径6cm，高2cm，求体积。1／3×∏×6×6×2＝24∏＝75.36（cm3），这里3和6先约分，再算。

【对策3】结合实际增加动手实践

教学中，不管求什么，都要结合生活实际用公式。圆柱圆锥知识与实际结合紧密，应用性强，应增加学生动手实践机会，如：观察像茶叶桶商标纸，并让学生进行贴商标纸的活动、了解用水泥抹圆柱形的水池、挖圆柱形游泳池情况；设计用绳子捆扎包装圆柱形蛋糕盒等活动，使学生在应用中理解掌握知识。

◆资源链接

在平时教学中，要重视对学生解题能力和习惯的培养，教其正确审题方法。 1、培养审题习惯和能力，每节数学课，要舍得出时间进行审题能力和习惯的培养。既要全班审，也要个体审，并要求学生：①看准确：每个字、词、句看明白；②勾重点； ③分清楚：弄清题目结构；④联起想：联系起来思考。

2、重视练习过后的反思：练后要针对典型审题问题全班处理，反思不足。3、语数结合审清题意，像语文课上品词句那样带领学生弄清题意。4、重题组的对比练习。每组题情节数据一样，从而感受审题重要性。

六年级下册典型错例

采集样本４2

错误率

41.4 %

采集者基本题

综合型

采集学校课时

***

新授课课练习√

型课

复习课

策略性知识

错题来源第二单元题目出处作业本相关知识圆柱和圆锥知识属性陈述性知识教学简述

时

单元机

总复

拓展√

习

程序性知识√

√本题是在学生综合学习了圆柱的表面积后对这方面知识的综合性运

用，重在考察学生空间想象能力以及解决问题的策略能力

◆典型错题

错题：将一根长1米的圆木沿着直径劈成相等的两半，表面积增加了0.8平方米。原来这根圆木的表面积是多少？

错解：0.8÷2÷1=0.4m s=0.4×3.14×1+3.14×0.42×2=1.7584m2

正解：0.8÷2÷1÷2=0.2m s=0.4×3.14×1+3.14×0.22×2=1.5072m2

◆原因分析

学生方面：由于学生空间想象能力的差异，有些学生无法想象沿着直径劈成两半或沿着横截面切成几段各自增加的表面是什么形状的，无法想象问题的具体表象而出错，其次，哪怕能够想象出增加的表面，对增加的表面与原来圆柱之间的各部分关系的理解也有很大难度。

教师方面：在平常的教学中，忽视学生动手操作或老师直观演示，导致学生无法想象。

◆教学建议　

学生空间观念的形成是建立在观察、感知、操作、思考、想象等的基础上，是从经验活动的过程中逐步建立起来的，发展学生的空间观念的基本途径应当多种多样。这些途径包括：生活经验的回忆、动手操作、实物观察、想像、描述、联想、模拟、分析和推理等。

1．广泛观察，积累经验形成表象。如收集生活中常见圆柱形物体，摸一摸，感受圆柱形状，了解圆柱形鱼缸、油桶、通风管等物体特点。

2．重视动手操作,强化亲身体验。通过实验使学生理解概念。像体积、表面积问题变化多样，以实践经验为基础，灵活解决问题。学生在空间观念及想像力方面存在着差异，想象层次不同。有的学生（上面错解）基本上解决了怎么截和截成什么样。对这些学生，再次让其拿近似圆柱萝卜，黄瓜等实物切、拼圆柱交流想法。教师再通过课件进行演示，使学生真正建立切后表象，象这样建立的表象对学生解题很有帮助。如右图：

3．画图想像，训练画图理解特征。“几何学直观：对于抽象的东西，能够在头脑中像画画一样描绘出来并加以思考；这里抽象的东西，不仅仅指几何中抽象的东西，而是指整个数学中抽象的东西；几何直观不只是将抽象的东西画出来，还要利用画出来的画去思考”（阿提雅）。学生在解题时很难找到相应实物，这时画图是使抽象化具体的有效途径。学生看示意图再加合理想像就易形成解题思路。平时课上可让学生拿实物，想立体图，并画展开图，看展开图想立体图。还可拿图形旋转想像，再出下面两组图画出以哪边为轴旋转，先想像交流后，教师再出示下图辨认、选择，以培养学生空间想像能力。

切一刀画的截面4．制作模型，帮助理解图形特征。可制圆柱圆锥，在动手中体会各部分间关系。做立体图前画展开图也是对学生空间观念的又一种训练形式，还可拿立体图剪成展开图。

六年级下册典型错例

采集样本错题来源题目出处相关知识知识属性教学简述

53人

错误率

43.4%

采集者基本题

综合√型拓展程序性知识

采集学校课时时

单元机

总复习

***√课型

新授课练习课复习课

第二单元圆柱与圆锥《作业本》第7页圆柱的表面积陈述性知识

√策略性知识

√

这是《作业本》第7页中的第2题，前面学生已经认识了圆柱，掌握了求圆柱表面积的计算方法。本课组织学生进行了圆柱表面积的综合性练习，练习后我让学生独立完成这一页中练习，其中第2题有很多学生做错了。

◆典型错题

错题：将一根长1米的圆木沿着直径劈成相等的两半，表面积增加了0.8m2。原来这个圆木的表面积是多少？

错解1：（0.8÷1÷2）2×3.14×2+（0.8÷1）×3.14×1=3.5168（m2）错解2：0.8×2+0.8×3.14×1=4.112（m2）◆原因分析

1．错解1的错因在于学生将沿着直径劈成相等的两半，增加了2个长方形面，理解成只增加了1个面，所以0.8÷1=0.8m当作了底面直径来求表面积。实际上底面直径应该是0.8÷2÷1=0.4m。

2．错解2可以看出学生对此题理解上有很大的困难，头脑里没有“将一根长1米的圆木沿着直径劈成相等的两半，表面积增加了0.8m2”的空间观念。

综述上面两种错解，都可看出学生缺乏相应的空间观念。◆教学建议

1．加强直观教学，增强空间观念。采取实物、课件或画图的剖切演示，帮助学生明白这个圆柱是如何切开的，增加了几个面，增加的面的形状是怎样的，这个面的长是几，宽是几等。

2．教给学生思考方法——

画图。授之鱼，更要授之以渔，教师要有意识地提醒和强调学生，对于这些空间图形的问题，需要先画一画来帮助理解，画图是一种解决图形问题的重要方法。

◆资源链接

1．填空：把一个底面积是15.7平方厘米的圆柱，切成两个同样大小的圆柱，表面积增加了（）平方厘米。

2．选择：把一个直径为4厘米，高为5厘米的圆柱，沿底面直径切割成两个半圆柱，表面积增加了多少平方厘米？算式是（）

A、3.14×4×5×2 B、4×5 C、4×5×23．解决问题：

（1）一根长2米，底面积半径是4厘米的圆柱形木段，把它据成同样长的4根圆柱形的木段。表面积比原来增加了多少平方厘米？

（2）把两个底面直径都是4厘米，长都是3分米的圆柱形钢材焊接成一个大的圆柱形钢材，焊接撑的圆柱形刚才的表面积比原来两个小圆柱形钢材的表面积之和减少了多少？

（3）把3个高相等、底面半径都是10厘米的圆柱形盒子叠放在一起。拿走1个盒子，表面积就要减少314平方厘米。每个盒子的表面积是多少平方厘米？

六年级下册典型错例

错误采集

采集样本5288．46%采集者***学校***率

新授

错题来源第二单元基本课时√

课

题时课练习

题目出处课堂作业本综合√单元√型机型课

总复复习

相关知识用比例解决问题拓展

习课

知识属性陈述性知识程序性知识√策略性知识

这是一节用正、反比例解决问题的练习课。通过前一节课的学习，学生基本上能正确区分用正比例和反比例解决的问题，并能正确应用。但

教学简述在以往的教学中，学生经常出现用比例解决问题时所设的未知数与列的

方程中未知数所指代的内容不一致的错误，故在这节课中我特意设计了此项练习。

◆典型错题：

错题：甲、乙两地相距420千米，一辆汽车从甲地开往乙地，2小时行驶了140千米。照这样计算，到达乙地还要多少小时？题目出处课堂自编练习

综合√

单元

错解：解：设到达乙地还要行x小时。

420140= x2x=6 6-2=4（小时）

◆原因分析

1.受思维定势影响。在小学阶段，学生接触到的用方程解决的问题大都以直接设法为主，很少碰到间接设未知数的情况。故学生养成了不经思索，直接按问题设未知数的习惯。

2.考虑问题不严密。在解决问题时，学生考虑问题不够严密，缺少对应意识。故出现所设未知数的指代对象随意更改的现象，首尾不呼应。◆教学建议：

对比分析，树立对应意识。具体做法：

1.挑选正解与错解的两个学生把自己的解题方法抄到黑板上。2.对比分析，弄清错解的错误之处。3.提出修改方案：

（1）不改“解：设到达乙地还要行x小时。”，怎么修改方程使之正确？（2）不改“

420140= x=6 6-2=4（小时）”，怎么改也能使之正确？x2◆资源链接

1.3天加工1200个零件。照这样计算，加工2800个零件，要几天完成？ 2. 3天加工1200个零件。照这样计算，加工2800个零件，还要几天完成？

六年级下册典型错例

采集样本54人

错误率

93%

采集者基本

采集学校课时

越城区***

错题来源第三单元题目出处相关知识知识属性

教学简述

新授

√

课

题时课练习

课堂自编练习综合√单元√型机型课

总复复习

用比例解决问题拓展

习课

陈述性知识程序性知识√策略性知识

这是一节用正、反比例解决问题的练习课。通过前一节课的学习，学生基本上能正确区分用正比例和反比例解决的问题，并能正确应用。但在以往的教学中，学生经常出现用比例解决问题时所设的未知数与列的方程中未知数所指代的内容不一致的错误，故在这节课中我特意设计了此项练习。

◆典型错题：

错题：500千克大豆可榨油350千克。照这样计算，15吨大豆可榨油多少吨？

错解：解：设15000千克大豆可榨油x千克。

15吨=15000千克

x350= 15000500 X =10500

10500千克=10.5吨

◆原因分析

受前摄抑制的影响。解决这类问题时，学生往往受之前接触到的“小丽要测量一大捆铁丝的长度，从中截取了5m长的一段，测得其质量为400g。现测得这捆铁丝的质量为6kg。这捆铁丝长多少米？”类似题目的影响，把题中的“千克和吨”的单位进行统一后再用正比例解决问题。

2. 概念模糊。对于比值所表示的意义的理解尚有欠缺。没能很好的理解题目中“

350”其实表示的是大豆的出油率。所以在这道题目中“千克和吨”的单位是不必统500一的。◆教学建议

1.选取学生中两种不同的解答方法，引导学生讨论是否合理，为什么？ ①解：设15000千克大豆可榨油x千克。 ②解：设15吨大豆可榨油x吨。

x350x350= =150005001550047

X =10500 10500千克=10.5吨 x=10.5

350x”，表示的是大豆的出油率，“”也表示大豆的出油率50015，明白同类量的比中，只要比的前项和后项的单位一致就可，不同的比之间的单位不必统一。

2.比较这一题与下一题之间的区别，进一步明确两题之间的本质区别。

第一题是两个同类量的比，比值表示倍分关系；第二题是两个不同类量的比，比值表示新的量“400：5表示每米铁丝重多少克”，所以，同一类数量的单位必须统一。

通过比较使学生明白“

◆资源链接：

用50千克芝麻可榨油22.5千克，2吨芝麻可榨油多少吨？要榨630千克油需要芝麻多少千克？

六年级下册典型错例

采集样本48错题来源教材题目出处相关知识知识属性

错误率

20.8%

采集者

采集学校课时

***

教学简述

新授课

人教版小学数学12册P64题时课练习

综合单元√√型机型课练习十第1题（3）小题

总复复习

比例拓展

习课

陈述性知识程序性知识√策略性知识

此题是在12册第3单元比例的单元整理和复习中，在此之前学生已在第11册认识了比，在这单元里认识了比例的意义和基本性质，正比例和反比例的意义，并学习了比例的应用。跟这一题直接相关的知识点是“图形的放大和缩小”。“图形的放大和缩小”部分学习的如何直接影响此题的掌握。

基本√

◆典型错题

错题：（3）一个长5cm、宽3cm的长方形按3 ：1放大，得到的图形的面积是（）C㎡。

错解：（ 45 ）C㎡。◆原因分析

对长方形按3 ：1放大，简单理解成面积也是按3 ：1放大，故计算成：5×3×3=45（C㎡）◆教学建议

1.教师在教学本单元的“图形的放大和缩小”时，要引导学生重点发现是将图形的边长按规定比例进行放大或缩小。在完成放大或缩小的画图操作后，再次让学生观察，图形的面积放大或缩小的倍数和边长的倍数相同吗？有怎样区别和联系？从而发

现面积是边长放大倍数的平方倍。

2.引导学生得出此类题一般的解题规律：根据放大或缩小的倍数得出放大或缩小后图形的边长，根据后面的边长算出放大或缩小后的图形的面积；或算出原图的面积，根据放大或缩小的倍数的平方倍就是现在图形的面积。◆资源链接：

六年级下册典型错例

采集样本错题来源题目出处相关知识知识属性教学简述

53人

错误率

49.1%

采集者

采集学校课时时

单元机

总复习√

***√课型

新授课练习课复习课

第三单元比和比例《作业本》第26页用比例解决问题陈述性知识

基本√题

综合型拓展程序性知识

√策略性知识

今天这节数学课，整理和复习了第三单元“比和比例”，然后让学生独立完成《作业本》第26页。在批改中，发现这页中的第5题错误率很高。并且产生的错误情况很集中、很典型。

◆典型错题

错题：一组互相齿合的齿轮，大齿轮有48个齿，小齿轮有16个齿。如果大齿轮转15周，小齿轮转多少转？

错解：解：设小齿轮转x转。

48:16=15：x 48x=16×15 x=5 答：小齿轮转5转。 ◆原因分析

从上述典型错解中，可以清楚地看出，学生把此题的反比例问题判断成正比例问题了。以为，大齿轮的齿数：小齿轮的齿数=大齿轮的周数：小齿轮的周数。而造成这种理解和判断失误的原因是：

1．生活经验缺乏。从访谈中，很多孩子说“一组互相咬合的齿轮”不知道是什么东西。确实一般的孩子是没见过“互相咬合的齿轮”，没有这样的生活经验，学生也就不清楚题中隐含着大、小齿轮所经过的总齿数是一定的。

2．缺乏反思意识。如果有反思意识的话，那按上述求解的小齿轮转5转就不切实际。在转的过程中，大齿轮齿数多，应该转数少，而小齿轮齿数少，应该转数多。进一步判断，题中应该是齿轮的齿数和转数是两种相关联的量且成反比例。◆教学建议

1．利用多媒体，直观教学，帮助学生弄清什么是“一组互相咬合的齿轮”。2．提高正反比例的判断能力。理解题中如果是大、小齿轮的齿数相关联，那应该是比值一定，但从题目中意思看，是总齿数一定，所以是齿轮的齿数与所转的转数相关联且成反比例关系。

3．加强题组的对比练习。可设计一组有关齿数的正、反比例习题，通过练习和对比，提高分析问题和解决问题能力。◆资源链接

基本练习：

判断题中两种量是否成比例，成什么比例？

（1）两个互相咬合的齿轮，齿数与转数。 (　　　)

(2)铺地面积一定，每块砖的边长和所需砖的块数。（　　　）(3)铺地面积一定，每块砖的面积和所需砖的块数。（　　　）(4)每块地砖的面积一定，铺地的面积和地砖的块数。（　　　）对比练习：

（1）一组互相咬合的齿轮，齿轮比是4:3，大齿轮转动15圈，小齿轮转动了多少圈？

（2）一组互相咬合的齿轮，齿轮比是4:3，大齿轮有60个齿，小齿轮有多少个齿？

六年级下册典型错例

错误采集

采集样本48人采集者**21%学校***率

新授

错题来源第六单元数和代数基本√课时

课

题时课练习

题目出处《数学课本》P78综合单元

型机型课

总复复习

相关知识大数的改写拓展√√习课

知识属性陈述性知识√程序性知识策略性知识

学生在四年级的时候已经学习了大数的认识，对于大数的改写和省

教学简述略都进行过系统的学习，这是在六下年级的整理和复习中，第一次出现

大数的省略。◆典型错题：

错题：中国的人口数居世界第一，有1295330000人，约（）亿人。错解：约（12.9533）亿人◆原因分析

1、学生维度

概念模糊，审题不清。没有区分出“约”即“省略”和“改写”两者之间的差别。

2、教材维度

该题的目的，是为了考查学生对大数的省略的掌握程度。其实在六下年级的复习阶段，几乎每张复习卷都会出现类似这样的题目，当然还包括“大数的改写”，而学生经常会将两者混淆。其实，考察学生“省略”和“改写”，尤其是将两种情况放在一起，个人认为实在有点难为了做题的学生。◆教学建议

在课堂教学中，教师应该注意帮助学生理解“省略”和“改写”两者含义，区别对待。针对部分学生对使用四舍五入法省略一个数某一位后的尾数存在困难，教师可以运用“一圈二看三算”的方法加以指导。比如：

一圈：根据题目要求，先圈出亿位后面的数位即千万位或万位后面的数位即千位上的数。

二看：看所圈的数是等于、大于5还是小于5。

三算：等于、大于5，则舍去尾数，写成0，并向前一位进一。小于5则全部舍去后写成0。◆资源链接

1、在知识测验、考查过程中，应该注意提高所编习题的准确性、有效性。比如，可以出示这样的题目：

（1）省略万后面的尾数求出近似数

30600 5049000 13920000 499098000

（2）AB0000000 ≈5亿当A=4，B可能是( )；当A=5时，B可能是（）。

2、5009000改写成用“万”作单位的数是（）。960074000用“亿”作单位写作（）；用“亿”作单位再保留两位小数（）

六年级下册典型错例

采集样本50人错题来源试卷题目出处总复习相关知识公倍数与公因数知识属性陈述性知识

错误率

36%

采集者

采集学校课时时

单元机

总复习

***

新授课课练习型课

复习

√

课

策略性知识

基本√题

综合型拓展√程序性知识

√51

这题与以前做的题有一点区别：它的呈现方式由平时常见的“A÷B=

教学简述8（AB均为自然数）”改为“自然数A除自然数B，商是8”。如此一来学

生的错误比平时一下增加了许多。◆典型错题

错题：自然数A除自然数B，商是8，则A与B的最小公倍数是（

），最大公因数是（）。错解：A、B正解：B、A◆原因分析

1、一部分学生可能是对这个题目难以理解，它们可能对“A÷B=8（AB均为自然数），则A与B的最小公倍数是（），最大公因数是（

）。”这类题的解答也有困难，甚至有很多学生会的8这个数也填入括号中。这主要是学生对公倍数与公因数的概念理解不清，平时训练不够造成的。

2、审题不仔细，没有看到“除”。◆教学建议

加强概念教学，培养学生的应用意识。

六年级下册典型错例

采集样本54人错题来源总复习题目出处综合练习卷

相关知识亿以内数的读法和写法知识属性陈述性知识

错误率

59%

采集者基本题

综合√型拓展√程序性知识

采集学校课时时

单元机

总复习

越城区***新授课课练习型课

复习

√

课

策略性知识

√这是毕业总复习练习卷中的一道题目。之前我们已经对小学阶段的各

教学简述块知识进行了系统的复习与整理。本题涉及到的知识是多位数的写法，

对于基础题，学生掌握较好。◆典型错题

错题：有个八位数，它的最高位上的数字是最小的合数，第七位上是最小的质数，第六位上既是质数又是偶数，第五位上是最小的一位数，其余个位上都是0，这个八位数是（）。

错解：这个八位数是（ 42200000 ）。◆原因分析

1.通过访谈，学生认为“最小的自然数是0”，所以最小的一位数就是“0”。把“最小的自然数”与“最小的一位数”混为一谈。

2.没有正确理解“一个数的最高位不能是0”的规定。若没有这样的规定，0就是一位数，由此可以得出最小的两位数是00，最小的三位数是000，这样的结论显然是不对的。不仅这样，若没有这样的规定，对一个数也就无法确定它是几位数了。例如，15是两位数，“015”就变成了三位数，“0015”就变成了四位数。这样，同一个数我们可以随意称它为几位数，“位数”这一概念的存在也就没有必要了。因此，一个数的最高位不能“0”。也就是说，最小的一位数是1，而不是0。◆教学建议

1.复习“0”的作用，进一步明确“0”在数中所表示的作用。

2.理解“一个数的最高位不能是0”的意义。想一想：各位的最高位是哪一位？这一位上可以是“0“吗？◆资源链接

多位数的写法

写数时，从高位到低位，一级一级地写，哪一位上一个计数单位也没有，就在那一位上写0占位。一个数的最高位不能是0.

六年级下册典型错例

采集样本53错题来源总复习题目出处期末分项测试卷相关知识求分率的百分数应用题知识属性陈述性知识教学简述

错误率

42%

采集者

采集学校课时

***

新授课课练习型课

复习

√

课

策略性知识

基本√题

综合型

时

单元机

总复

拓展

习

程序性知识√

√此题出现在学生的期末复习课堂上的复习例题，重点想巩固学生之前一直比较容易搞错的时间和效率。

◆典型错题

错题：一件工程原计划8天完成，实际做了5天，工作效率提高了多少？

错解：（8-5）÷8×100%=37.5%

◆原因分析

1．在与学生访问发现，学生做完后，其实很难检查发现这是错。在潜意识里时间有时就等于了效率。所以在求效率的相差分率时直接求了时间的相差分率。

2．部分孩子还是比较难理解在同一项工作中，时间之比与效率之比是成反比的。◆教学建议

1.教师要引导学生理解工程问题中，把整项工程看作单位“1”，这是工程中一个隐藏的条件，所以知道了计划8天完成，那计划每天的工作效率就可以得到是。

2.引导区别好时间和效率，本题中应该是现工作效率比原工作效率提高了百分之几？解题时应该先分别求现在和原来的工作效率，然后再来求相差分率。

3.教师也可以引导让学生理解在同一项工作中，时间之比与效率之比是成反比的。在这里原来和现的时间之比是8：5，那么效率之比就是5：8，那么原来的效率看作5，现在的效率就是8，然后再求相差分率。◆资源链接

1．

甲乙两个工程队修一条路，如果甲单独修那需要30天，如果让乙单独修那需要20天，那么两队合修几天就可以完成这项目工程？

2.在体育课上百米赛跑中小明和小东分别跑了8秒和9秒，那么小明和小东百米赛跑的速度之比是多少？

18六年级下册典型错例

采集样本53错题来源总复习题目出处期末分项测试卷相关知识求分率的百分数应用题知识属性陈述性知识

错误率

23%

采集者

采集学校课时

***

新授课课练习型课

复习

√

课

策略性知识

基本√题

综合型

时

单元机

总复

拓展

习

程序性知识√

√此题出现在学生在六下年级期末分项解决问题测试时，此时学生已

教学简述经熟悉的掌握了百分数应用题的各种类型，也知道相差分率等于相差量

除以单位“1”的量。

◆典型错题

错题：某木器厂本月加工课桌椅7320套，比计划超产670套，超产了百分之几？

错解1： 670÷7320 错解2：670÷（7320+7320） ◆原因分析

1．求分率的百分数应用题，最关键的是找准单位“1”，显然这两种错解均是找错了单位“1”，误把实际生产的套数当成单位“1”。

2．在访谈也发现有部分孩子题目没有理解好，学生知道单位“1”应该是计划数，但理解题目时把“本月加工课桌椅7320套”认为是计划的产量了。◆教学建议

1.分析解决百分数应用题的最佳拐杖还是用线段图分析，所以建议在教学还是要引导孩子把数量关系先用线段图表示出来，虽然繁琐但实用。

2.在审题时引导学生用画线等方法先找找单位“1”是谁？是不是已知量？理解如果求相差分率。◆资源链接

1．

王师傅计划3月份计划加工100个工艺品，实际比计划多加工了20个，超产了百分之几？

2.在绿色环保行动中，阳光快乐小队第一天收集了50个塑料瓶，第二天收集了70个塑料瓶，第二天比第一天多收集了百分之几？

六年级下册典型错例

采集样本42

错误率

37.8 %

采集者基本题

综合型

拓展√程序性知识

采集学校课时时

单元机

总复习

***

新授课课练习√

型课

复习课

策略性知识

错题来源第六单元题目出处课堂导学相关知识分数应用题知识属性陈述性知识教学简述

√√本题是在总复习时遇到的问题，学生对于一般的分数乘法、除法应用题掌握较好，并且大部分学生喜欢用算术方法解决此类问题。

◆典型错题:

错题：幸福村要修一条路，第一天修了全长的10%，第二天修了余下的，这时还剩200米没修，这条路长多少米？

2还多10米9错解：答案较杂

正解：（200+10）÷（1-10%-92）109◆原因分析　

这样的“奥数”题目，班上的学生还是头一回见，许多学生都“一个头两个大”，一时找不到解决问题的“门路”，只能“望门兴叹”，心有不甘地割舍掉5分。因为题目中出现了两个不同单位“1”的量，并且与“还剩200米没修”这个条件没有直接联系，没办法直接进行计算。许多平时不大习惯用方程解法的学生不得不用方程，虽然教材教过用方程解法，但多数学生平时还是较为少用的，而且教材中方程解法的步数较少。此时，派上用场有点“临阵拿枪”的感觉，怎么用都不称心，毕竟有两个不同单位“1”的量。全班42人只有6位同学能正确作答，其中有两位用转化，把余下的

22转化成是全长的，有两位用方程解法，另一位用算术解法。可见，多数学生面临910新问题时，分析能力的高低立见，分析能力好的学生能想到画线段图，帮忙理解题意，方程解法顺势而下，而用算术解法只能偶尔为之。◆教学建议

面对这样的问题，只能以循序渐进的原则，先以一般题型过渡到一般变式题型再到特殊题型，加强学生对问题中已知量与末知量之间的联系，区分数量关系之间的变化对解题的步数的影响，掌握一般的问题分析与解决的方法与技巧。如上题中，可以先出现下面前两个题目，再出现第三个题目：

一般题型：①幸福村要修一条路，第一天修了全长的10%，第二天修了全长的20%，这时还剩210米没修，这条路长多少米？

一般变式题型：②幸福村要修一条路，第一天修了全长的10%，第二天修了余下的

2，这时还剩210米没修，这条路长多少米？9特殊题型：③幸福村要修一条路，第一天修了全长的10%，第二天修了余下的多10米，这时还剩200米没修，这条路长多少米？

2还9通过作图、观察、比较、分析等一系列数学活动，学生不难发现一般题型与一般变式题型和特殊题型之间，由于第二个已知条件的改变，对问题解决的影响，但他们之间解决问题的思路是完全一样的，加深学生对已知量与末知量之间的联系，掌握数学“转化”的思想方法，明白解决问题形式的多样性，以及由易及难、浅入浅出，由表及里的解决问题的策略。

六年级下册典型错例

采集样本48人

错误率

46%

采集者题

基本型

采集学校时

课时机

***课型

新授课

错题来源第六单元

题目出处单元检测卷

一个数是另一个数的百分之几

知识属性陈述性知识相关知识教学简述

综合拓展√程序性知识

单元总复习√

练习

√

课复习课

策略性知识

√学生已在六上年级学习过一个数是另一个数的百分之几的实际问题，这是六下年级进行的一道相关知识点的拓展题。

◆典型错题：

错题：甲数是乙数的40%（甲数≠乙数），乙数是甲数的（）%。错解：甲数是乙数的40%（甲数≠乙数），乙数是甲数的（40）%。◆原因分析

1、单位“1”是甲数还是乙数，学生不清楚，也不知道解决这类问题的一般方法是什么，而是胡乱地写个数据。

2、该题不仅牵涉到“一个数是另一个数的百分之几”的知识点，出错还有一个最主要的原因就是，甲数和乙数分别是多少，学生不清楚，按照他们以前掌握的方法也就不能解决这个问题了。◆教学建议

1、一个数是另一个数的百分之几的解决方法需要进行复习，即用一个数除以另一个数再乘100%。

2、单位“1”的理解还需再到位.3、进行一些针对性的练习。◆资源链接

甲数是乙数的40%（甲数≠乙数），那么甲数：乙数=（）：（）。

六年级下册典型错例

采集样本50人错题来源练习题

题目出处第五单元百分数相关知识百分数的意义

错误率

28%

采集者基本题

型综合√拓展

采集学校课时时

机单元总复

***

新授课练习课复习

课型√

√知识属性陈述性知识教学简述

程序性知识

习√课

策略性知识

这是学生对百分数已有了比较完整的认识后对学生进行的一次练习。

◆典型错题

错题：一件商品先提价10%,后又降价10%，这件商品的价格比原价（）（填高、底、不变）

错解：填“不变”。◆原因分析

学生更多的是用想当然去做的，而没有对单位“1”的改变做出正确的判断。◆教学建议

不妨让学生用假设法去尝试一下，先可假设这件商品的原价为100元，则提价10%

后变为110

元，又降价10%是降110元的10%，即降价11元，则110－11＝99元。◆资源链接

对比练习：

一件商品先降价10%,后又提价10%，这件商品的价格比原价（）。

对于这种类型的题，我们就让学生从实际练习中理解与掌握先提后降与先降后提的结果是一样的都是比原价低的，而且我们还可引导学生得出这样一个规律：提降10%后，最后的现价比原价降低了10%2，即比原价降低1%，同理，若提降20%，则现价比原价降低4%。

六年级下册典型错例

采集样本50人错题来源试卷题目出处总复习相关知识分数乘法知识属性

陈述性知识

错误率

38%

采集者基本

采集学校课时

***

新授课

题时课练习综合单元型机型课

总复复习

拓展√√

习课

策略性知

程序性知识√

识

√教学简述

有很多学生本来对乘法分配律的掌握不够轧实，当碰到此类题时很容易将51和17分开分配。

◆典型错题

错题：（Error!－Error!）×17×51

错解：

原式＝Error!×17－Error!×51＝1－1＝0◆原因分析

教师方面：对乘法分配律的知识教学过于简单，缺少变式练习；

学生方面：对乘法分配律的知识理解不到位。

◆教学建议

让学生把17×51看作一个整体来计算，但不提倡计算出17×51的值，毕竞对于17×51的计算是要列竖式的，：

（Error!－Error!）×17×51

＝Error!×17×51－Error!×17×51＝51－17＝34

通过这种方法能让学生体会到4×5是一个整体。

六年级下册典型错例

采集样本52错题来源总复习题目出处课堂作业第41页空间与图形，百分数应用题

知识属性陈述性知识相关知识教学简述

错误率

92．31%

采集者基本题

综合√型

***

采集学校课时

***

新授课课练习型课

复习

√

课

策略性知识

时

单元机

总复

拓展

习

程序性知识√

√学生已经认识了圆与正方形，能正确计算两者的面积。已经学过了用

百分数解决问题，能正确求一个数是另一个数的百分之几。

◆典型错题

错题：在一个正方形里面画一个最大的圆，该圆的面积大约是正方形面积的（）%。在一个圆里画一个最大的正方形，这个正方形的面积大约是圆面积的（）%

错解：学生无从下手，答案五花八门，没几个相同的。

◆原因分析：

学生：一看到这题脑子一片空白，不会做，所以乱写了一个。

对于我们班大部分同学来说，这题材确实有难度。他们独立分析、解决问题的能力比较弱。因此有的乱写一个，应付一下，有的干脆空着。◆教学建议

在一个正方形里面画一个最大的圆，请学生画图，找找正方形与圆有什么相同的地方。明确圆的直径与正方形的边长是一样的。既然是一样的都可以设为a,圆面积就

a是∏（）2

2a正方形面积就是a2, 圆的面积大约是正方形面积的（）%,就是∏（）2÷a2=

2≈78.5%4在一个圆里画一个最大的正方形，请学生画图，找找正方形与圆有什么相同的地方。明确圆的直径与正方形的对角线是一样的,那么圆的半径与正方形对角线的一半是一样的。圆面积：∏r2,正方形面积，2r×r=2 r2。正方形的面积大约是圆面积的（）%就是（2 r2）÷（∏r2）=2÷∏≈63.7%

六年级下册典型错例

采集样本48

错误率

22.92%

采集者基本题

综合√型拓展程序性知识

卢军

采集学校课时时

单元机

总复习

***

新授课课练习型课

复习

√

课

策略性知识

错题来源六年级总复习题目出处模拟试卷相关知识小数除法知识属性陈述性知识

√√此类问题为历年毕业试卷常规考题，但学生的得分率不高，分析时学

教学简述生发现很简单，但真正独立解决时常常是束手无策，是否可以寻求不同

的解题策略而得到较好的效果。◆典型错题

错题：拖拉机耕地，3.6小时耕地9公顷，每小时耕地（）公顷；耕地1公顷需要（）小时。

错解：（0.4）公顷思路3.6÷9=0.4公顷（ 2.5）小时思路 9÷3.6=2.5小时◆原因分析

1.教师层面：分析指导不符合学生胃口①平时常这样引导学生，最后单位是公顷所以把公顷的数据放在被除数位置，9公顷除以3.6小时；最后单位是小时，所以把时间放在被除数的位置，3.6小时除以9公顷。②看到是每小时，所以把时间放在除数的位置；看到每公顷，所以把几公顷放除数位置。

2.学生对此类题目，听的时候懂，但其实没有真正理解，很多学生只停留在个人经验上面，或者对老师的解释一知半解，缺乏真正解决问题的合适策略。◆教学建议

合理地利用比例的知识，更符合学生的解题思路和策略选择，每或1小时，怎么把3.6小时变为每或1小时，学生很容易接受，3.6÷3.6=1小时，那么9公顷怎么变化？9÷3.6=2.5公顷。用此思路，据教师了解，发现学生容易理解，而且也更喜欢选择此方法解决此类问题。◆资源链接

正比例的基本知识，比例的前项和后项同时除以相同的数（非0正数），比值不变。

六年级下册典型错例

采集样本48错题来源

错误率

35.42%

采集者基本题

综合√型

卢军

采集学校课时

***

新授课课练习型课

复习

√

课

策略性知识

总复习

题目出处《数学知识大全》相关知识数与代数（分数应用题）知识属性陈述性知识教学简述

时

单元机

总复

拓展

习

程序性知识√

√此题为六年级总复习内容，旨在考查学生对于分数的实质理解，及在

解决问题中对于多余干扰条件的有效筛选能力。

◆典型错题

错题：《知识大全》一根长还剩下全长的几分之几没有修?

错解： ◆原因分析

912米的铁丝，第一次剪去它的,第二次剪去它的,101059122- - = 1010551．学生层面：①访谈了解到，有部分学生只是读题数据，对数据没有进行有效的筛选。②有一部分学生对具体的分数数量与对单位“1”而言的分数区分意识不足。③学生擅长于从条件出发的综合法法解题，较忽略问题的实质。④学生的读题仔细程度有待于提高。

2．教师层面：①对于高年级的应用题教学，教师缺少必要的分析法解题策略培养，造成学生解决问题的目标性不足。②教师淡薄对高年级学生的数学读题能力和习惯的训练。◆教学建议

1.在高段学生中进行常规性的读题能力和习惯的训练。

2.训练学生对多余干扰条件的有效筛选能力，可使用一些数据较为简单的存在多余条件的题组进行训练，让学生深切感受到解决问题中存在多余条件，需要进行必要的筛选。

3.训练用分析法解决问题的技能，教师可进行专项分析法解决问题的课，从问题出发，需要寻找何种数学信息，更具有目标性。

4.区分具体的分数数量和对单位“1”而言的分数，让生明白这两者之间的真正区别。◆资源链接

分数的意义

六年级下册典型错例

采集样本50人错题来源总复习题目出处《同步练习》

错误

率

42%

采集者题型基本综合√

***

时机

采集学校课时单元

***课型

新授课练习课

√相关知识行程问题的数学问题知识属性陈述性知识

拓展程序性知识

总复习√复习课

策略性知识√

教学简述学生掌握了行程问题的相应的数量关系，并能解决相关的数学问题。

◆典型错题

错题：六（1）班同学从学校出发，骑自行车到相距18千米的公园郊游，去时平均每小时行15千米，返回学校时平均每小时行10千米，他们往返的平均速度是多少？

错解：（15+10）÷2=12.5（千米/小时）◆原因分析

小学生由于对求平均速度题目中的数量关系认识不清,又受求平均数的思维定势的影响,因此在求往返平均速度时，学生会求出两个速度的平均数，认为就是往返的平均速度。而问题求的是往返一次的平均速度，两个是不同的概念，学生很容易混淆。◆教学建议

1、帮助学生理解平均速度的含义：平均速度=总路程÷总时间，加强行程问题中数量关系的理解与解决实际问题时数量关系的应用。。

2、处理教材时，可以先解决像这类已知路程求平均速度的数学问题，再解决不知路程求平均速度的数学问题。

①平均速度=总路程÷总时间，引导学生理解总路程=单次路程×2，总时间=去时的时间+回时的时间。

尝试解决这类不知道路程求平均速度的问题。方法：以实带虚，假设路程◆资源链接

（1）已知路程求平均速度

甲乙两地相距156千米，一辆汽车从甲地出发下坡而行，5.2小时到达乙地。又从乙地沿原路上坡返回甲地，比去时多用2.6小时，求这辆汽车往返的平均速度。

（2）未知路程求平均速度

小强爬山，上山的速度是每小时2千米，到达山顶后立即下山，下山的速度是每小时6千米。小强上、下山的平均速度是多少？

六年级下册典型错例

错误率

错题来源第六单元采集样本48人

36%

采集者

采集学校时课时

***课

新授

题基本√

题目出处相关知识知识属性教学简述

课练习

数学课本P88综合单元

型机型课

总复复习

常见的量拓展√√习课

陈述性知识√程序性知识策略性知识

在复习常见的量时，我与学生已一起复习了小学阶段出现的常见的量，沟通了长度单位、时间单位、面积单位等之间的进率，重点复习了单名数与复名数之间的转化。

◆典型错题：

错题：2.4时=（）时（）分错解1：2.4时=（2）时(4)分

1错解2：2.4时=（2）时 ()分

15◆原因分析

1、错解1，学生不知道时间单位的进率，只简单地把原题中的数据进行了拆分。2、错解2，学生把“（）时（）分”理解成了“（）时（）时”。◆教学建议

1、要让学生牢记时间单位间的进率。

2、要教给学生单名数与复名数之间单位转化的一般方法。3、进行有针对性的练习。◆资源链接

3小时50分=（）小时

2.04平方米=（）平方米（）平方分米

六年级下册典型错例

采集样本48错题来源总复习题目出处课堂作业本相关知识

错误率

31.25%

采集者基本题

综合√型

卢军

采集学校课时时

单元机

总复习

***

新授课课练习型课

复习

√

课

策略性知识

年月日（经过时间的计算

拓展

）

知识属性陈述性知识√程序性知识

√64

教学简述

此习题，旨在考查学生对于年月日知识的掌握情况和对经过时间的计算能力。

◆典型错题

错题：一部电视剧从7月24日开始在某电视台播放，每晚2集，到8月5日全部播放。这部电视剧一共有（）集。

错解：31-24+5=12（天） 12×2=24（集）◆原因分析

1.教材层面：此内容实为人教版小学数学三年级知识，教材中也缺少此类的练习。

2.教师层面：缺乏必要的指导，只让学生凭经验在进行解答。3.学生层面：解决策略方法不足，解决问题时的要点细节模糊不清。◆教学建议

1.解决问题抓要点：①“开始的24日算不算？” ②“31-24”表示什么？③怎么办？31-24+1

2.解决策略方法的多样性指导，“针对7月份需要播放几天？”①因数据小可以让学生通过数数的方法得到，当然不提倡，旨在验证31-24 +1

②24日这一天需要计算，也相当于24日前7月份已经过了23天，所以31-23=8天就为7月份里播放的天数。◆资源链接

区分意识的培养：学生要能合理判断开始之日需不需要计算。

题组：①电影节从6月15日开始，7月6日结束，一共举行了（）天。②电影节开始时间为6月15日星期三，结束时间为7月6日，那一天为星期（）。

六年级下册典型错例

采集样本52错题来源总复习题目出处练习试题

错误率

23.08%

采集者题型

***

时机

采集学校课时单元

***课型

新授课练习课

基本√综合

相关知识量与计量知识属性陈述性知识教学简述

拓展程序性知识

总复习

复习课

策略性知识√

√√此题是分块复习结束之后，进行综合复习过程中，学生在综合练习中出现的。对量与计量已经进行过疏理。

◆典型错题

错题：用你的数学书( )本拼起来封面面积接近1平方米.A、100本 B、32本 C、12本D、2本

错解：①A ②C

◆原因分析：

选择A的同学：1平方米有点大，我想书的本数也应该有点多，所以选了100本。选择C的同学：我不知道怎么做想想100本、32本太多了所以选了12本。

①显然学生在头脑中没有1平方米、1平方分米的清晰表象。因此估计面积大小的能力比较弱。

②不能通过有效地计算来解决此类问题。教学建议

重温1平方米有多大，1平方分米等计量单位有多大，找找生活中的现实原型。适当做些生活估计。

估计数学课本的封面有多大，（长20厘米，宽15厘米）约3平方分米。1平方米=100平方分米，100除以3大约是33。与32本比较接近。

数学课本封面长20厘米，宽15厘米。1平方米的面积内，平铺数学课本，长可放5本，宽约可放7本，5乘7等于35本，与32本比较接近。◆资源链接

谈如何促进学生空间观念的形成

空间观念作为数学学习的内容在课程标准中被明确提出,足以说明在数学教学活动中,让学生建立空间观念,是新理念下数学教学活动的一项重要内容,也是学生应具备的基本数学素质。那么,如何在教学中培养学生的空间观念呢?我认为注重以下几点,可以大大提高学生空间观念的形成和空间能力的培养。　　一、从生活中丰富空间与图形的经验　　

学生的空间知识来自丰富的现实原型,与现实生活关系非常密切,这是他们理解和发展空间的宝贵资源。培养空间观念要将视野拓宽到生活空间,充分利用学生生活中的事物,引导学生探索图形的特征,丰富空间与图形的经验,建立初步的空间观念。如:认识体积单位时,在学生认识了1立方米、1立方分米、1立方厘米的基础上,可引导学生从自己的现实生活中去寻找1立方米、1立方分米、1立方厘米的实际大小,并让学生适当做些生活估计,如一个拳头、一间教室的体积约是多少,从而实现形与物的结合。从学生的生活经验出发,引导学生把生活中对图形的感受与空间存在的几何图形建立联系,培养了初步的空间观念。

　　二、在画图中形成空间表象

小学生的思维正处于直观形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段,他们对几何图形的认识主要先依赖于观察、实验和必要的动手操作,再通过心理活动的内化去获得表象,然后掌握几何图形的特征,形成空间观念。因此,教学生学习几何知识时,首先要从具体事物的感知出发,在他们获得清晰深刻的表象后,再渐渐抽象出几何形体的特征,通过实际画图,引导他们理解并形成正确的空间观念。在画图过程中,既加深了学生对概念的理解,形成了表象,又进一步发展了学生的空间观念。　　三、在操作中感知,以形成清晰、正确的表象　　

皮亚杰说,空间观念的形成不像拍照,要想建立空间观念,必须有动手做的过程。这个做的过程,不仅是一个实践的过程,更是尝试、想象、推理、验证、思考的过程,只有在这样的过程中,学生才能把握概念的本质,建立空间观念。　　

学生认识各种几何形体的特征,理解各图形的面积,体积计算公式的来源,都需要借助于直观演示,动手操作等感知活动来完成。在长方体的教学中,我按照儿童认识事物的规律,引导学生用各种感官,参与观察、动手操作等感知活动,帮助学生形成长方体的表象,得到正确、清晰的概念。先引导学生观察粉笔盒、三角柜、篮球等,说明这些物体的形状是立体图形,并出示长方形、正方形、三角形等一些平面图形,使学生从直观上初步了解平面图形与立体图形的不同,初步建立空间概念。然后让学生拿出自已准备的长方体,让学生先摸一摸长方体的面,有规律地边摸边数看看长方体有几个面,同时观察每个面是什么形状,哪些面是完全相同的,有几组相对的面,相对的面大小有什么关系?在学生操作的同时,教师再结合进行演示,出示涂有三种不同颜色的长方体,将三组相对的面一一揭示下来,贴在黑板上,帮助学生更好地认识长方体面的特征。同样在认识“棱”的特征时,也让学生摸一摸,有顺序数一数,量一量棱的长度,再看一看哪些是相等的?教师出示涂有不同颜色的长方体框架,让学生动手量一量相对棱的长度,使他们明白相对棱的关系。同时通过量一量,再来算一算每个面的面积的大小。通过这些操作,加深学生对长方体特征的认识,使学生不断认识、了解、把握了实物与相应图形的相互转换关系,空间观念就会不断地发生并渐渐形成。　四、在观察中比较、想象,培养空间观念　　

想象是学生依靠大量感性材料而进行的一种高级的思维活动,在几何知识教学过程中,要培养学生按照一定目的,有顺序,有重点地去观察,在反复的观察的基础上,让学生展开丰富的空间想象。如在讲圆锥体时,圆锥的高学生看不见,摸不着,较难掌握,教师就要用模型演示,并进行实际操作,让学生细致观察,从而帮助学生形成表象。抽象出圆锥这一概念,教师可以用圆锥教具沿底面圆直径到圆锥顶点切开,让学生观察到切开后横截面是一个等腰三角形,它的底边正好是圆锥底面圆的直径,从圆锥顶点到底面圆心距离就是圆锥的高,还可以在黑板上画一草图标出圆锥的高,这样抽象的概念形象、具体了,便于学生理解,空间想象力就会初步形成。

六年级下册典型错例

采集样本54人

错误率

41%

采集者基本题

综合√型拓展√程序性知识

采集学校课时时

单元机

总复习

越城区***新授课课练习型课

复习

√

课

策略性知识

错题来源第六单元题目出处作业本相关知识常见的量知识属性陈述性知识

√在复习“常见的量”时，我和学生一起系统整理了常见的量以及进率

教学简述，在此基础上沟通了长度单位、面积单位和体积单位之间的联系。重点

复习了单名数与复名数之间的转化。◆典型错题

错题：2.05dm3=( )L=（）ml错解：2.05dm3=( 2 )L=（ 50 ）ml◆原因分析

通过访谈，学生都说没有看清题目，把“2.05dm3=( )L=（）ml”误看成“2.05dm3=( )L（

）ml”，所以出错。确实，在批改时，我只在“2.05dm3=( )L=（）ml”下画了一条横线，这些学生马上恍然大悟，一次订正通过。◆教学建议

对比分析，明晰区别。具体方法是：

1.让学生仔细观察，说说 “2.05dm3=( )L=（）ml”与“2.05dm3=( )L（）ml”这两题之间的区别。2.说说每一题所表示的意义。3.填一填。

4.这个错例给你什么启发？在今后碰到类似问题时，你想提醒同学们注意些什么？◆资源链接填空：

2小时45分=（）小时

3050千克=（）吨=（）吨（）千克2.04平方米=（）平方米（）平方分米

六年级下册典型错例

采集样本48人

错误率

41%

采集者

采集学校课时

***

新授课课练习型课

复习

√

课

策略性知识

错题来源第三单元比例题目出处期末总复习卷相关知识比例的应用知识属性陈述性知识教学简述

基本√题

综合型

时

单元机

总复

拓展

习

程序性知识√

√学生已在前期的学习中学会了用比例的知识解决实际问题，这道题

是期末总复习中第一次出现“用比例的方法解决问题”。

◆典型错题：

错题：工程队修一条路，开工4天修了120米，剩下630米。照这样的速度，剩下的路程需要修几天？（用比例方法解决问题）

错解1：630÷（120÷4）

=630÷30=21（天）

错解2：解：设剩下的路程需要修X天。

4:120=X：630

◆原因分析

我们发现，该题的难度其实并不大，但因为学完“比例的应用”这部分的内容已过去相当一段时间，学生遗忘得较快。细细分析，犯错的原因有以下几点：

1、学生维度

（1）错误一，明显地是审题不清，没有看清题目的要求是“用比例方法解决问题”。

（2）对于“用比例解决问题”的实质没有很好地掌握，看到数据胡乱列个比例，但究竟里面的数量关系是什么却不去多做思考。

2、教师的维度

在复习阶段少强调“用比例解决问题”的方法。◆教学建议

1、针对第一种错误，当然其实这并不能算是一种严格意义上的错误，至少这类学生能够用“归一”的方法来解决问题，也就是他们是理解题目的意思的，只是没有按照题目的要求来解题。应向学生强调解决问题之前应看清题目的要求，也就是要学会审题。

2、用比例知识解答正、反比例的问题的关键是使学生能够正确找出两种相关联的量，判断他们成哪种比例，然后根据正比例或反比例的意义列出方程。可以先给出一些数量关系，让学生判断成什么比例，依据什么判断的。对于这类问题，可以问几个问题：问题中有哪两种量？它们成什么比例关系？你是根据什么判断的？根据这样的比例关系，该怎样列比例？

◆资源链接

用比例方法解决以下问题：

1、工程队修一条公路，计划平均每天修0.25千米，6天可以修完，实际只用了4天修完这条公路，实际平均每天修路多少千米？

2、同学们做操，每行站15人，正好站12行。如果每行站9人，可以站多少行？

六年级下册典型错例

错误采集

采集样本31人采集者48.39%**学校***率

新授

错题来源总复习基本课时

课

题时课练习

题目出处总复习练习卷综合√单元

型机型课

总复复习

相关知识圆锥比例拓展√√习课

知识属性陈述性知识程序性知识√策略性知识教学简述这是学生在期末复习试卷上的题目，学生已经学了比例和圆锥的知识。

◆典型错题

错题：圆锥的体积一定，它的底面积和高成反比例。（）

11错解：错。因为圆锥的体积计算公式是VSh，虽然V一定了，但是还差，从

33而VSh，所以它的底面积和高不成反比例。◆原因分析

11．对反比例的定义理解不透彻。学生从体积公式出发，由VSh联想到

33VSh，但是他只是考虑了圆锥体积的V和Sh是否相等，而没有从反比例的定义角度去判断思考。

2．教师在教学时，只注重了概念的表象教学，如正比例强调了两种量的比值一定，反比例强调了乘积一定。◆教学建议

1．在教学比例的定义时，不要按照“部分——部分——整体”的思想去教学学生，而

部分应从“整体部分整体”的教学思想，这样可以使学生从整体上把握所学的知识，70

也使学生加深在正反比例意义的相互迁移、比照中强化对概念本质的理解，实现有意义的学习。

12．根据圆锥体积计算公式：VSh，我们可以得到3VSh。因为V一定，所

3以3V的值也是一定的，从而得到Sh的乘积是一定的。由此，我们根据反比例的定义，可以判断：当圆锥的体积一定时，它的底面积和高是成反比例。

3．要加强类似的变式练习。◆资源链接

1．圆面积与圆半径成（）比例；圆面积与圆半径的平方成（）比例。2．课本的数量与课本的总价成（）比例。3．5x=7y，x和y成（）比例；

6y ，x和y成（）比例。

x74．当两个比例的两个内项确定时，比例的两个外项成（）比例。5．如果a和b成正比例，那么2a与b成（）比例。6．两个相等的量成（）比例。

7．分数的大小一定，分数的分子与分母成（）比例。

六年级下册典型错例

采集样本52错题来源总复习题目出处练习试题相关知识正反比例知识属性陈述性知识

错误率

53．85%

采集者

***

采集学校课时时

单元机

总复习

***

新授课课练习型课

复习

√

课

策略性知识

基本√题

综合型拓展√程序性知识

√此题是分块复习结束之后，进行综合复习过程中，学生在综合练习中

教学简述出现的。学生已经知道了正、反比例的定义，能够正确地判断两相量是

否成正、反比例。◆典型错题

错题：判断:圆的周长一定，圆的直径和圆周率成反比例。（）错解：圆的周长一定，圆的直径和圆周率成反比例。（ √ ）◆原因分析：

C=2∏r，圆的周长一定，圆的直径和圆周率成反比例。

在正反比例的判断中，要求学生关注乘积一定还是比值一定，忽视了两个变量这一前提。学生C=2∏r，一看乘积一定第一反应就成反比例。◆教学建议

重温正比例、反比例的定义。你觉得“C=2∏r，圆的周长一定，圆的直径和圆周率成反比例”。错在哪里？

圆的周长一定，∏一定，C=2∏r，r也一定。不存在一个量随着另一个量的变化而变化。所以不成比例。

你觉得以后在判断是否成正反比例过程中，该提醒注意什么？◆资源链接

判断成不成比例，如果成比例，指出成什么比例：4X—5Y=0，（X、Y不等于0），X和Y。（）梯形的高一定，上底和下底的平均数与面积。（）口算比赛的时间一定，做的总题数与每分钟做的题数。（）

六年级下册典型错例

采集样本51错题来源总复习

错误率

25.5%

采集者基本

采集学校课时

***

新授课

题时课练习

题目出处模拟试卷综合√单元

型机型课

总复复习

相关知识比例拓展√√

习课

知识属性陈述性知识程序性知识策略性知识√

这是一例非常典型的习题，不管是在新授、练习阶段，还是在总复习

教学简述整理阶段，这类题目，学生做了错，错了改，改了还错，在模拟考试中错

误率仍达25.5%，令人深思。

◆典型错题

错题：一间教室用边长0.4米的正方形砖铺地，需要300块，如果改用边长0.6米的正方形砖铺地，需要多少块？（用比例解）

错解：

（1）解：设需要x块。0.6×x=0.4×300 （2）0.4×0.4×300÷0.6

（3）0.4×0.4=0.16 0.6×0.6=0.36 解：设需要x块。 0.6×x=0.4×300◆原因分析

1、从学生经验的角度分析，缺乏类似的生活经验是主要原因。学生没有实际的铺地经验和空间观念，他们无法看到藏在这些静态数字背后的铺地方法，所以犯错和错了还错也是在所难免，情有可原。

2、从数学方法的角度分析，用比例解题时，学生没有深入分析有关信息，确定“一定的量”和“相关联的量”及它们之间的关系。这里，一定的量是一间教室的面积，教室的面积=每块方砖的面积×需要的块数，而不是教室的面积=每块方砖的边长×需要的块数。

3、从教师教学的角度分析，教师仍没有掌握更为有效的教学手段和突破方法，错误率得不到有效控制。◆教学建议

1、利用小方块或方纸片，组织学生进行模拟铺地活动，沟通总面积与每块方砖边长之间的关系，促进直观理解，从而深刻认识用边长铺地的错误。

2、教室的面积=每块方砖的面积×需要的块数

教室的面积=每块方砖的边长×需要的块数

对以上两个关系式，要组织学生深入辨析，从而明辨是非，深刻掌握正确的解

题方法。

3、对于错解3，让学生自己说说“做表面文章”的危害性，加强解题过程回头看的习惯教育。◆资源链接教学片断：

一、解读习题：

一间教室用边长0.4米的正方形砖铺地，需要300块，如果改用边长0.6米的正方形砖铺地，需要多少块？（用比例解）

请独立审题，说说解题时你有什么要提醒大家？

1、用比例解，不要用一般的算术方法解。

2、要注意这里是边长，要先求出每块方砖的面积。

3、这里是教室的面积一定，所以每块方砖的面积与块数成反比例。…… 二、解决习题：

请参考刚才同学们讨论的意见，独立在练习纸上解决。反馈讨论：特别是错解的呈现和个性的反思。三、解答问题：

一个客厅用面积16平方分米的正方形砖铺，需要180块，如果改用边长6分米的正方形砖铺地，需要多少块？（用比例解）

六年级下册典型错例

错误采集

采集样本48采集者卢军45.83%学校***率

新授

错题来源六年级总复习基本课时

课

题时课练习

题目出处模拟卷综合√单元

型机型课

总复复习

相关知识反比例知识和生活常识拓展√√习课

知识属性陈述性知识教学简述

程序性知识√策略性知识

此题重在考查学生是否能判断正（反）比例，并合理利用比例解决实际问题，但解答结果中暴露出学生所缺乏的是对生活经验的把握。

◆典型错题

错题：一个客厅如果用边长为4分米的方砖铺需要87.5块，如果用边长为5分米的方砖，那需要多少块呢？（用比例的知识解）

错解：解设需要X块。5X=4×87.5 X=7O◆原因分析

1.学生层面：学生虽能合理选择反比例解决问题，但忽略了生活实际，学生对于一些生活实际缺乏实质的理解。

2.教师层面：在平时教学中重文字的解释与引导，缺少让学生的真正操作和演示。◆教学建议

我们需要更加关注学生对生活经验的把握，对实际生活问题的实质追寻，这就需要我们平时在教学中需要设计更多的学生体验生活环节，多让学生操作、体验、感受生活中的问题真谛，而不是一味的使用文字解释来让学生生硬地解决实际问题。对于此题可让学生根据算式进行操作，错解算式的演示操作，学生可能会哄堂大笑，错误的孩子会体会到铺客厅真正的应该是面积，多进行此类操作，孩子会在内心深处萌生生活问题需要结合实际去解决的理念，而不会再盲目地进行。

六年级下册典型错例

采集样本

错误率

57%

采集者

采集学校课时时

单元机

总复习

***

新授课课练习型课

复习

√

课

策略性知识

错题来源第六单元题目出处课堂作业本相关知识比和比例知识属性陈述性知识

基本√题

综合型拓展程序性知识

√√这是进行“比和比例”总复习时配套《作业本》中的一题，学生之前

教学简述也多次解决过类似的问题，每次错误率都比较高，说明部分学生还是没

有真正理解，当然也没有形成解决这类问题的能力。

◆典型错题：

11错题：甲数的等于乙数的，甲、乙两数的比是（）。

34111错解：4：3。第一种想法是甲：乙=：=4：3，第二种想法是（×12）：（

3431×12）=4：3。4◆原因分析：

1.学生没有真正理解。从学生的错误率和两种典型错误想法看部分学生是没有真

11正理解这类问题，都把甲数与乙数分别错误地理解为和。更多的学生可能是不会

34分析这类问题，于是作了简单地处理，有点“蒙”的味道。

2.教学设计还欠加强。或许是教师已经认识到这类问题的特别之处，但是在引导过程中更多的是就题论题，以至于大部分学生还是没有真正理解这类问题的本质。或许是教师已经引起足够的重视，但是没有设计安排足够的练习量帮助学生真正理解掌握。

◆教学建议：

11.引导要到位。教师首先要强调面对这类问题先要列出等式，即甲数×=乙数×

3111，然后可以用两种方法进行解答：一是把甲数×=乙数×=1，算出甲数=3、乙数43411=4，甲、乙两数的比是4：3。二是根据比例的基本性质得出甲数：乙数=: =4:3。

432.数量要足够。部分学生出现错误的原因主要是因为这类问题本身比较难，再加上类似的练习量少，导致没有形成这方面的能力。教师应该在适当的时候多设计这类问题，让学生达成“熟能生巧”的目的。资源链接：

111.出示：甲数的等于乙数的，甲、乙两数的比是（）。

342.引导：你能用一个等式表示题意吗？

113.尝试：你能根据甲数×=乙数×求出甲数和乙数的比吗？

344.交流：你是怎么想的？还可以怎么想？5.小结：解决这类问题怎么想比较好？……

六年级下册典型错例

错误42

率

错题来源第六单元采集样本

57%

采集者

采集学校时课时

课

***新授

题基本√

题目出处课堂作业本

相关知识用比例的方法解决问题知识属性陈述性知识

型

综合拓展程序性知识

机

单元总复习

课练习型课

复习

√

课

策略性知识

√√这是“用比例的方法解决问题”中比较难的一类题，学生面对这类“

教学简述

不标准”问题时很难想到可以用正比例的方法解决问题，有的虽然想到了但由于问题本身比较难理解而且解答过程相对有点繁琐也会出现一些问题。

◆典型错题：

错题：在10千米赛跑中，假设甲乙丙三人的速度保持不变，当甲到达终点时，乙还距终点2千米，丙还距终点4千米。当乙到达终点时，丙还距终点多少千米？

错解：10：8=2：x，x=8×2÷10=1.6，4-1.6=2.4千米。◆原因分析：

1.学生理解错误。甲、乙、丙的速度比是10：8：6，很显然乙与丙的速度比是8：6，而且这个比始终保持不变的。因为乙车再行2千米到达了终点，学生错误地认为丙同时也能行2千米，于是出现了乙与丙的速度比=10：8的情况。

2.教师缺少指导。为什么学生会错误理解乙与丙的速度比=10：8？就是因为教师缺少相应的指导，没有引导学生思考乙与丙的速度比是多少？没有引导学生思考乙再行2千米丙能行多少？真是因为教师缺少指导，学生面对本身较难的问题时出现错误实属正常。◆教学建议：

设计要到位。因为题目本身比较难，教师应在学生尝试练习前作适当应该：这里是什么保持不变？乙与丙的速度比是多少？乙行10千米丙能行多少？丙还剩多少？或者可以在解决这个问题之类安排一题类型相似但是相对比较简单的问题，如：在10千米赛跑中，甲行8千米、乙行6千米，甲行到达终点时乙行了多少千米？◆资源链接：

1.尝试练习：在10千米赛跑中，甲行8千米、乙行6千米，甲行到达终点时乙行了多少千米？

2.尝试练习：在10千米赛跑中，甲行8千米、乙行6千米，甲行到达终点时乙还剩多少千米？

3.尝试练习：在10千米赛跑中，假设甲乙丙三人的速度保持不变，当甲到达终点时，乙还距终点2千米，丙还距终点4千米。当乙到达终点时，丙还距终点多少千米？

4.对比小结：这三题有什么相同点？解决这类问题要注意什么？……

六年级下册典型错例

采集样本53

错误率

98%

采集者基本题

综合型

拓展√程序性知识

采集学校课时时

单元机

总复习

***

新授课课练习型课

复习

√

课

策略性知识

错题来源复习与整理题目出处课堂作业本相关知识面积计算知识属性陈述性知识教学简述

√√练习此题时已在总复习单元中空间与图形相关知识复习以后，在课堂作业本上出现的一道习题。学生之前也练习过类似的题目。

◆典型错题

错题：为庆祝元旦，三（1）班同学做小红旗（如图）。现在有一张长1.4米、宽0.9米的长方形卡纸，最多可以做这样的小红旗多少面？错解1： 63个错解2：56个 ◆原因分析

1．第一种错误显然学生用了长方形的面积除以三角形的面积，没有考虑到数学问题和生活实际问题的区别。

2．第二种错误是显然是错误率高的惊人，显然我们大多数老师都可能不会发现这个错误。因为我们在分析是注意了把两个三角形拼成边长为2的正方形，而想到4个这样的三角形还可以拼成一边长约为3的正方形。

3.从教材的角度来说，4个这样的三角形还可以拼成一边长约为3的正方形需要勾股定理来验证，有一定的难度。◆教学建议

1.帮助学生理解生活实际问题要考虑能不能剪拼，如果边长刚刚不是整倍数时，会有多余，除面积问题外，还有包装问题等也是相同的道理

2.结合图示法进行分析，按学生现有的理解水平右上图是56个，右下图最多可以拼60个。◆资源链接

1．

估一估如右下图中由4个腰为3的等腰直角三角形组成的正方形的边长约是多少？

六年级下册典型错例

采集样本４2

错误率

38.9 %

采集者基本题

综合型

拓展√程序性知识

采集学校课时时

单元机

总复习

***

新授课课练习√

型课

复习课

策略性知识

错题来源第六单元题目出处作业本相关知识总复习知识属性陈述性知识

√√此类题目学生一贯的解题方法是大面积除以小面积，却没有考虑到

教学简述长或宽在剪的时候会多余或不够的情况，缺少与实际生活的经验和数形

结合的数学思想方法的能力。◆典型错题

错题：为庆祝元旦，三（1）班同学做小红旗（如图）。现在有一张长1.4米、宽0.9米的长方形卡纸，最多可以做这样的小红旗多少面？

错解: ①1.4×0.9÷(2×2÷2) ②14×9÷(2×2÷2) 正解:14÷2=7（个） 9÷2=4(个)…1(分米) 7×4×2=56(面)

◆原因分析　两种错误的主要原因是

1．学生凭借以往的学习经验来判断此类题目的解题方法，即大面积除以小面积，采用了1.4×0.9÷[2×2÷2]＝63（面），却没有考虑到原来宽边分过去会余下1分米，不能正好剪一个三角形小旗，只能浪费了这一实际存在的问题，同时也与学生实际生活经验欠缺有关，没有将数学与生活实际结合起来，一味地用数学方法来解决问题。

2．数形结合能力欠缺。一方面不会通过画图解决问题，此类题目最好的方法是画图理解题意，但很多学生不肯画或不会画，导致分析题意时出错。另一方面是不会将剪三角形转化成剪正方形，以此来简化题目的难度，通过观察可以发现，两个直角等腰三角形刚好可以拼成一个正方形，假如想到在一张长方形纸上剪正方形，那么难度就将大大地降低，即只要先求出正方形的个数，那么三角形的个数只要在正方形个数的基础上乘以2就可以了。

3．教师在平时的教学中也存在一定的问题，即一味强调学生求个数时可以用大面积除以小面积或大体积除以小体积这一数学模型，而不考虑浪费问题。◆教学建议　

可以通过画图，比较、辩思三步进行教学，首先画图。最重要的是将三角形先转化成正方形。

然后比较、辩思，通过观察可以发现：原来宽边分过去会余下1分米，不能正好剪一个三角形小旗，只能浪费了。正确的解法是（1.4÷0.2）×（0.9÷0.2）×2=

56（面），根本不可能剪出63面。有学生想到了其实是先求出长方形里可以画出多少个边长是2分米的正方形，而每个正方形里正好可以得到两个等腰直角三角形，学生们的思维得到了有效发散。

此类问题还可以拓展到长方形纸片中剪圆，长方体盒子中装小

正方体等类型的题目，都应该考虑到多余或不够的情况。

1．在长12.4cm,宽7.2cm的长方形纸中，剪半径是1cm的圆，可以剪多少个？

2．一个长方体盒子长、宽、高分别是9cm、5cm和3cm，如果在里面放棱长是2cm的小正方体模型，最多可以放多少个？

六年级下册典型错例

采集样本４2

错误率

30.2 %

采集者基本题

综合型

采集学校课时

***

新授课课练习√

型课

复习课

策略性知识

错题来源第六单元题目出处作业本相关知识总复习知识属性陈述性知识

时

单元机

总复

拓展√

习

程序性知识√

√此题是总复习平面图形的周长和面积时遇到的问题，此时学生已能

教学简述熟练计算平面图形的周长和面积，同时对圆的半径、周长、面积之间的

关系也有了一定的了解。◆典型错题

错题：大圆的直径是小圆的3倍，则大圆的周长是小圆的（），小圆的面积是大圆的（）

错解：大圆的直径是小圆的3倍，则大圆的周长是小圆的（ 3倍），小圆的面积是大圆的（ 9倍或一个错误的分数）

正解：3倍、1/9◆原因分析　

学生访谈：

生1：上次我们做过大圆的直径是小圆的3倍，则大圆的周长是小圆的（ 3倍），大圆的面积是小圆的（ 9倍），今天没看清楚后半题变了，想都没想就填9倍。

生2：我是用假设法做的，假设大圆直径是3厘米，则小圆直径是1厘米，则大圆周长是3.14×3＝9.42厘米，小圆周长是3.14×1＝3.14厘米。因此大圆周长是小圆的9.42÷3.14＝3倍；大圆面积是3.14×（3÷2）2＝7.065厘米2，小圆面积是3.14×（1÷2）2＝0.785厘米2，因此小圆的面积是大圆的7.065÷0.785但是计算的时候，开始我发现除不通，在化成分数约分时约错了。

错例分析：这一类型题学生做到过，但复错率还是很高。从学生的访谈中，可以看出一部分学生是受了思维定势的影响，没有审清楚题目想当然出了错。而大部分的学生知道用假设法解决问题，但还是在计算的时候出了错。◆教学建议

针对这种复错率高的题目，我采取了专题式错例会诊的方式实录如下：呈现错例（略）

师：我们很多同学想到用假设法解决问题，这个办法挺好，但是计算的时候老是要出错。能不能想一个数字使计算变的简单一些呢？（学生思考）

生：不管假设直径是多少，计算还是麻烦，因为计算周长和面积都要乘3.14。师：这个3.14的确给我们添了麻烦。我们有没有简单一些的办法来解决这个问题呢？

（组织学生小组讨论）

生1：我不计算就可以求出结果。因为大圆周长除以小圆周长＝（3.14×3）÷（3.14×1）＝3÷1＝3倍,小圆面积除以大圆面积＝[3.14×（1÷2）2]÷[3.14×（3÷2）2]＝（）2÷（）2＝ × ＝

师：生1的方法你们看的明白吗？你们觉的他的做法有道理吗？

生2：我看懂了，因为不论是求大圆的周长和面积还是求小圆的周长和面积，都要乘3.14,所以在计算的时候，被除数和除数可以先都除以3.14。

师：这样做的根据是——商不变性质。（生齐）生3（表情激动）：我还有更简单的办法。

师：把你的方法让大家瞧瞧。（他把方法呈现在实物投影上）大圆的周长是小圆：＝3 小圆的面积是大圆：＝＝

师：你们觉得生3的方法好吗？生：好！（还有学生鼓掌）

师：看来大家都很赞同生3的做法，他这样做的根据是——分数的基本性质。生4：我不用计算就知道答案了。因为周长和直径都是长度，所以大圆的直径是小圆的3倍，那么大圆的周长是小圆的也是3倍，因为小圆的直径是大圆的，而面积需要平方，所以小圆的面积是大圆的。

师：说的真好，那么也就是说如果大圆的直径是小圆的a倍，则大圆的周长是小圆的（ a倍），大圆的面积是小圆的（a2倍），小圆周长是大圆的（）小圆的面积是大圆的（）◆资源链接

举一反三：

1、大圆的半径是小圆的4倍，则小圆的周长是大圆的（），小圆的面积是大圆的（）

2、大圆的半径是小圆的直径，则大圆的周长是小圆的（），大圆的面积是小圆的（）

3、甲圆的直径是乙圆的，、甲圆的面积是乙圆的（）。4、如右图，大圆的半径和小圆的直径相等，如果大圆的周长是9.42米则小圆的周长是（），如果大圆的面积20平方厘米，则阴影部分的面积是（）。

六年级下册典型错例

采集样本42

错误率

21.2 %

采集者基本题

综合型

拓展√程序性知识

采集学校课时时

单元机

总复习

***

新授课课练习√

型课

复习课

策略性知识

错题来源第六单元题目出处课堂导学相关知识总复习知识属性陈述性知识

√√本题是在总复习平面图形的周长和面积后的综合性的应用，此时学

教学简述生已熟练掌握平面图形的周长与面积，重在考察学生对综合运用知识的

能力。

◆典型错题:

错题：求出下面图形的周长和面积。

错解：学生求组合图形的周长时，主要出现了以下几种错误情况：①（8+4）×2+3.14×8÷2 ②（8+4）×2+3.14×8÷2 +8③（8+4）×2-8+3.14×8正解：3.14×8÷2+8+4×2◆原因分析　

从这3个错例可以看出学生求图形周长时要么忘记减掉长方形的一条长（或一条直径），要么多加上一条直径，和一条长，要么，把圆周长的一半算成整圆的周长，在这里，学生对圆周长的一半出现了表述“误区”，把“圆周长的一半和半圆的周长”等同了，而面积计算却“完好无损”。出现上述问题可能是由于我平时对求圆周长的某部分（即求弧长）的要求力度不够，训练较少。还有，因为是高年级了，平时我要求学生列综合算式，可能是思维难度太大，而造成学生的思维负担过重，分析问题上“丢三落四”，捡了芝麻丢了西瓜。◆教学建议

六年级的学生虽说是高年级了，但图形空间想象能力还是不够强，数学思考还是不够严谨，数学处理还是不够细腻。因此，空间图形教学中要加强对学生的空间形象能力的培养，特别是一些数学实践活动，加强学生的空间感知，强化学生的点、线、面、体的整体感，由整体到部分或由部分到整体，建立起“形”与“数”之间的内在联系。在上题中，先让学生弄清楚求图形的周长具体是由哪些线拼成的一个面或形，同时，让学生动手操作，描画出图形的周长，然后，找到求周长的某个计算公式，并根据自己的学习水平，或分步或列出综合算式，而不再作出强制性的要求，同时，加强学生的算理说理能力的培养，和算法多样化的渗透，以提高学生数形结合的处理能力。

◆资源链接

求下面图形的面积

六年级下册典型错例

采集样本31人错题来源期末卷题目出处期末卷相关知识三角形、圆面积知识属性陈述性知识

错误率

41.94%

采集者基本题

综合√型拓展程序性知识

采集学校课时时

单元机

总复习

***

新授课课练习型课

复习

√

课

策略性知识

√√教学简述这是学生在期末复习试卷上的题目，学生已经学了三角形和圆的知识。

◆典型错题

错题：右图中三角形ABC三个顶点上都是半径为1厘米的圆，图中阴影部分的面积是（）。

错解：1、用量角器去量，量出每一个角，再用按比例分配的思路去求面积，但他量的时候有误差，三个角的度数和不是180度。

2、不会3、1×1×3=3cm2

4、3.14×1×1=3.143cm2

◆原因分析

学生对于此题考察的知识点不够明确。学生拿到题目就去算，而没有从整体的角度来思考问题。有些同学知道扇形的相关知识，就用量角器去量，去计算，但由于测量的误差，导致计算的偏差。

一些学生一时没考虑到三角形三个内角和是180度这个知识点，也就是这三块扇形的圆心角的和为180度，刚好是圆面积的一半。学生对于知识点与知识点之间的串联不够熟练，只会单独的知识点的应用，当知识点与知识点之间互相关联应用时，学生思路一时跟不上，无法找到突破口。◆教学建议

1、加强综合性练习。在教学圆面积和三角形面积时，多一些变式练习，将不同知识点与知识点进行关联。

2、在教学三角形三角和时，要注重三角和产生的过程，让学生加深印象。3、加强对学生利用转化的思想解决数学问题。

◆资源链接

在一个长50公尺的墙壁中间，用6公尺的绳子把羊拴在墙上羊能活动的面积有多大？2、已知正方形的边长是2cm，求圆面积；已知圆面积是2平方厘米，求正方形面积。

六年级下册典型错例

采集样本50人错题来源试卷题目出处总复习

相关知识平行四边形的面积知识属性陈述性知识教学简述

错误率

72%

采集者

采集学校课时

***

新授课课练习√

型课

复习课

策略性知识

1、，

基本√题

综合型

时

单元机

总复

拓展

习

程序性知识√

√这是学生学习平行四边形面积后对其掌握程度的一次检阅。

◆典型错题

错题：已知平行四边形的高为6厘米，求它的面积。

错解：7×6＝42（平方厘米）正确解答：5×6＝30（平方厘米）◆原因分析

教师方面：对平行四边形的面积讲解只停留在面积公式上。

学生方面：只是简单地利用平行四边形的面积公式，而没有真正理解和掌握平

行四边形的面积计算。

◆教学建议

平行四边形面积＝底×高，我们对这个公式的教学不能只停留在对公式的死记硬背上，我们应让学生了解平行四边形的底和高有什么样的关系，并且让生学要了解在CD边上的高是不可能大于5厘米的。

六年级下册典型错例

采集样本63

错误率

33．33%

采集者基本题

综合√型

******

采集学校课时

***

新授课课练习型课

复习

√

课

策略性知识

错题来源第六单元总复习题目出处数学课本P102第14题相关知识圆锥的体积知识属性陈述性知识教学简述

时

单元机

总复

拓展

习

程序性知识√

√此题是在学生学习了圆柱和圆锥等有关知识后的复习的练习。

◆典型错题

错题：把一块棱长10CM的正方体铁块熔成一个底面直径是20CM圆锥形铁块。这个圆锥铁块的高约是多少？（得数保留整数）

错解： 10×10×10÷（3.14×102）

=1000÷314≈3CM

答：这个圆锥铁块的高约3CM。◆原因分析

1、对圆锥的体积所表示的意义的认识不到位，与圆柱的体积混淆。

2、对推到圆锥体积的过程印象不深。

3、受到圆柱体积计算公式的干扰，混淆它们之间的公式。

◆教学建议

1、在教学中，教师敢于大胆放手，让学生自主探索，经历再创造的过程，引导学生通过观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，积极主动地发现两者之间的关系。

2、很多教师在教学时，仅仅只呈现了一组等底等高的圆柱和圆锥进行实验，学生对此印象不深，可以准备两组不同的圆柱圆锥进行实验，激起学生的探究兴趣，从而来揭示两者的关系。

◆资源链接

在探索圆锥体积的计算公式时，教师直接告诉学生要比较等底等高的圆柱与圆锥，这是学生的内心需求和迫切需要吗，如果不是，学生难免会问：为什么要用圆柱与圆锥进行实验对比？

对策：课始，教师先让学生回忆平行四边形、三角形、梯形和圆的面积公式以及圆柱体积公式的推导过程，梳理知识，形成脉络：三角形面积公式长方形面积公式平行四边形面积公式圆面积公式梯形面积公式

长方体体积公式圆柱体积公式

引导学生：对未知平面图形面积的计算，一般是把它转化成已知平面图形面积的计算，再推导出计算公式；对未知圆柱体积的计算，也是把它转化成已知长方体体积的计算，再推导出计算公式。从而渗透转化的数学思想方法，使学生自觉产生“能否把未知圆锥体积的计算转化成已知圆柱体积的计算”这一想法。有了以上的知识准备和认知需求，再引导学生分组进行下面的实验。 [实验一]

实验器材：等底等高的圆柱和圆锥形容器、水(沙子或橡皮泥)。实验过程：把圆锥形容器装满水，然后倒入圆柱形容器，三次恰好倒满。

实验结果：圆柱形容器的容积等于和它等底等高的圆锥形容器容积的3倍，或圆锥形

1容器的容积等于和它等底等高的圆柱形容器容积的3

，从而推导出圆锥体积计算公式。 [实验二]

实验器材：等底等高的圆柱和圆锥形容器、沙子、天平。

实验过程：把两种容器都装满沙子，然后在天平上分别称出所装沙子的质量，两种容器容纳的沙子质量恰好成3倍关系。

实验结果：根据同密度物体的体积与质量成正比例，可以得出圆锥形容器的容积等于

1和它等底等高的圆柱形容器容积的3 。

教学圆锥体积的计算方法时，一般教师用来演示的教具都是空心的容器，实验对比的结果是它们的容积，难道用实心圆柱和圆锥就不能进行实验了吗，笔者进行的实验和调研测试如下： [实验三]

实验目的：通过实验，找出等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系。

实验器材：能够沉入水中的等底等高的实心圆柱和圆锥、长方体玻璃缸容器、水。

实验步骤：1.在容器中加入适量的水，测量并记录水位高度。2.把圆柱放入容器并浸没水中，测量并记录水位增加的高度，水位升高部分的体积就等于圆柱的体积。3.取出圆柱，把圆锥放入容器并浸没水中，测量并记录水位增加的高度，水位升高部分的体积就等于圆锥的体积。

实验结果：容器中水位两次增加的高度成3倍关系，根据底面积一定，圆柱体积与高成

1正比例关系，可推导出圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的3 。

六年级下册典型错例

采集样本63错题来源总复习题目出处课外练习相关知识三角形的三边关系知识属性陈述性知识

错误率

36．07%

采集者基本题

综合√型

******

采集学校课时

***

新授课课练习型课

复习

√

课

策略性知识

时

单元机

总复

拓展

习

程序性知识√

√教学简述

此题是在学生学习了三角形的三边关系后，六年级进行总复习时的练习

◆典型错题

错题：三角形的两条边分别长5厘米和8厘米，这个三角形的周长是（）厘米A.16 B.17 C.26 D.27错解： A/C/D◆原因分析

1、2、 ◆教学建议

在教学中，要针对性地回顾这一知识点，勾起学生对其的认识和印象，要让学生在观察、操作、感知的基础上，摆一摆、比一比、看一看、想一想，分组讨论，合作学习，运用多媒体课件辅助教学，教师恰当点拨，适时引导，使学生深刻三角形三边的关系。

三角形三边关系

[教学目标]

1．会按三角边的大小关系对三角形进行分类。2．会阐述三角形三边关系定理及推论。

3．会应用三角形三边关系定理及推论判断三条线段能否组成三角形。并能根据三角形中已知两边的长，求第三边长的范围。

此外，通过列方程组求三角形边长，从中渗透“方程观点”，培养学生把实际问题转化为用方程(组)来求解、研究几何问题用代数列方程(组)来解题的意识。

[引导性材料]

三角形的三条边是否相等有多少种可能情况？请你画出各种可能情况。

说明：这里设计思考问题并画图，实质培养学生能自觉地借助形象思维实现抽象思维，逐步使两种思维得到协调的发展。

[教学设计]

问题1：在上述所画各种可能情况的三角形中，指出你所学过的三角形。

上述所画各种三角形中，大家已熟知的有等腰三角形和等边三角形，还有一种叫“不等边三角形”。

问题2：怎样的三角形叫等腰三角形？怎样的三角形叫等边三角形？

问题3：你能仿照“等腰三角形”的定义阐述怎样的三角形叫不等边三角形吗？生活中常常不十分严格的区分“有”和“只有”的含义。比如“教室里有一个学生”与“教室里只有一个学生”常被理解为相同的意思。教学语言与生活语言既有联系，也有区别。比如教学中“有两条边相等的三角形”与“有且只有两条边相等的三

对三角形的三边之间的关系缺乏深刻地理解，导致对三角形任意两边之对于边地研究没有很针对的课时安排，要让学生从抽象的几何图形中得

和大于第三边地内涵把握不准确。

出结论，并加以运用，对于抽象意识差的学生来说，并非易事。

角形”的意义不相同。“有两条边相等的三角形”包括“有且只有两条边相等的三角形”以及“三边都相等的三角形”两种情况。

问题4：如果把三角形按边的相等关系分类，现在你认为怎样分类恰当？

说明：设计问题4，让学生在主动寻找三角形按边的相等关系如何恰当的分类中，了解正确地对事物进行分类，必须将讨论的对象不重复不遗漏地分成若干种情况。

图3．2－1

问题5：如图3．2－1，由A经B到C是一条柏油路，AC是一条小路。人们从A步行到C，通常不走柏油路，而走小路，你能用你学过的知识来解释这种生活现象吗？由此你发现△ABC三边之间有大小关系吗？有怎样的大小关系？

问题6：请你根据不等式AB＋BC＞AC

AB＋AC＞BC、BC＋AC＞AB，用文字语言概括三角形三边的关系。

问题7：不等式AB＋BC＞AC、AB＋AC＞BC、BC＋AC＞AB，揭示了三角形三边关系定理“三角形两边的和大于第三边”，根据这三个不等式还可以推得推论“三角形两边的差小于第三边”。你能推证这个推论吗？

推论是由定理直接推出的结论，和定理一样可以作为进一步推理的依据。[例题解析]

例1：下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？（l）3cm，4cm，5cm；（2）5cm，6cm，11cm；（3）5cm，6cm，10cm。

说明：1．本例是课本第10页练习第1题。

2．本例的解答中，要引导学生认识判断三条线段能否组成三角形，必须检查三条线段中任何两条的和是否都大于第三条。进而学生易于发现简便的判断方法──满足较小两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形。

例2：（即课本本节例题）

说明：1．通过本例使学生了解几何中常常利用代数列方程的方法解题。

2．本例计算虽较简单，但思维能力的要求较高。既要对已知边的可能情况分类计算，又要考虑求解结果是否满足三角形三边关系定理。

由于不少学生习惯于代数学习中套用方程式的学习方法面对几何学习，不注重形象思维，更不会形象思维的同时使用抽象思维。因此本例的教学应把侧重点放在引导学生自己去探索，帮助他们克服思维不严密、套用方程式的学习习惯。

例3：△ABC中，已知a＝8cm，b＝5cm，能确定c边的长度吗？能确定c边的长度范围吗？

说明：本例的教学中要引导学生认识：（1）本例中要求一个未知量（C边的长度），但是没有给出与C边有关的相等关系，所以未知数的个数大于相等关系个数，故本例有无数个解，即C边的长度无法确定。

（2）由于三角形的三边有特殊的大小关系，因此根据三角形三边关系定理及推论可以确定C是大于3且小于13范围内的无数个值。

[课堂练习]

2．（补充练习）已知三角形的两边的长分别是4cm和7cm：（l）如果这个三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长；（2）如果第三边长的数值是偶数，求这个三角形的周长。[小结]

1．从三角形三边关系的研究中可知三角形的三边相互制约──任意两边之和大于第三边，且任意两边之差小于第三边。

2．判断a、b、c三条线段能否组成一个三角形，应注意a＋b＞c、a＋c＞b、b＋c＞a三个条件缺一不可。当a是a、b、c三条线段中最长的一条时，只要b＋c＞a，就有任意两条线段的和大于第三条。

3．为了研究方便，几何中常常把图形进行分类。由于三角形有边和角两类元素。所以三角形通常按边的相等关系分类和按角的大小关系分类。后面的学习中我们还要研究三角形按角的大小的分类。

六年级下册典型错例

采集样本50人错题来源总复习

题目出处课本P100,第七题相关知识圆的面积知识属性陈述性知识

错误率

40%

采集者基本题

综合√型

***

采集学校课时

***

新授课课练习型课

复习

√

课

策略性知识

时

单元机

总复

拓展

习

程序性知识√

√学生已经掌握了长方形、正方形与圆的面积的计算，之前已经接触

教学简述过在长方形或正方形地面上铺地砖的题目，知道总面积÷每块面积=块数

，因些在解决问题时容量受到铺地砖类题型的负迁移◆典型错题：

错题：在长12.4cm，宽7.2cm的长方形纸中，剪半径是1cm的圆，在这块铁皮上剪直径是20厘米的圆形铁片，最多可以剪多少个这样的圆形铁片？

错解：12.4×7.2=89.28cm23.14×12≈3.14 cm2

89.28÷3.14≈28（个）◆原因分析：

1、受到铺地砖类题型的负迁移，学生在用总面积÷每块面积；

2、学生没有将数学问题与实际生活相联系，缺少动手操作的体验，因此没有考虑到在长方形中剪圆是会产生很多余料的。

◆教学建议：

化难为易，动手操作，使学生明白求“长方形中可以剪几个圆？”，就是求可以剪几个“以圆的直径为边长的正方形”。具体可以这样操作：

1、出示：在一张边长1厘米的正方形纸上剪一个最大的圆？请学生画一画，想一想画出的圆的半径是多长；

2、想一想如果需要剪两个这样的圆，至少需要长、宽各是多少的长方形纸？3、四人小组交流结果，想一想可以剪的圆的数量与长方形的长宽有什么关系？回归原题，小结方法：长方形的长÷圆的直径=每行几个；长方形的宽÷圆的直径=有几行；每行个数×行数=圆的个数。◆资源链接：

1、一块长方形铁皮，长150厘米，宽85厘米，在这块铁皮上剪直径是20厘米的圆形铁片，最多可以剪多少个这样的圆形铁片？

2、小明家的客厅长4米、宽3米，要给客厅铺上边长是50厘米的正方形地砖，至少需要多少块地砖？

（1）做一做；（2）比一比

六年级下册典型错例

采集样本48错题来源教材

错误率

25%

采集者基本

采集学校课时

***

新授课

人教版小学数学12册P101题时课练习

题目出处综合√单元

型机型课第12题

总复复习

相关知识长方体、正方体的认识拓展√√习课

知识属性陈述性知识程序性知识策略性知识√此题安排在12册的总复习中，是在学生学完了小学阶段的所有空间图形知识之后，此题重点是考查学生对长方体6个面相对位置的空间观念。在此之前，学生早在一年级上册就初步认识了立体图形（长方体、正方

教学简述体、圆柱和球），在五年级下册更深入地学习了长方体、正方体的认识

，学会了长方体和正方体的表面积计算、体积计算等。通过前期的复习，学生已经认识了小学阶段要求掌握的各种几何图形的特征和一些面积、体积计算，同时，学生对一些图形的展开图、横截图都已有所接触。

◆典型错题错题

（1）如果A面在底部，那么哪一面在上面？

（2）如果F面在前面，从左面看是B面，那么哪一面在上面？

（3）如果要求这个长方体的表面积和体积，至少要量出哪些边的长度？错解：

学生集中错在第（2）小题：认为A面在上面。◆原因分析

个别访谈了错误的学生，均对如何确定上面是哪一个面感到茫然，脑海中不能建立一个清晰的长方体模型。主要原因是：

1.在长方体、正方体等立体图形的认识阶段，对立体图形的展开图接触不多，联系不够，学生建立的表象不是非常深刻，造成空间观念基础不扎实。

2.此题的症结是学生凭着空间想象能力，能找到与B面相对的右面是D面，与F面相对的后面是A面，但不知E面最后是朝哪个方向折叠围成长方体的？

3.学生的推理能力欠缺，凭着前面的推理，既然已经找到了右面和后面，确定下面是C面也是轻而易举的，而前面是F面已明确，那么仅凭简单推理就能确定E面肯定是上面。学生却放弃这样的有效推理，拼命在脑子里围长方体。◆教学建议

3.建议教师在五下册教学认识长方体、正方体时，要引导学生通过大量的动手操作、表面展开图制作等，让学生形成良好的、熟悉的空间表象。对长方体的6个面有清晰的认识。

4.教师对此题应花时间充分展开。从第1小题开始：（1）如果A面在底部，那么哪一面在上面？在学生快速判断出上面是F面后，教师应继续深入，请说出其余的左面、右面、前面、后面各是哪些面？以此让学生强化空间观念，并为第（2）小题作准备。在进行第（2）小题时，应不仅仅停留在判断出上面，而应由左面看是B面，推出下面是C面，右面是D面，前面是F面，后面是A面，最后推出上面是E面。由此循序渐进，由易到难，才是解决问题的策略。

5.教会学生检验与实践。学习要有实证精神，在解决这样的问题时，我们教师不妨让学生通过实际动手操作来帮助自己解疑，或在完成了判断之后，通过实际操作来验证答案的正确与否。学生照样子用白纸剪一个展开图，实际动手折一折也是值得提倡和鼓励的。◆资源链接

在五下册教学正方体、长方体的展开图时不妨借鉴以下策略：1．PPT演示：正方体展开的过程

（这一个环节目的是让学生直观的看一看正方体的展开图是什么样子？）2．PPT出示：35种6个正方形拼成的平面图形。

3.师：但是在这些可能中只有11种是能折叠成正方体的，你能把能折叠成正方体的展开图找到吗？ 4.显示正确结果

5.总结规律。

看看这个展开图像什么？有什么特点？然后再进行比较这几个展开图有什么共同的特点。通过观察、分析，我们把这11种展开图分成了四类，这样便于学生记忆和运用。

1．“一四一”型，中间一行4个作侧面，两边各1个分别作上下底面，󰀀共有6种。2．“二三一”（或一三二）型，中间3个作侧面，上（或下）边2󰀀个，相连的正方形作底面，不相连的再下折作另一个侧面，共3种。3．“二二二”型，成阶梯状，共1种。

4．“三三”型，两行只能有1个正方形相连，共1种。6.找出每个面的对面。

师：你能找出每个面原来的对面吗？

（在展开图中找正方体的对面也是一个重要的知识点，往往在考试中就会出现这样的题目。同时，观察展开图想对面也是对学生空间观念的一种培养。“二二二”型和“三三”型这两种是比较难找的，学生通过观察可能还不能直接找对，像这样我们无法肯定的作出判断的我们可以进行动手操作来帮助。）

六年级下册典型错例

采集样本48错题来源测试卷题目出处相关知识知识属性教学简述

错误率

45.8%

采集者基本

采集学校课时

***

新授课

2010黄岩区小学数学毕业题时课练习

综合√单元型机型课测试卷

总复复习

三角形的认识拓展√√习课

陈述性知识程序性知识策略性知识√本题是在学生总复习阶段进行的其他县市前一年的毕业卷测试卷中，在此之前学生已在四下册中认识了三角形，并能根据三角形的角、边进行不同的分类，在本册的总复习阶段再次系统复习了三角形的知识，此题要求学生根据三角形其中一个角来判断是什么三角形。

◆典型错题

错题：

如图，三角形被长方形纸遮挡了一部分，只露出一个角，这个三

角形是（）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法判断是什么三角形错解：C．直角三角形◆原因分析

学生的思维往往被一些局部的表面的现象所蒙蔽，被一些习惯性思维所左右，思考问题缺乏全面、缜密的分析。选择答案C的同学均以为被遮挡的下面部分是一个直角和锐角，因为沿着上面露出部分的两条边的趋势，下面遮住的左边一定是个直角，右边一定是个锐角。却不知三角形如果按角进行分类，凭已知的一个角是不能进行正确分类

的，除了有直角三角形的可能，也可能是钝角三角形，如图：，还可能

，所以答案应该是无法判断是什么三角形。是锐角三角形，如图：

◆教学建议

1.教师在四下册第5单元三角形的教学中要对三角形的分类充分展开，不能照本宣科，照着教材的编排，把三角形分类的方法宣读给学生，而是较多地采用一些灵活的操作、演示活动，让三角形的分类和培养学生的逻辑推理进行有机结合，从而一方面加强对三角形的认识，巩固三角形的分类方法，另一方面培养学生的仔细观察、正确推理能力。

2.教师在对三角形的分类的总复习阶段，在进行了知识的完整梳理后，要继续设计一些猜一猜，即根据已知的一个角进行三角形类型的识别，已知的两个角进行三角形类型的识别等趣味练习活动，强化学生对三角形类型的识别和灵活思考、推理。◆资源链接

在四下册或六下册对三角形分类的练习或复习中建议设计如下练习：

一、你能根据三角形其中两个角来判断被遮住一部分的三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形吗？并说说理由。

（）三角形（）三角形（）三角形二、你能根据三角形其中一个角来判断被遮住一部分的三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形吗？并说说理由。

（）三角形（）三角形（）三角形

六年级下册典型错例

采集样本63错题来源总复习题目出处数学练习卷相关知识质数、合数、可能性知识属性陈述性知识教学简述

错误率

20．63%

采集者基本题

综合√型

******

采集学校课时

***

新授课课练习型课

复习

√

课

策略性知识

时

单元机

总复

拓展

习

程序性知识√

√此题是在学生学习了质数和合数，六年级时的总复习练习

◆典型错题

错题：一个正方体木块的6个面分别写着1、2、3、4、5、6这六个数，把它抛向空中很多次，落地后质数朝上的可能性是（），合数朝上的可能性是（）

21错解：

32◆原因分析

1.小学生抽象逻辑思维在很大程度上仍然是直接与感性经验相联系的，具有很大成分的具体形象性，如仅依靠机械地接受，没有让学生亲身经历概念形成的过程，必然造成学生对质数合数的理解比较苍白、肤浅。

2.没有及时组织学生对自然数的分类进行必要的对比辨析，使学生对自然数的分类标准认识模糊。 ◆教学建议

1．在教学中，要针对学生易犯的错误，根据学生的认知特点，采取数形结合的教学策略，让学生人人动手，动手收获，引导学生积极思考，踊跃辩论，引导学生对质数合数的深刻理解与主动建构。

2．对于大部分学生只要做一个适当的整理和回顾，小部分同学在新课时掌握比较薄弱的，个别辅导，进行对比理解。

提高课堂效率的关键还是在课前,课前反复钻研教材,准确理解把握教材很重要.片断一：

师：昨天我们写了1——20这些数的因数，下面来校对一下。

（学生开火车的形式汇报，老师依次板书：1的因数有1，2的因数有1，2，……20的因数有1，20，2，10，4，5。）

师：请仔细观察这些数的因数情况，你有什么发现？

师：如果按因数个数的多少来分，可以怎样分类呢？（学生自由发言）师：让我们看书本上是怎么分的呢？看P23的表格。只有一个因数只有1和它本身两个因数有两个以上因数

师：你能按书上的要求把它填完整吗？（学生独立填写并反馈）（师出示质数的定义，请学生读一读）

师：有什么疑问吗？（学生没疑问）这里的两个因数是指哪两个因数呢？师：20以内的质数有哪些？（同样的方法教学“合数”）师：那“1”呢？

生：1不是质数也不是合数。

师：那如何判定一个数是质数还是合数呢？……

[“质数与合数”这块内容从教以来第三次进行教学，前两次教学时用的都是老教材，感觉这个内容很难教学。上面是在听了同年级组的一位老师上了两节课后，并结合一些优秀的教案进行教学的片断，感觉特不好，这两个概念没有讲透，可问题出在什么地方呢？还想试试，利用中午和下午第一节课的时间再次进行了备课，在下午第二节课进行了教学，并请了同组的两位老师来听课指导]片断二：

师：昨天我们找了1——

20这些数的因数，请大家打开本子，仔细观察这些数的因数，你发现了什么？生1：这些数都有最小的因数和最大的因数。师：你能说再明确一点吗？

生1：它们最小的因数都是1，最大的因数都是它本身。生2：这些数都是1的倍数。

师：对，这些数都有因数1，还有什么发现呢？生3：2，3，5，7 只有2个因数。

师：请大家仔细观察一下，他说得对吗？除了这些数以外，还有谁也只有2个因数呢？生4：11，13，17，19

师：谁能说说刚才发现的这些数的两个因数有什么特点？生5：一个是1，一个是它本身。

师：刚才我们发现了有些数的因数只有2个，那还有些数的因数的个数是怎样的呢？（生举例）

师：如果按因数个数的多少来分，可以怎样分类呢？看P23的表格，读一读分成了哪三类？

（学生独立填写并反馈）

[在前一天我就布置了“写1——

20的因数”的作业，在教学中发现把20个数的因数都在黑板上进行书写需要不少的时间，为了提高课堂的效率，我就请学生打开本子直接找，课前我是担心的，学生的注意力是否回分散，但从学生的回答来看，效果还好]

师：看书读一读什么是质数，什么是合数，你有什么疑问吗？生6：为什么“1不是质数，也不是合数”？

师：这个问题提得好，但要等到后面回答你，我们先来了解一下什么叫“质数”？请大家齐读一遍。

师：你们有问题吗？（环顾四周没人举手）你们没有问题，那我来提。这里为什么要写“只有”，改为“有”可以吗？

生7：不可以改，如果改为“有”，那4、6都是质数了。师：可以，谁能说更简单些吗？

生8：质数只有2个因数，除了那2个以外没有第3个因数了。

师：大家听明白了吗？还有一个问题，这里的两个因数是指哪两个？生9：1和它本身。

师：刚才我们填写的哪一格的数据就是质数生：第二格。

师：20以内的质数有哪些？请齐读一遍。师：什么叫合数，你能用自己的话说一下吗？

生10：合数有两个以上因数的数，不包括1和它本身。（许多学生发出了异议）

生11：应该包括1和它本身，还有另外的因数。生10：老师我看错了。

师：谁来说，合数至少有几个因数？生12：合数至少有3个因数。

师：现在谁能回答为什么“1不是质数，也不是合数”？

生13：质数只有2个因数，合数至少有3个因数，而1只有1个因数，所以“1不是质数，也不是合数”。

[在下午的备课中，忽然想起以前有的老师进行概念教学时，抓住重点字词，所以在教学质数时抓“只有，两个”进行了质疑，同时也想到了追问学生为什么“1不是质数，也不是合数”？如果学生能搞清楚这个问题，其实他就理解了质数与合数的含义，怎么在前面没想到呢？教材真的很需要反复的钻研呀！]

师：谁能说一说判断一个数是否是指数或合数，主要看什么？生：主要看因数的个数有几个。

师：什么情况下是质数，什么情况下是合数呢？

生：只有1和它本身两个因数的是质数，除了1和它本身还有其它因数的是合数。师：17是什么数，你是怎么判定的呢？

生：17是质数，因为它只有1和17两个因数。师：那22呢？

生：22是合数，因为22有4个因数。

师：你找出了22所有的因数，谁有不同的意见？

生：不用找出所有的因数，只要找出除了1和它本身的另一个因数就可以了。师：下面就让我们来独立地判断吧。17，22，29，35，37，87，93，96，91

反馈：

生：质数有17，29，37，91。师：还有的请补充。生：87也是质数。

师：还有吗？（环顾一周发现没有举手了）那你赞同吗？生：87和91不是质数。

师：谁还有不同的意见？（巡视没有举手了）看来最有争议的是这两个数，下面就让我们来仔细观察着两个数。只要找出1和它本身外的另一个因数，那么它就是合数。你发现了么？生：87有因数3。师：你怎么知道的。

生：8+7是15，是3的倍数，这个数就是3的倍数，师：很棒，他用了什么知识来判定的？生：用3的倍数的特征。

师：瞧，你感受到了吗，前面学的知识多有用呀！……

[其实在备课时也没有考虑到：判定一个合数，只要找出1和它本身外的另一个因数就可以了，用不着找出所有的因数。这是在前一堂进行教学时，班上一位思维比较活跃的学生提出的。后面的反馈的引导主要沟通新旧知识的联系。

六年级下册典型错例

错误采集

采集样本48采集者**39.6%学校***率

新授

错题来源教材基本√课时

课

人教版小学数学12册P111题时课练习

题目出处综合单元

机型课总复习统计与可能性例2型

总复复习

相关知识统计知识拓展√√习课

知识属性陈述性知识程序性知识√策略性知识

学生从一年级下册开始接触统计知识，二年级上册、下册，三年级下册，四年级至六年级的每一册均安排了统计知识的教学。其中，学生在

教学简述

五上册理解了中位数在统计学中的意义，五下册理解了众数在统计学中的意义。此题是六下册总复习“统计与可能性”中的例题。◆典型错题

错题：

例2：六（1）班同学身高、体重情况如下表身高/m1.401.431.461.49人数13510

1.52

121.5561.583

体重/kg30333639424548人数245121043

(1)在上面两组数据中，平均数、中位数和众数各是多少？

(2)不用计算，你能发现上面两组数据的平均数、中位数和众数之间的大小关系吗？

(3)用什么统计量表示上面两组数据的一般水平比较合适？

错解：

学生对第（3）小题用什么统计量表示两组数据的一般水平比较合适，有19个学生认为是平均数，还有少数几个认为是众数。◆原因分析

教师层面：教师在教学五上册和五下册的中位数和众数的统计学意义时，往往没有用联系、综合的思想把平均数、中位数、众数这三个统计学概念联系起来，而是按照书本的编排，割裂开来分块教学，而且没有深入根据数据的实际情况，用联系实际的方法，着重强调这三个统计概念的实际意义。

学生层面：在生活中，学生尽管经常在接触统计的一些知识，但对平均数、众数、中位数的一些概念接触不多看，应用更少，仅仅凭书本中的学习深入程度不够。特别是关于选择平均数、中位数、众数作为一组数据的代表问题，学生较难理解，有时没有唯一正确答案，只有合适与否的问题，所以这样的问题对学生来说更难把握。

教材层面：教材中针对具体的统计数据，进行平均数、中位数、众数的实际意义的理解很少，特别是综合性的，对这三个概念的区别与联系的练习更少，学生感觉生疏，有好大一部分学生都遗忘了。◆教学建议

1.在教学五上册中位数概念时，在凸出中位数的实际意义时，要重点搞清平均数和中位数的区别和联系。阐明中位数与平均数各自的特点和适用范围，中位数和平均数一样，也是反映一组数据集中趋势的一个统计量。教学时应注意结合学生已经很熟悉的平均数，对比教学，以帮助学生理清两者的联系和区别，使他们明白：平均数主要反映一组数据的总体水平，中位数则更好地反映了一组数据的中等水平（或一般水平）。

2.在教学五下册的众数概念时，教师仍旧要用联系的思想，在重点引导学生理解众数的实际意义之前，不妨先从平均数、中位数引入，发现前两者都不能很好地反应数据的集中趋势，然后引出众数，由此体会众数的特点：在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众数）表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。教学时则可按此思路帮助学生理解众数的统计意义。

3.面对此题，教师必须在具体解决问题之前进行平均数、中位数、众数的概念复习，只有熟悉了这三个概念的实际统计意义后，让学生仔细地观察表格中的数据，选择用哪个统计量表示上面两组数据的一般水平比较合适。学生会很自然地选择用中位数◆资源链接

一、关于平均数、中位数、众数的知识。

1．平均数：一组数据，用这组数据的总和除以总数量，得出的数就是这组数据的平均数。平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动，即平均数受较大数和较小数的影响。

2．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数的平均数）叫做这组数据的中位数。中位数的大小仅与数据的排列位置有关。因此中位数不受偏大和偏小数的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，常用它来描述这组数据的集中趋势。

100

3.．众数：在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。因此求一组数据的众数既不需要计算，也不需要排序，而只要数出出现次数较多的数据的频率就行了。众数与概率有密切的关系。众数的大小仅与一组数据中的部分数据有关。当一组数据中有不少数据多次重复出现时，它的众数也往往是我们关心的一种集中趋势。

二、教学时的注意事项。

1.注重对统计量的意义的理解，避免简单的统计量的计算。

教学中应避免单纯从计算的角度引导学生学习统计知识，应当注意对统计量意义的理解。如众数，不仅要让学生知道什么是众数，会求众数，更要注意结合具体数据理解众数的作用和特点。

2.教学评价注重过程性评价。

让学生经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程是学习统计知识的首要目标。这就要求教师应创造尽可能多的机会让学生亲自从事简单的统计活动，如调查同学们的视力情况、所穿鞋子的号码、喜爱的电视节目等。教师要鼓励学生积极投入到各种活动中，留给他们足够的独立思考和自主探索的时间与空间，并在此基础上加强与同伴的合作与交流。从事统计活动的过程中教师应起到引领、指导的作用，例如，教师可以提出一些问题引发学生的讨论：你们准备如何收集数据；用什么方法展示数据；哪些数据经常出现；数据反映出什么趋势；从这些数据中能得到什么结论；从这些结论中能预测到什么等等。

3．适当把握平均数、中位数、众数的教学要求。

关于选择平均数、中位数、众数作为一组数据的代表问题，学生较难理解，有时没有唯一正确答案，只有合适与否的问题，因此要开放些。

六年级下册典型错例

采集样本63

错误率

23．81%

采集者基本题

综合√型

******

采集学校课时

***

新授课课练习型课

复习

√

课

策略性知识

错题来源第六单元题目出处练习卷相关知识平移和旋转知识属性陈述性知识教学简述

时

单元机

总复

拓展

习

程序性知识√

√此题是在学生复习了平移和旋转后进行的练习。

◆典型错题

101

错题：先把红色图形顺时针绕A点旋转九十度，再向右边平移五格。 AB错解：

A B◆原因分析

1.对于平移和旋转现象没有深刻地认识2.平移和旋转的方法及关键没有很好的掌握3.直观思维，被图象的表面现象所迷惑 ◆教学建议

1．在教学中，要呈现许多学生熟悉的生活现象，不断观察、发现规律，再动手操作，在方格纸上画一画，总结出平移和旋转的方法，点、边之间的变化和不变的地方。

2．让学生充分感知的方法来感悟平移和旋转的特点，平移是平平地朝一个方向移动，而旋转是绕一个点或轴的运动。要让学生看得见，摸的着的物质实践中动手“做”数学，使两个相关的概念在实践比较中感知深刻，区分明确，有效地防止了数学概念的混淆。

◆资源链接

平移是将一个图形从一个位置变换到另一个位置，平移过程中，各对应点的“前进方向”保持平行，旋转是一个图形绕着一个定点旋转一定的角度，旋转变换和平移都不改变图形的形状和大小，各对应点之间的距离也保持不变，所以这样的变换又叫保距变换。

在平面内，把一个图形绕点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，旋转的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点Pˊ，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。旋转性质:

①对应点到旋转中心的距离相等。

②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 ③旋转前、后的图形全等。旋转三要素：

102

①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度。

六年级下册典型错例

采集样本48

错误率

20%

采集者基本

采集学校课时

***

错题来源课外测试卷题目出处相关知识知识属性教学简述

新授课

上虞市2011年小学数学毕题时课练习

综合√单元型机型课业卷

总复复习

拓展√√习课

陈述性知识程序性知识策略性知识√此题是在学生全面、系统地复习了小学阶段的所有数与代数、解决问题等知识之后，学生已经能根据问题中提供的信息，进行综合分析，解决各类数学问题，在小学数学毕业测试中出现这样的问题解决题，旨在考查学生综合应用、灵活思维、策略优化的能力。

◆典型错题

错题：三家文具店中，某种练习本的价格都是0.5元/本。“儿童节”那天，三店分别推出了不同的优惠措施。中天店：一律九折优惠。家和店：买5本送一本。丰美店：满65元八折优惠。学校教导处要购买120本练习本，去哪家商店比较合算？为什么？（通过计算说明理由）

错解：中天店：0.5×120×0.9= 54（元）

家和店：120÷5=24(本) 0.5×（120-24）=48（元）（计算方法有误）丰美店：0.5×120=60（元）答：家和店最合算。此题较多学生在计算家和店的实际付款方法有误。正确算式是：0.5×（120×

5）=506(元)

◆原因分析

1.教师层面：从总复习的解决问题开始，教师一般会将整个小学阶段出现过的数学问题进行一一归类，加以罗列。横向上从平均数问题、归一归总问题、相遇问题、追及问题、和倍问题、差倍问题等等，纵向上从一般复合应用题、典型应用题、分数百分数应用题、比和比例问题、综合应用问题等进行全面复习，教师引导学生采用分析法、综合法进行解决问题，接触的题型比较典型，让学生按部就班地“做”的比较多，而对策略的引导不够，学生稍碰到变式后应对策略欠缺。

2.学生层面：习惯性思维较强，对需深入理解分析的题目只看到表面的文字意思，看到买5本送一本，就用总数120本去除以5，以为可以送24本，殊不知要送你24本，教导处必须买到120本，也就是实际要付120本的钱而不可能只付（120-103

24）本的钱。

3.教材层面：在教材中，让学生综合应用、策略优化的题型并不是很多，学生平时较多地接触到的是一些典型题。

◆教学建议

1.加强对审题能力的训练。首先逐一搞清楚三家店推出的“一律九折优惠”、“ 买5本送一本”、“满65元八折优惠”各表示什么意义。“一律九折优惠”即按原价的90%出售；“买5本送一本”即实际只要买总本数的

5；“满65元八折优惠”要6看售价有否达到65元，如果达到65元就按原价的80%出售，没有的达到65元的按原价出售。在这里，学生对“

买5本送一本”字面意思很好理解，但转化成数学的“总本数的

5”需要有数学的6推理能力，但通过进一步推敲，学生还是能顺利接受并理解。

2.加强对解题策略的训练。理解了题意，对解题策略的培养是提高学生数学能力的重要环节。此题要引导学生可以从不同的角度进行比较。方法一：算出三家店的实际售价。

中天店：0.5×120×0.9= 54（元）

家和店： 0.5×（120×

5）=50（元）6丰美店：0.5×120=60（元）答：家和店最合算。

方法二：算出三家店的优惠分率。中天店：100%-90%=10% 家和店：1-51=≈16.7%66丰美店：0% 答：家和店最合算。

◆资源链接

一般在小学六上册教学百分率的应用时会碰到折扣率的知识，学生会接触到商品的成本价、原价、优惠价（实际售价）、折扣率等概念，下面提供关于这一知识点的几题练习：

1.一件商品，原价80元，现在搞活动，九折销售，现价多少元？2.成本价提高50%后标价变为300元，成本价是多少元？

3.一个商人把一件衣服标价600元，经打假人员鉴别降至60元一件出售，但仍可以赚20%，如按原价出售，则这件衣服可获暴利多少元？4.超市酸奶原价5.4元一盒，现在买二赠一，相当于打几折？

5.希望小学要购买60个足球。现有甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店里每只足球的标价都是25元，但各商店优惠的办法不同。甲店：每满10个足球，就免费赠送2个。乙店：满10个足球，就打八五折销售。丙店：每满200元，返现金30元。

为了节省开支，希望小学应道哪家商店购买？为什么？

104

因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容

查看全文