第４４卷第１期 ２０１５年１月 内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｉｎｎｅｒ Ｍｏｎｇｏｌｉａ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖ０ｌ＿４４ Ｎｏ．１ Ｊａｎ．２０１５ 基于交易费用的均值一方差一熵投资组合模型 冯学敏，武东旭，王晓峰，陆晓光，彭晓明 （中国石油大学（北京）理学院，北京１０２２４９） 摘要：用方差和熵共同度量投资风险，并且考虑交易费用的影响，提出一种基于交易费用的均值一方差一 熵的投资组合模型，并进一步讨论了熵在投资组合模型中所起的作用．通过对相关案例的求解与分析，验证了该 模型的可行性及有效性． 关键词：投资风险；熵；交易费用；投资组合 中图分类号：０ ２９ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００１—８７３５（２０１５）Ｏｌ一００２６—０３ Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ是投资组合理论的奠基人，在他提出的均值一方差模型中，以方差度量投资风险．然而此法 并不完善，所以人们一直在试图改进模型中的风险度量方法，如尝试用半方差、平均离差、最大偏差、亏损概 率等来度量．本文用方差和熵共同度量投资风险，并且考虑了交易费用，给出一种基于交易费用的均值一方 差一熵的投资组合模型． １ 投资组合模型 １．１均值一方差模型 ２０世纪５０年代，Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ创立了证券组合理论，之后又不断加以完善．对于最优投资组合，人们普遍 认为应该是这样一个组合，即在达到预期收益率最大的同时风险也是最小的．然而，Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ在数学上澄 清了这一问题，认为客观上不存在人们所认为的理想化的“最优投资组合”，现实中的最优投资组合应该是， 收益水平一定的条件下风险最小，或风险水平一定的条件下收益最大．Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ提出的最优投资组合比例 就是基于这两个条件的［１］． 根据上述两个条件，Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ在文献［２—３］中提出了证券组合预期收益及风险的计算方法及有效边界 理论，建立了常用的资产优化配置的数学模型，即均值一方差模型： ａｉｎ Ｘ ＣＸ。ｒ ５．ｔ． ＞：Ｘ —ｒ ， 百 （１） ∑Ｘ 一１，ｉ一１，２，…， ． ｉ＝１ 其中：Ｘ一（ １，ｚ２，…，ｚ ） 表示投资比例向量，且ｚ ≥０（ 一１，２，…，７２）；Ｃ一（ ） 一（ｄ ） ，表示 种 证券收益率的协方差矩阵； 为第ｉ种证券的期望收益率；ｒ 表示投资者在经过一个时期的投资组合后所 期望达到的收益率均值． １．２ 信息熵 信息熵是用于度量信息量的一个概念．一个系统越有序，信息熵就越低；反之，系统越混乱，信息熵就越 高．所以，信息熵也可以说是系统有序化程度的一种度量，其基本作用就是消除人们对事物出现的不确定性． 信息熵的数学公式可表示为 收稿日期：２０１４—０７—１３ 作者简介：冯学敏（１９８８一），女。陕西千阳人，中国石油大学（北京）硕士研究生 通信作者：陆晓光（１９６Ｏ一），女，天津武清人，中国石油大学（北京）教授，主要从事应用数学、应用统计、数学建模研究，Ｅ—ｍａｉｌ“一ｘｉａｏｇｕａｎｇ ＠２６３．ｎｅｔ 第１期 冯学敏等：基于交易费用的均值一方差一熵投资组合模型 ・２７・ Ｓ一一∑Ｐ ｌｎｐ ， ｉ；１ ．∑Ｐ 一１， ｉ＝１ （２） 其中Ｐ 代表投资组合中第ｉ种结果出现的概率，且０≤Ｐ ≤１（ 一１，２，…， ）．此外，信息熵具有非负性、可 加性、极值性和凹凸性ｃ ． １．３ 改进的均值一方差一熵模型 投资者的投资存在着一定的风险，风险指的是未来收益的不可预测性．由于熵的本质是对不确定性的度 量与表达，基于熵的定义，可将其作为对方差度量风险的一种补偿，用方差和熵来共同度量风险．因此，在均 值一方差模型的基础上，结合熵理论，我们建立了如下模型： ｍｉｎ（ｘ ＣＸ＋ ∑ｚ ｌｎｘ ）， ｌ＝１ ．ｔ．∑ —Ｙｍ，∑ＪＣ 一１，ｉ＝＝＝１，２，…，７ｚ． （３） ｉ＝１ ｆ一１ 其中：Ｘ，Ｃ， ，ｒ 同模型（１）所述； ＞０为调节参数［５ ］． 模型（３）基于的一个假设是不考虑交易费用．然而，实际投资过程中是买进还是卖出都会存在一定的交 易费用，如佣金、税收等．交易费用的存在必然会影响投资者最终的收益，故将交易费用考虑其中很有必要． 假设第ｉ种证券的交易费用率为ｓ ，那么扣除交易费用后该证券的收益率为 Ｒ 一 —Ｓ （ｉ一１，２，…， ）． 从而ｎ种证券的期望收益为 Ｒｐ一∑Ｒ 一∑（ 。一ｓ ）ｚ （ １，２，…， ）． ｆ一１ ｉ一１ 于是得到模型（４）为 ｍｉｎ（ｘ ＣＸ＋ ∑ｚ ｌｎｘ ）， ｓ．ｔ． ∑Ｘ （ 一ｓ ））一ｒ ， （４） ｉ ｌ ∑ｚ ＝＝＝１， ≥０，ｉ一１，２，…， ． ２ 应用举例 设证券投资者选择了３种证券组成投资组合（ 一３），根据模型（４），该案例的模型为 ｍｉｎｆ（ｘ）＝（ｘｉ ｚｚ 。 ｃ［ ］＋ ｃｚ ・ｎｚ ＋ ｚ・ｎｚｚ＋ｚａ・ｎｚ。 ， ｚｌ＋ ２＋ｚ３＝１， １，ｚ２，，２７３≥０． 该模型可进一步写成 ｆＸｌ １ ａｒｉｎ，（ ）一（ ｌ ２ ３）ｃ Ｉ ２ ｌ ＋ Ｉｎ（ ｌ ２ ；３）， ｌ ３ Ｊ １ Ｒ２ ｆ ］ Ｉ １ １ （５） １，ｚ２，ｚ３≥０． 内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版） 第４４卷 Ｉ ｒ１ ｌ ｆ０．１６２１ ｌ ｌ Ｉ Ｉ ｆ０．０２９２ ０．０３７４ ０．０２９０１ ｌ ｌ ｌ ２ Ｉ—ｌ０．２４６ ｌ，Ｃ一『０．０３７４ ０．１７０８ ０．０２０８ Ｉ Ｉ 【０．２２８ Ｊ ｌ０．０２９０ ０．０２０８ ０．０５７８ Ｊ 一ｌＯ．２４５５ Ｉ 参数 一 ０．０１０ ０．０１５ ０．０２０ ０．０２５ ０．０３０ ０．０３５ ∑Ｘｉｌｎｘｆ ０．００４３０： 风险ｆ ０．０２６７ ０．Ｏ２１７ ０．４５４９ ０．１４１２ ０．４０４０ Ｏ．Ｏ１６７ ０．４５７１ ０．１４９０ ０．３９３９ ０．０１１６ ０．４５９０ ０．１５５７ ０．００６５ 投 ｚ１ｌ ０．４５２２ ０．４６０６ ０．１６１４ 誊ｌ比 ｆ 现 。 例 Ｉ３ ｏｕ．‘ １３１９ ０．４１５９ ０．３８５３ 表１数据显示，当 很小时，方差在起主要作用，熵函数作用很小，这恰表明与考虑交易费用的 Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ模型下的结果是一致的．但是随着 的增加，熵的作用逐渐显现．从表ｌ的结果不难发现，随着 的增大，目标函数，在减小，即风险随之减小．所得的数据结果有助于投资者理性判断并抉择出更稳健、均 Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ 衡、风险最小的最优投资组合，以达到所预期的收益．这样的结果正是我们所期望的． ∞ ” Ｍ 加 ３ 结语 本文用方差和熵共同度量投资风险，并且考虑了交易费用的影响，给出一种基于交易费用的均值一方差 一熵的投资组合模型．通过对案例的求解与分析，验证了该模型的可行性及有效性．基于交易费用的均值一 方差一熵模型在一定程度上优化了风险度量，虽有其优点，但也存在一定的缺陷，还需在实践中不断探索并 完善，为投资者的决策提供更加可靠的理论依据． 参考文献： Ｅ１］郑丕谔，杨灿．马科维兹投资组合的改进及其应用］Ｊ］．辽宁工程技术大学学报：社会科学版，２００６，８（１）：３０—３２． ［２］Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ Ｈ．Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ Ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ＥＪ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｆｉｎａｎｃｅ，１９５２（７）：７７—９１． ［３７ Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ Ｈ．Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ Ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ：Ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ Ｄｉｖｅｒｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ ＥＭ］．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ：Ｂａｓｉｌ Ｂｌａｃｋｗｅｌｌ，１９９１：９９—１１０． Ｅ４３ ＭＡＲＴＩＮ Ｎ Ｆ Ｇ，ＥＮＧＬＡＮＤ Ｊ Ｗ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｅｎｔｒｏｐｙ［Ｍ］．Ｌｏｎｄｏｎ：Ａｄｄｉｓｏｎ－Ｗｅｓｌｅｙ Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ Ｃｏｍｐａｎｙ，１９８１． １－５３ 李华，李兴斯．证券投资组合的风险度量与熵优化模型研究［Ｄ］．大连：大连理工大学应用数学系，２００３． ［６３李华，李兴斯．证券投资组合中的熵优化模型研究ＥＪ］．大连理工大学学报，２００５，４５（１）：１５３—１５６． ［７］蒋殿春．高级微观经济学［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００７：３５３—３７５． ［８－１韩苗，周圣武，仓定帮．基于熵的投资优化模糊组合模型［Ｊ］．运筹与管理，２００５，１４（６）：１２６—１２９． （下转第３４页） ・３４・ 内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版） 第４４卷 ＥｌＯ３ Ｘｕ Ｈ Ｆ．Ａｎ ｉｍｐｌｉｃｉｔ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ａｐｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｐｒｏｇｒａｍｓ ｗｉｔｈ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ ＥＪ］．ＳＩＡＭ Ｊ Ｏｐｔｉｍ，２００６，１６：６７０—６９６． ［１１］ Ｓｈａｐｉｒｏ Ａ，Ｄｅｎｔｃｈｅｖａ Ｄ，Ｒｕｓｚｃｚｙｆｌｓｋｉ Ａ．Ｌｅｃｔｕｒｅｓ ｏｎ Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ：Ｍｏｄｅｌｉｎｇ ａｎｄ Ｔｈｅｏｒｙ［Ｍ］．Ｐｈｉｌａｄｅｌ— ｐｈｉａ：ＳＩＡＭ，２００９． Ｅ１２３ Ｚｈａｎｇ Ｊ，Ｗｕ Ｙ，Ｚｈａｎｇ Ｌ Ｗ．Ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｓｍｏｏｔｈｉｎｇ ＳＡＡ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ａ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］． Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ａｌｇｅｂｒａ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ａｎｄ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，２０１２（２）：１４３—１５２． ［１Ｓ－Ｉ Ｃｈｅｎ Ｘ Ｊ．Ｓｍｏｏｔｈｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ：ａ ｓｕｒｖｅｙ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｔｈｅ Ｏｐｅｒａ～ ｔｉｏｎｓ Ｒｅｓｅａｒｃｈ，Ｓｏｃｉｅｔｙ ｏｆ Ｊａｐａｎ，２０００，４３：３２—４６． Ｅ１４３ Ｒｏｂｉｎｓｏｎ Ｓ Ｍ．Ｓｏｍｅ ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｐｏｌｙｈｅｄｒａｌ ｍｕｈｉｆｕｎｃｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ Ｓｔｕｄｙ，１９８１， １４：２０６—２１４． ［１５３ Ｗａｎｇ Ｍ，Ａｌｉ Ｍ Ｍ．Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｉｔｙ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ：Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ Ｒｅｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｐｅｎａｌｔｙ－Ｂａｓｅｄ Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．Ｊ Ｏｐｔｉｍ Ｔｈｅｏｒｙ Ａｐｐｌ，２０１０，１４４：５９７—６１４． Ａ Ｃｌａｓｓ ｏｆ Ｓｍｏｏｔｈｉｎｇ ＳＡＡ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ Ａ Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｉｔｙ Ｐｒｏｂｌｅｍ ＹＩＮＧ Ｙｉｎｇ，ＨＡＮ Ｊｉｎ—ｚｈｕａｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，ＨｕｌｕｎｂｕｉｒＣｏｌｌｅｇｅ，Ｈａｉｌａｅｒ ０２１００８，ＩｎｎｅｒＭｏｎｇｏｌｉａ，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｓｍｏｏｔｈｉｎｇ ｓａｍｐｌｅ ａｖｅｒａｇｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ａ ｖｅｒｓｉｏｎ ｏｆ Ｆｉｓｃｈｅｒ—Ｂｕｒｍｅｉｓ— ｔｅｒ ｓｍｏｏｔｈｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．Ｉｔ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒ— ｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｕｎｄｅｒ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｔｈｅ ａｌｍｏｓｔ ｓｕｒｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｎｄ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｒａｔｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ．Ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｔｅｓｔ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈｅ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｏｆ ｏｕｒ ｍｅｔｈｏｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍ；ｓｍｏｏｔｈｉｎｇ Ｆｉｓｃｈｅｒ－Ｂｕｒｍｅｉｓｔｅｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ； ｓａｍｐｌｅ ａｖｅｒａｇｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ；ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ 【责任编辑陈汉忠】 （上接第２８页） Ｍｅａｎ．．Ｖａｒｉａｎｃｅ．．Ｅｎｔｒｏｐｙ Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ Ｍｏｄｅｌ ｕｎｄｅｒ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎ Ｃｏｓｔｓ ＦＥＮＧ Ｘｕｅ－ｍｉｎ，ＷＵ Ｄｏｎｇ—ＸＵ，ＷＡＮＧ Ｘｉａｏ—ｆｅｎｇ，ＬＵ Ｘｉａｏ—ｇｕａｎｇ，ＰＥＮＧ Ｘｉａｏ—ｒｕｉｎｇ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｐｅｔｒｏｌｅｕｍ ｉｎ Ｂｅｉｊｉｎｇ，Ｂｅｉｊｉｎｇ，１０２２４９） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｓｉｎｇ ｂｏｔｈ ｖａｒｉａｎｃｅ ａｎｄ ｅｎｔｒｏｐｙ ｔｏ ｍｅａｓｕｒｅ ｔｈｅ ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ ｒｉｓｋ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｓ ａ ｍｅａｎ—ｖａｒｉａｎｃｅ—ｅｎｔｒｏｐｙ ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ ｍｏｄｅｌ ｗｈｉｃｈ ｔａｋｅｓ ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎ ｃｏｓｔ ｉｎｔｏ ａｃｃｏｕｎｔ．Ｔｈｅ ｒｏｌｅ ｏｆ ｅｎｔｒｏｐｙ ｉｎ ｔｈｅ ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ａｎｄ ａ ｒｅｌｅｖａｎｔ ｃａｓｅ ｓｔｕｄｙ ｉｓ ｃｏｎｄｕｃｔｅｄ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈｅ ｐｒａｃｔｉｃａｂｉｌ— ｉｔｙ ａｎｄ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｄｅ１． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ ｒｉｓｋｓ；ｅｎｔｒｏｐｙ；ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎ ｃｏｓｔｓ；ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ 【责任编辑陈汉忠】